Bakkersgist, dat aan deeg wordt toegevoegd, bestaat uit levende cellen. [br]Wanneer je een zakje gedroogd gist op-lost in warm water, ‘ontwaken’ de gistcellen uit hun rusttoestand en beginnen ze zich onmiddellijk door deling te vermenigvuldigen.[br][br]Vlak nadat het gist wordt opgelost, is de toenamesnelheid van het aantal gistcellen evenredig met het aanwezige aantal.[br]Na verloop van tijd zal het aantal gistcellen per cm3 deeg echter minder snel gaan groeien omdat er[br]een verzadigingsniveau wordt benaderd. De gegevens in de tabel hiernaast geven een indruk van dat proces.[br]

Voer de gegevens uit de tabel in Geogebra hieronder en laat de punten tekenen.[br]Gebruik rechtermuisknop "Zoom passend" voor een beter beeld.

In de vorige opgave heb je misschien gedacht aan de formule [math]A\left(t\right)=14\cdot1,5^t[/math] als benaderingsformule.[br]Neem aan dat deze formule ook van toepassing is voor niet-gehele waarden van [math]t[/math].[br]Laat hieronder de grafiek van [math]A[/math] tekenen door middel van het algebra venster met de invoer [math]y=14\cdot1,5^t[/math][br]([math]A\left(t\right)=14\cdot1,5^t[/math]) en ga na dat deze grafiek 'op het oog' goed past bij de gegevens van de eerste vijf uren. Bij de invoer moet je rekening houden dat Geogebra een punt als decimaalsymbool gebruikt.

Op de iets langere termijn beschrijft het exponentiële groeimodel van de vorige opgaven het proces niet goed, omdat er in werkelijkheid slechts plaats is voor een beperkt aantal gistcellen per cm3. [br]De maximale capaciteit lijkt ongeveer gelijk te zijn aan 650 gistcellen per cm[sup]3[/sup]. [br]Naarmate het aantal cellen dit verzadigingsniveau nadert, zal de groei afgeremd worden doordat gistcellen zich minder snel delen of eerder sterven.[br]De vraag is nu, hoe dit verschijnsel in het model verwerkt kan worden.[br][br]Het exponentiële model [math]\frac{dA}{dt}=c\cdot A[/math] wordt nu aangepast via een zogenaamde remfactor:[br][math]\frac{dA}{dt}=c\cdot A\cdot remfactor[/math][br][br]De waarde van de remfactor zal afhangen van de waarde van [i][math]A[/math] [/i]en wel zó dat:[br]• Als [math]A\approx0[/math] , dan [math]remfactor\approx1[/math] , want dan vindt nog nauwelijks remming plaats.[br]• Als [math]A\approx650[/math], dan [math]remfactor\approx0[/math] , want danis er nauwelijks groei meer.[br]• Naarmate [i][math]A[/math] [/i]dichter bij het maximum van 650 komt, neemt de groei af.[br]Het simpelste is om aan te nemen dat [i][math]remfactor[/math] [/i]een (dalende) lineaire functie van [i][math]A[/math] [/i]is:[br][br][br][br]

De volgende differentiaalvergelijking is nu ontstaan:[br][br][math]\frac{dA}{dt}=c\cdot A\cdot\frac{\left(650-A\right)}{650}[/math][br][br]Hierbij is 0,41 de evenredigheidsconstante die het proces zou kenmerken als de groei ongeremd zou zijn. De factor [math]\frac{\left(650-A\right)}{650}[/math] stelt het relatieve aantal beschikbare plaatsen voor en zorgt voor de remming. Uitgangspunt hierbij is dat de maximale capaciteit gelijk is aan 650 gistcellen per cm[sup]3[/sup].[br]

In het algemeen luidt de differentiaalvergelijking die nu is opgesteld:[br][math]\frac{dy}{dt}=c\cdot y\cdot\frac{\left(M-y\right)}{M}=c\cdot y\cdot\left(1-\frac{y}{M}\right)[/math][br][br]Hierin stelt [i][math]c[/math] [/i]de groeifactor bij ‘ongeremde’ groei voor.[br]De factor [math]1-\frac{y}{M}[/math] is de remfactor en [i][math]M[/math][/i] staat voor de waarde van het verzadigingsniveau, de maximale[br]capaciteit van het systeem.[br][br]Men noemt dit een [b]logistisch groeimodel[/b][br][br][br][br][br][br][br][br]

[b]Benadering van de oplossingsfunctie volgens de methode van Euler.[/b][br][br]Probeer onderstaande applet uit:[br][br]Kies [math]d=1[/math] en schuif de knop [math]n[/math]. Waarop is de benadering gebaseerd?[br][br]Schuif de knop [math]d[/math], welke benadering geeft de meest correcte oplossingsfunctie?

In dit hoofdstuk wordt bij een differentiaalvergelijking een plaatje gemaakt:[br]het zogenaamde richtingsveld of lijnelementenveld. [br]Door in zo'n richtingsveld krommen te schetsen krijg je een globale indruk van het gedrag van de oplossingen van het model.[br][br]In dit practicum tekent het programma Geogebra richtingsvelden bij differentiaalvergelijkingen die je hiervoor bent tegengekomen of die in het vervolg een rol zullen spelen.[br][br]Het richtingsveld geeft steeds een indruk van de vorm van de oplossingskrommen van de differentiaalvergelijking. In Geogebra kun je eenvoudig de gevolgen onderzoeken van veranderingen van de startwaarde of van de waarden van de constanten in de vergelijking.

De eerste differentiaalvergelijking die je gaat onderzoeken beschrijft een logistisch groeimodel:[br][math]\frac{dy}{dx}=0,5\cdot y\cdot\left(1-\frac{y}{100}\right)[/math][br]Teken in onderstaand venster het richtingsveld met behulp van het commando (Invoer...):[br][br][math]Raakveld(0.5y(1-y/100)[/math][br][br]

Laat in hetzelfde scherm een aantal oplossingskrommen tekenen bij verschillende startwaarden. [br]Gebruik hiervoor het commando [math]DV(0.5y(1-y/100),(0,startwaarde))[/math].[br][br][br]

In de volgende vragen kijken we naar de differentiaalvergelijking [math]\frac{dy}{dx}=c\cdot y[/math][br]Voer in de applet hieronder de differentiaalvergelijking in en teken het richtingsveld voor [math]c=1[/math].[br]Gebruik hiervoor de commando's [math]Raakveld[/math] en [math]DV[/math] zoals in vorige opdrachten.

In de volgende vragen kijken we naar de differentiaalvergelijking [math]\frac{dy}{dx}=c\cdot\left(y-k\right)[/math][br]Voer in de applet hieronder de differentiaalvergelijking in en teken het richtingsveld voor [math]c=1[/math] en [math]k=10[/math].[br]Gebruik hiervoor de commando's [math]Raakveld[/math] en [math]DV[/math] zoals in vorige opdrachten.