[b][size=150]＜積分の歴史をざっくりと＞[/size][/b][br]積分は主に[color=#0000ff][b][u]曲線がかこむ面積を求める技術[/u][/b][/color]です。面積だけでなく、体積・曲線の長さの[br]まさに、計算[calculation]の技術として、古代からありました。[br]微分とは無関係に、古代ギリシャからあったのです。アルキメデスが独自に発展させました。[br]その方法とは、曲線に接する三角形をかく、スキマにも三角形をかく、それを繰り返す。[br][color=#0000ff]取り尽くし法[method of exhaustion][/color]とも言われるものです。[br]無限でなはないにしろ、曲線のかこむ面積を、三角形の面積の合計で近似するという発想ですね。[br]その後、[br]デカルトは正葉線という曲線が作る面積を出す方法を作り出した。[br]ニュートンは微積分の記号ではなく、「[color=#0000ff]無限級数[/color]」を使って面積、接線などの曲線の問題を[color=#0000ff]図形的に[/color]解いた。[br]ライプニッツは今使われるようになった「[color=#0000ff]微分・積分の記号dx,dy,∫など[/color]」を使って問題を解いた。[br]オイラー・フェルマーの時代になると微分、積分、無限級数が数学の多様なテーマにつながっていき、驚異的な進化をみせるが、まだ、無限大、無限小を前提にしていた。[br]それから、コーシーとリーマンなどが数学の集合論的な基礎づけにより、現密な「微積分学」という研究分野に統合されました。リーマンは曲線をたてに刻んで、かこむ面積を、刻んでできる長方形の面積の合計でだす、リーマン積分を作った。高校で学ぶのはリーマン積分。[br][br]たとえば、円錐の体積は定積分を使うと簡単だが、無限級数の和で求めるのは少し大変だ。[br]（例）半径ｒ、高さｈの円錐の体積は高さをｎ等分して、うすい円柱の積み重ねとして見る。[br]　外接円柱群でやると、半径はr/nの倍数で、頂点からｋ番目の半径はk(r/n)になる。[br] 上からｋ番目の体積の数列は、π(k(r/n))[sup]2[/sup]・h/n＝Ck[sup]2[/sup]となる。（C=πr[sup]2[/sup]h/n[sup]3[/sup])[br][size=150] V(n)= ∑Ck[sup]2[/sup]=C∑[b]k[sup]2[/sup][/b]=C・[b]n(n+1)(2n+1)/6[/b]=πr[sup]2[/sup]h/n[sup]3 [/sup]・n(n+1)(2n+1)/6[br] ＝πr[sup]2[/sup]h/6・2n(n+1)(n+1/2)/n[sup]3[/sup]=1/3・πr[sup]2[/sup]h・1(1+1/n)(1+1/2n)[br] limV(n)(n→∞)=1/3・πr[sup]2[/sup]h・1(1+0)(1+0)=1/3・πr[sup]2[/sup]h・1=πr[sup]2[/sup]h/3[br] 無限という発想がないと、∑計算でも正確には求められないことがわかる。[br][b]＜不定積分＞[/b][/size][br][color=#0000ff]　[b][u]不定積分（逆微分、反微分）[Antidifferentiation、backward differentiation][/u][/b]は微分の反対、逆の操作。[br]　F'(x)=f(x) ⇔ ∫f(x)dx=F(x)+C　(積分定数）[br]　F(x)を原始関数(antiderivative)と読んだりします。[br]　だから、[math]d\int\frac{f\left(x\right)dx}{dx}=\frac{d\left(F\left(x\right)+C\right)}{dx}=f\left(x\right)[/math] (積分して微分するともとに戻る！[b][size=150]微積分の基本定理[/size][/b]）[br]　[br][/color]　微分したあとの関数は次数Nを定数Nを係数としてかけて、[u][b]次数がN-1＝ｎになった[/b][/u]。[br]　これをもとに戻すには、次数n=N-1を次数N=n+1にもとす。係数をN＝n+1で割る。[br]　[color=#0000ff]つまり、次数nを１増やして係数を割って、指数も１増やす。[br] ∫x[/color][sup]n[/sup][color=#0000ff]dx=1/(n+1)∫x[/color][sup]n+1[/sup][color=#0000ff]+C　（べき乗単項式ルール　Power Rule)[br][/color][br] ∫(f+g)dx=∫fdx+∫gdx, ∫k・fdx=k∫fdx (和、差、倍の[b][size=150]線形ルール[/size][/b]） [br]

