En esta página vamos a resolver [b]ecuaciones de primer[/b] grado paso a paso. Comenzaremos con ecuaciones muy simples e iremos aumentando su dificultad. [br][br][b]Resolver una ecuación[/b] consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita [i]x[/i] para que se cumpla la igualdad. Podemos comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la incógnita [i]x[/i] por la solución. 

[size=150][b]Ecuación 1[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1.png[/img][br][br][/b][size=100]Para resolver la ecuación, debemos pasar los monomios que tienen la incógnita a una lado de la igualdad y los que no tienen la incógnita al otro lado.[br][br]Como 8 está restando en la derecha, pasa sumando al lado izquierdo:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-1.png[/img][br][br]Como [i]x[/i] está restando en la izquierda, pasa restando a la derecha:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-2.png[/img][br][br]Ahora que ya tenemos separados los monomios con y sin la incógnita, podemos sumarlos. En la izquierda, sumamos 2+8 y, en la derecha, [i]x+x[/i]:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-3.png[/img][br][br]Para ver con claridad el paso siguiente, escribimos [i]2x[/i] como un producto:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-4.png[/img][br][br]Para terminar, debemos pasar el coeficiente de la incógnita (el número 2 que multiplica a [i]x[/i]) al lado izquierdo. Como el número 2 está multiplicando, pasa dividiendo:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-5.png[/img][br][br]Simplificando la fracción,[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-6.png[/img][br][br]Por tanto, la solución de la ecuación es [i]x[/i]=5. Para comprobar la solución, sustituimos [i]x[/i] por 5 en la ecuación:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E1-7.png[/img][br][br]Como hemos obtenido una igualdad verdadera (-3 es igual a -3), la solución es correcta. Si, por el contrario obtenemos una igualdad falsa, significa que hemos cometido algún error en la resolución de la ecuación.[/size][/size]

[size=150][b]Ecuación 2[br][br][/b][size=100][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E4.png[/img][b][br][br][/b]En esta ecuación tenemos un paréntesis. Un paréntesis sirve para representar que una misma operación se aplica a un grupo de monomios. El número que está delante del paréntesis está multiplicándolo, así que podemos escribir la ecuación como[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E4-1.png[/img][br][br]En la ecuación, el paréntesis nos dice que debemos multiplicar los monomios 1 y 2[i]x[/i] por 2. Por tanto, podemos eliminar el paréntesis escribiendo su significado:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E4-2.png[/img][br][br]Calculamos los productos:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E4-3.png[/img][br][br]Finalmente, resolvemos la ecuación anterior:[br][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E4-4.png[/img][br][br]Por tanto, la solución de la ecuación es [i]x[/i]=2.[/size][/size]

[size=150][b]Ecuación 3[br][br][/b][size=100][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E8.png[/img][b][br][br][/b]Si multiplicamos por 3 la ecuación, desaparecen las fracciones cuyo denominador es 3. Pero quedará la fracción cuyo denominador es 2. Para eliminar los denominadores de un solo paso, multiplicamos la ecuación por el [url=https://www.problemasyecuaciones.com/problemas/maximo-comun-divisor-minimo-comun-multiplo-problemas-resueltos.html]mínimo común múltiplo[/url] de los denominadores.[br][br]El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Por tanto, multiplicamos por 6 la ecuación:[br][b][br][img]https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/E8-1.png[/img][/b][/size][/size]

