[i]Das Applet zeigt den Bewegungsablauf eines Vierecks unter der Wirkung eines "periodischen Bewegungsvorgangs der Ebene".[br][/i][b][br]Anleitung[/b][br][list][*]Beobachte den Bewegungsablauf des Vierecks. Schalte die "Spur" ein und verfolge die Spuren der Eckpunkte.[/*][*]Blende die Gerade und/oder das begleitende Koordinatensystem ein. Beobachte den Bewegungsablauf für verschiedene Werte von [math]a,b[/math] und insbesondere [math]n[/math].[/*][*]Blende das Viereck und das begleitende KOS aus und nur die Gerade, den Orbit [math]p\left(t\right)[/math] und Richtungsvektor [math]e\left(t\right)[/math] ein. Beobachte die Bedeutung von [math]n[/math] für das Verhalten des Richtungsvektors.[br][/*][/list]

[b]Mathematischer Hintergrund[br][/b][i](Eine Formalisierung der folgenden Ausführungen erfolgt im Anhang)[/i][b][br][br]Periodische Bewegungsvorgänge[/b][br][br]In der Geometrie versteht man unter "Bewegung" eine Kongruenzabbildung (Isometrie) der Ebene (oder des Raumes) auf sich, durch die festgelegt ist, [i]wohin [/i]ein Punkt oder eine Menge von Punkten, z.B. das Viereck oben, bewegt wird, aber nicht [i]auf welchem Weg[/i]. Eine "Bewegung" im mathematischen Sinn beschreibt also nur das Endergebnis eines möglichen Bewegungsablaufs, indem sie angibt, wie sich aus der Anfangsposition eines beliebigen Punktes seine Endposition bestimmen lässt. Längen und Winkel einer starren Figur bleiben dabei unverändert. Wenn auch die Orientierung unverändert bleibt, spricht man von einer "eigentlichen Bewegung". Beispielsweise wird im obigen Applet (bei [i]angehaltener [/i]Animation) das helle Viereck durch eine eigentliche Bewegung auf das dunkle abgebildet. (In der Literatur findet man auch die Verwendung des Begriffs "Bewegung" im Sinne von "eigentliche Bewegung".)[br][br]Um einen Bewegungs[i]vorgang[/i] in seinem zeitlichen Verlauf (z. B. im obigen Applet bei [i]eingeschalteter [/i]Animation) mathematisch zu beschreiben, benötigt man unendlich viele "Bewegungen" im mathematischen Sinn, genauer gesagt eine Abbildung [math]c[/math], die jedem Zeitpunkt [math]t[/math] des betrachteten Zeitintervalls eine Isometrie [math]c(t)[/math] zuordnet, mit der sich bestimmen lässt, wohin eine Originalfigur (z.B. das Viereck) [i]bis zum Zeitpunkt t [/i]bewegt wurde. [br][br]Ein Bewegungsvorgang heißt "periodisch", wenn er sich nach einer bestimmten Zeit [math]T[/math] (der Periodendauer) wiederholt. Den Zeitpunkt[math]t=0[/math] wählen wir als Startpunkt der Bewegung. Da sich beim Start noch nichts bewegt hat, ist [math]c\left(0\right)[/math] die identische Abbildung, die alle Punkte der Ebene unverändert lässt.[br][br][br][b]Visualisierung durch eine bewegte Gerade[/b][br][br]Einen periodischen Bewegungsvorgang kann man nicht direkt sehen. Was du siehst, wenn du die Animation startest, ist [i]die Wirkung[/i] des Bewegungsvorgangs [i]auf das Viereck[/i]. Stell dir nun vor, das Viereck ist aus Pappe und du klebst einen Strohhalm darauf (Häkchen bei "Gerade [math]p\left(t\right)+s\cdot e\left(t\right)[/math]" setzen). Strohhalm und Viereck sind nun starr miteinander verbunden und bewegen sich gemeinsam. Wenn du die Lage des Strohhalms kennst, kannst du daraus die Lage des Vierecks jederzeit rekonstruieren, vorausgesetzt du weißt, an welcher Stelle [math]P[/math] und in welche Richtung der Strohhalm aufgeklebt war. Wichtig dabei ist auch noch, dass der Strohhalm eine Orientierung hat (d.h. dass man links und rechts unterscheiden kann), hier dargestellt durch zwei verschiedenfarbige Halbgeraden. Nicht nur das Viereck, sondern jeder Punkt der Ebene hat bezüglich des Strohhalms eine eindeutige Lage. Man kann die orientierte Gerade, die den Strohhalm modelliert, als Achse eines mitbewegten Koordinatensystems interpretieren, aus der sich die zweite Achse durch Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn eindeutig ergibt. Jeder bewegte Punkt der Ebene kann zu jedem Zeitpunkt anhand seiner konstanten Koordinaten in diesem System identifiziert werden.[br][br][b]Fazit: [/b]Man erhält alle Informationen über einen Bewegungsvorgang [math]c[/math] bzw. über jede einzelne Isometrie [math]c(t)[/math], wenn man die Wirkung des Bewegungsvorgangs bzw. jeder einzelnen Isometrie auf eine beliebige, aber fest gewählte Gerade kennt. Der Bewegungsablauf der Geraden visualisert den Bewegungsvorgang ohne Informationsverlust. [br][br][b]Die Umlaufzahl eines ebenen periodischen Bewegungsvorgangs[/b][br][br]Bekanntlich ist eine Gerade durch die Angabe eines Punktes [math]P[/math] und eines Richtungsvektors [math]e[/math] eindeutig definiert. Um das Bild der Geraden unter einer Isometrie zu kennen, muss man wissen, a) wohin der feste Punkt [math]P[/math] verschoben wurde und b) um welchen Winkel sich der Richtungsvektor [math]e[/math] gedreht hat. Bei einem Bewegungsvorgang müssen diese Informationen für jeden Zeitpunkt t vorliegen. Du kannst sie im Applet sichtbar machen durch Setzen der Häkchen bei "Orbit [math]p\left(t\right)[/math]" und "Richtungsvektor [math]e\left(t\right)[/math]".[br][br]Die Ausgangslage der Gerade zum Zeitpunkt [math]t=0[/math] ist horizontal, wobei der Richtungsvektor nach rechts zeigt. Nach einer Periode befindet sich die Gerade wieder in genau dieser Lage. Während des Ablaufs beschreibt der Punkt [math]P[/math] eine geschlossene Kurve (seinen "Orbit", hier im Applet eine Ellipse mit den variablen Halbachsen a und b), während der Richtungsvektor [math]e[/math] ein ganzzahliges Vielfaches [math]2\pi n[/math]eines Vollwinkels überstreicht. Die darin auftretende ganze Zahl [math]n[/math] ist von der Wahl der Ausgangsgeraden unabhängig und wird als die "Umlaufzahl des periodischen Bewegungsvorgangs" bezeichnet. (Beachte dass Drehungen im Uhrzeigersinn durch negative, entgegengesetzte durch positive Winkel beschrieben werden.) [br]