[b][size=150]＜定積分とは＞[/size][/b][br]もとの関数f(x)をｘがa以上b以下という定まった区間で積分することを[br]定積分（確定的な集積、統合）[[color=#0000ff]definite integration,integral[/color]]という。[br][color=#0000ff][b][size=150]定積分は代入値の差である。[br][/size][/b][/color]不定積分関数をF(x)+Cとするとき、[br][math]\int^b_af\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math]　と不定積分の差でCが消える。[br]aが小、ｂが大という大小順で通常使う。[br]bはbigのｂと覚えたり、定積分はF（大）ーF（小）とか、F(右）ーF（左）[br]と覚えても良い。[br][br][b][size=150]＜定積分は差である＞[/size][size=150][br]線形ルール[/size][/b]はもちろん、不定積分と同じく使える。[br]「定積分は積分区間値の差だ」と考えてみると、[br]a-a＝０から[br][math]\int^a_af\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]^a_a=F\left(a\right)-F\left(a\right)=0[/math][br]a-b=-(b-a)から区間の大小を逆にしても意味はあるが、大小、左右を逆に入れると負の数になる。[br][math]\int^a_bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]^a_b=F\left(a\right)-F\left(b\right)=-\left(F\left(b\right)-F\left(a\right)\right)=-\int^b_af\left(x\right)dx[/math][br]a-b=a-c+c-bから、[br][math]\int^a_bf\left(x\right)dx=F\left(a\right)-F\left(c\right)+F\left(c\right)-F\left(b\right)=\int^a_cf\left(x\right)dx+\int^c_bf\left(x\right)dx[/math][br][br][b][size=150]＜微積分の基本定理＞[br][/size][/b][color=#0000ff][b]積分定数に着目する。[br][/b][/color]積分区間が定数ならば、[color=#0000ff]積分値は定数になる[/color]。[br][math]\int^b_af\left(x\right)dx=c[/math](定数）[br]積分区間に変数があると、[color=#0000ff]積分値はtをｘにしただけの関数になる。[b][size=150](微積分の基本定理）[/size][/b][/color][br][math]d\int^x_c\frac{f\left(t\right)dt}{dx}=\frac{d\left(F\left(x\right)-F\left(c\right)\right)}{dx}=f\left(x\right)[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]次の等式をみたす関数f(x)は？[br]　f(x)=[math]3x^2+x\int^1_0f(t)dt+1[/math][br]　積分区間が定数なので、[math]\int^1_0f(t)dt＝c[/math]とおける。[br]　f(x)=3x[sup]2[/sup]+cx+1となり、[math]\int^1_0f(t)dt=\int^1_0\left(3t^2+ct+1\right)dt=\left(1\right)^3+\frac{c}{2}\cdot1+1=2+\frac{c}{2}=c[/math][br]　したがって、c=4となるから、f(x)=[math]3x^2+4x+1[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]次の等式をみたす関数f(x)は？[br]　f(x)=[math]x+\int^2_0\left(x+t\right)f(t)dt=x+x\int^2_0f(t)dt+\int^2_0tf(t)dt[/math][br]　積分区間が定数なので、[math]\int^2_0f(t)dt＝a,\int^2_0t\cdot f(t)dt＝b[/math]とおける。