[list][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/ecuaciones-primer-grado-resueltas-fracciones-parentesis-solucion.html]Ecuaciones de primer grado paso a paso[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Pitagoras/problemas-resueltos-teorema-pitagoras-tringulo-rectangulo-secundaria.html]Teorema de Pitágoras: problemas[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/potencias/potencias-ejemplos-ejercicios-resueltos-calcular-propiedades-producto-cociente-simplificar-exponente-base-multiplicar.html]Potencias: propiedades y ejemplos[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/fracciones/equivalentes/fracciones-equivalentes-fraccion-irreductible-dividir-multiplicar-ejemplos-ejercicios-maximo-comun-divisor.html]Fracciones equivalentes y fracción irreductible[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/problemas/problemas-ecuaciones-primer-grado-resueltos-numeros-edades.html]Ecuaciones de primer grado: problemas[/url][*][url=https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/sistemas/metodos-resolucion-sistemas-sustitucion-igualacion-reduccion-ejemplos.html]Sistemas de ecuaciones (métodos)[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/problemas/sistemas/problemas-ecuaciones-sistemas-lineales-resueltos-numeros-edades-incognitas-ejemplos-explicados.html]Sistemas de ecuaciones lineales: problemas[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/problemas-ecuaciones-segundo-grado-resueltas-solucion-formula-raices-factorizar.html]Ecuaciones de segundo grado paso a paso[/url][*][url=https://www.problemasyecuaciones.com/problemas/maximo-comun-divisor-minimo-comun-multiplo-problemas-resueltos.html]Problemas de mcm y MCD[/url][*][url=https://www.problemasyecuaciones.com/MRU/primera-parte/problemas-resueltos-movimiento-rectilineo-uniforme-MRU.html]Problemas de MRU[/url][*][url=https://www.problemasyecuaciones.com/integrales/partes/metodo-integracion-partes-integrales-resueltas-explicadas.html]Integración por partes[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/progresiones/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html]Introducción a las progresiones: aritméticas y geométricas[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/exponenciales/ecuaciones-exponenciales-resueltas-ejemplos-explicadas-soluciones-raices-exponentes.html]Ecuaciones exponenciales explicadas[/url][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com]Problemas y Ecuaciones .com[/url][/list]

La forma general de una ecuación de segundo grado es:[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E1.png[/img][br][br]Por comodidad, resolveremos la ecuación de tres formas distintas según los valores de los coeficientes b y c.[br][br]Se llama [b]discriminante[/b], Δ, a[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E3.png[/img][br][br]El signo de Δ nos permite conocer el tipo de soluciones de la ecuación:[br][list][*]Si Δ>0, hay dos soluciones reales distintas.[br][/*][*]Si Δ=0, hay dos soluciones reales iguales.[br][/*][*]Si Δ<0, no hay soluciones reales (hay dos soluciones complejas distintas).[br][/*][/list]

Si b,c≠0, se dice que la ecuación es [b]completa[/b] y sus soluciones las proporciona la fórmula[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E2.png[/img][br][b]Ejemplo:[br][/b][b][br][/b][b][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/P6.png[/img][br][br][/b]Es una ecuación completa con coeficientes a=1, b=3 y c=2. Aplicamos la fórmula:[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/P6-1.png[/img][b][br][/b]

Si b=0, la ecuación es de la forma[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E4.png[/img][br][br]Las soluciones son[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E5.png[/img][br][br][b]Ejemplo: [br][br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/P5-2.png[/img][/b]

Si c=0, la ecuación es de la forma[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E6.png[/img][br][br]Las soluciones son[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/E7.png[/img][br][br][b]Ejemplo:[br][br][img]http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/P4-1.png[/img][/b]

[list][*][url=https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado-incompletas.html]Ecuaciones Incompletas[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado.htm]Ecuaciones completas y factorización[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/SegundoGrado/ECUACIONES-SEGUNDO-GRADO-SOLUCIONES-COMPLEJAS.html]Ecuaciones con raíces complejas[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/SegundoGrado/propiedades-teoricas-ecuaciones-segundo-grado.html]Propiedades teóricas de las ecuaciones de segundo grado[/url][/*][*][url=http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/problemas-ecuaciones-segundo-grado-resueltas-solucion-formula-raices-factorizar.html]Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas[/url][/*][/list][url=https://www.ecuacionesresueltas.com]Ecuaciones Resueltas:[/url][br][list][*][url=https://www.ecuacionesresueltas.com/segundo-grado/nivel-1/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-completas-incompletas-explicadas.html]Nivel 1: Introducción a las ecuaciones cuadráticas[/url][*][url=https://www.ecuacionesresueltas.com/segundo-grado/nivel-2/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-discriminante-numero-soluciones.html]Nivel 2: Discriminante y número de soluciones[/url][*][url=https://www.ecuacionesresueltas.com/segundo-grado/nivel-3/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-incompletas-resueltas-explicadas.html]Nivel 3: Resolver ecuaciones incompletas[/url][*][url=https://www.ecuacionesresueltas.com/segundo-grado/nivel-4/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-completas-formula-resueltas.html]Nivel 4: Resolver ecuaciones completas[/url][*][url=https://www.ecuacionesresueltas.com/segundo-grado/nivel-5/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-soluciones-complejas-imaginarias-resueltas.html]Nivel 5: Soluciones complejas[/url][/list]

[list][*]Una vez elegida la ecuación, la resolveremos en nuestro cuaderno usando las técnicas que ya conocemos e introduciremos la solución en la ficha.[/*][*]¡Importante! Hay que introducir la solución de la ecuación. No basta con elegir la que es correcta. Si no introduces la solución, la ficha se calificará como incorrecta.[br][/*][*]Debemos introducir los resultados sin redondear.[br]Los decimales se indican usando un punto; por ejemplo "dos y medio" se introduce como 2[b].[/b]5 (si escribimos 2,5 entonces se truncará al valor 2).[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[br][/*][*]Podemos hacer tantas fichas como queramos. Se conservará la calificación más alta alcanzada.[/*][/list]

En pequeños grupos, resolvemos las fichas de esta actividad en el cuaderno, pero incluyendo más información:[br][list=1][*]Cada vez que elijamos cuál de las cuatro posibilidades es la correcta, incluiremos los [b]motivos[/b] por los que pensamos que es así.[list][*]Para las no correctas, indicaremos qué [b]cambios[/b] podríamos hacer en el enunciado para que su traducción fuese precisamente esa frase. Alguna de ellas puede que no tenga mucho sentido "real". Si es así, también lo indicaremos.[br][/*][*]Siguiendo las indicaciones del profesor, cada grupo [b]expondrá[/b] a sus compañeros los resultados de su trabajo y se podrá debatir sobre las traducciones, los cambios necesarios y si tendría sentido el problema resultante.[/*][/list][/*][*]Nos fijaremos en el proceso de resolución de las ecuaciones y, al menos para tres de ellas, escribiremos con qué [b]nuevo enunciado[/b] se correspondería, es decir, con qué pequeños cambios en el enunciado se corresponden esas nuevas ecuaciones intermedias que vamos escribiendo.[br]Ojo, que pueden ser frases muy sencillas. No se trata de ir complicando los enunciados, sino irlos simplificando tanto que, al final, tenemos la solución directamente.[br]Por [b]ejemplo[/b], para el enunciado:[br][list][*]"Me he encontrado 10€ y ahora tengo 35. ¿Cuánto tenía al principio?"[/*][*]Lo traducimos como "x: dinero al principio. Ecuación: x+10=35".[/*][*]Hacemos el paso: "x+10-10=35-10", o bien "x=35-10", que se corresponde con "descontando los 10€ que me he encontrado, tenía 35-10".[/*][*]Resolvemos: "x=25", que se corresponde con "Por eso, al principio tenía 25€".[br][/*][/list][/*][/list]

La calificación en esta ficha será la media geométrica de las tres actividades propuestas:[br][list=1][*]Piensa y resuelve (applet autoevaluable)[/*][*]Trabajando en grupo[/*][*]Nuestro turno (redacción de situaciones)[br][/*][/list][size=85](*) Media geométrica de tres números: se multiplican y, con la calculadora, se eleva ese producto a 1/3 (se calcula la raíz cúbica).[br]Por eso, si no realizas alguna de las actividades, la calificación será 0 puntos[/size].