[br]　f(x)=x+ax+b+1=(a+1)x+b+1となり、[br][math]\int^2_0f(t)dt=\int^2_0\left(\left(a+1\right)t+b\right)dt=\frac{a+1}{2}\cdot2^2+\left(b\right)2=2a+2b+2=a[/math][br][math]\int^2_0tf(t)dt=\int^2_0\left(\left(a+1\right)t^2+bt\right)dt=\frac{a+1}{3}\cdot2^3+\frac{b}{2}2^2=\frac{8}{3}a+2b+\frac{8}{3}=b[/math][br] a,bを解くと、a=-10/13,b=-8/13。　したがって、f(x)=[math]\frac{3}{13}x^2-\frac{8}{13}[/math][br][br][color=#0000ff]（例）[/color]g(1)=8であり、次の等式を満たす関数g(x)と定数ｋを求めよう。[br]　[math]\int^x_1\left(3t+1\right)g\left(t\right)dt=4\int^x_kg\left(t\right)dt+5x^3-3x^2-9x-17[/math] [br]　微積分の基本定理に、積分区間に変数と定数をもつ不定積分を微分すると、ｔをｘにした関数になる。[br]　両辺を微分する。[br]　(3x+1)g(x)=4g(x)+15x[sup]2[/sup]-6x-9 、g(x)でまとめると、g(x)(3x-3)=3(5x[sup]2[/sup]-2x-3)[br] 3g(x)(x-1)=3(5x+3)(x-1)から、(x-1)(g(x)-(5x+3))=0となる。[br]　xが1でないときg(x)=5x+3だが、g(1)=8からx=1でもg(x)=5x+3となる。[br]　x=1を微分前の式に代入すると、0=4[G(1)-G(k)]+5-3-9-17となる。[br]　G(x)=5/2x[sup]2[/sup]+3xだから、4[(5/2+3)-(5/2k[sup]2[/sup]+3k)]=24。5k[sup]2[/sup]+6k+1=(5k+1)(k+1)=0。 k=-1, -1/5。[br]

＜不定積分は逆微分＞[br]証明というよりも、不定積分された関数を微分してもとに戻るかを確認してみよう。[br][size=150][color=#0000ff]逆微分[br]∫(cosx) dx = sinx+C[br][/color][size=100]（理由）(sinx+C)'=cosxだから。[br][/size][/size][size=150][color=#0000ff]∫(sinx) dx = -cosx+C[br][/color][size=100]（理由）(cosx+C)'=-sinxだから,(-cosx)'=-(cosx)'=-(-sinx)=sinx[br][/size][color=#0000ff]∫(tanx) dx = −ln|cosx|+C[br][/color][/size][size=150][size=150][size=100]（理由）[br]　z=lny, 真数条件からy=|cosx|＞０として、連鎖法則dz/dx=dz/dy ・dy/dxをつかうと、[br]　(ln(|cosx|)+C)'=1/|cosx|・sinx=sinx/cosx=tanxだから[br][/size][/size][size=150][color=#0000ff]∫(1/x) dx=ln|x|+C[br][/color][size=100]（理由）真数条件からｘを|x|として、 (ln|x|+C)'=1/xだから、[br][/size][color=#0000ff]∫(e[sup]x[/sup]) dx=e[sup]x[/sup]+C[br][/color][/size][/size][size=100]（理由）[/size] (e[sup]x[/sup]+C)'=e[sup]x [/sup]だから[br][size=150][size=150][color=#0000ff]∫(a[sup]x[/sup]) dx=a[sup]x[/sup][sup] [/sup]/lna+C[sup][br][/sup][/color][/size][/size][size=100]（理由）（ax)'=a[sup]x[/sup]lnaと商の微分から、[br][/size][size=100]([/size][sup] [/sup]a[sup]x[/sup][sup] [/sup]/lna+C)[sup]'[/sup]=[math]\frac{\left(\left(a^x\right)'\cdot lna-a^x\cdot lna'\right)}{lna^2}=\frac{\left(ax\right)lna^2-0}{lna^2}=a^x[/math][sup][br][/sup]