Esta actividad forma parte del Recurso Educativo Abierto [url=https://proyectocrea.educarex.es/recursos-crea/index.php?search=compras+ecuaciones+GeoGebra&nivel=&materia=#]Vamos de compras con... ecuaciones[/url] del programa CREA Extremadura.[br]Si la utilizas en clase con tu alumnado, te agradeceríamos que te apuntases a [url=https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfi49QzX3-NL_vcCQjqNzk4eKYPD9aZrv7s8V9mpeQu8yqzqg/viewform]Experiencias CREA[/url] para incluir tu centro en nuestro [url=https://programacrea.educarex.es/modalidades-crea/experiencias]mapa de experiencias[/url] y saber qué tal os parece el recurso.

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación gráfica.

1) Observa lo representado en la figura. Identifica la ecuación de las dos rectas representadas (r y s). Mueve los deslizadores y observa qué sucede con las rectas. Prueba con distintos valores y observa el punto de intersección entre ellas.[br]2) Elige un valor determinado para los coeficientes (a, b, c, a’, b’ y c’) de tal manera que las rectas se intersequen en un punto. [br]Mantén fijos dichos valores y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente. Resuelve dicho sistema por método de reducción y verifica la solución con las coordenadas del punto A que muestra geogebra.[br]3) Ahora elige otros valores para los coeficientes a, b y c de la recta r. Mueve los deslizadores de a’, b’ y c’ de tal forma que las rectas queden paralelas (puedes ayudarte con la cuadrícula para realizarlo). ¿Hay punto de intersección? ¿Cómo son los coeficientes obtenidos? ¿Hay alguna relación entre a y a’; b y b’; c y c’?[br]Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente para estos valores elegidos y resuélvelo por método de reducción. ¿Cuál es la solución del sistema?[br]4) Finalmente mueve los deslizadores hasta hacer coincidir ambas rectas de tal modo que sus coeficientes no sean exactamente iguales. ¿Hay alguna relación entre a y a’; b y b’; c y c’?[br]Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente para estos valores elegidos y resuélvelo por método de reducción. ¿Cuál es la solución del sistema?

[br][list][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/funciones/asintota/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html]Asíntotas[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/ESO/rectasparabolas/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html]Rectas y parábolas[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/biyectiva/tipos-funcion-aplicacion-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva-inversa.html]Tipos de funciones: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/funciones/inversa/funcion-inversa-definicion-biyectiva-calcular-problemas-resueltos-demostrar-dominio.html]Función inversa[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/funciones/paridad/funcion-par-impar-paridad-propiedades-demostraciones.html]Paridad de funciones: función par o impar[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/limites/ejercicios-resueltos-limites-1.html]Cálculo de límites[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/ESO/dominio/ejercicios-resueltos-dominio-recorrido-imagen-funciones.html]Dominio y recorrido de funciones[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/resueltos-continuidad.htm]Continuidad de funciones[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/funciones.htm]Continuidad (teoría)[/url][/*][/list]

[list][*]Pulsando en [b]otro ejemplo[/b], veremos más ejemplos con diferentes números.[/*][*]Podemos situar el término desconocido en cualquiera de las cuatro posiciones, moviendo la flecha que hay junto al último ejemplo.[/*][*]Podemos elegir si las magnitudes estarán dadas por filas o columnas, pulsando en el lugar correspondiente junto al último ejemplo.[br][/*][*]Recuerda que podemos usar estas estrategias cuando resolvamos problemas de proporcionalidad directa. [br][/*][/list][br][b]Ejercicios.[/b][br][list][*]Hay de completar las tablas de proporcionalidad que nos van proponiendo, utilizando alguna de las estrategias aprendidas.[br][/*][*]Cada apartado rellenado correctamente vale [b]1 punto[/b]. Los fallos no penalizan.[/*][*]Podemos hacer tantos ejercicios como queramos.[/*][*]Al corregir cada ejercicio, veremos una [b]representación gráfica[/b] de los datos.[br][/*][/list][br]