Die [b]Entfernung [/b]eines Punktes vom Ausgangsort kann durch das Integral [math]s=\int_a^bv\left(t\right) \mathrm{d}t=\int_a^b\frac{ds}{dt} \mathrm{d}t=\int_a^bs'\left(t\right) \mathrm{d}t[/math] berechnet werden. [br]Ist ein Punkt am Ende der Bewegung wieder am Ausgangspunkt angekommen, so ist die Entfernung 0, der Punkt hat aber trotzdem einen bestimmte Weglänge zurückgelegt. [br]Die [b]Länge des insgesamt zurückgelegten Weges [/b]wird deshalb durch [math]s= \int_a^b {\left| s'\left(t\right) \right| \mathrm{d}t[/math] bestimmt.[br]Zur Erklärung des Unterschieds von Entfernung und Weglänge siehe auch das Applet [url=https://www.geogebra.org/m/ye6pnxgx]Entfernung und Weglänge[/url].[br][br]Diese Überlegung führt auf die [b]Berechnung der Länge einer Kurve (Weges) γ[/b], die in [b]Parameterform [/b]gegeben ist.

Wie im Applet dargestellt ist, kann die Länge der Kurve näherungsweise durch einen Streckenzug bestimmt werden. Die Länge der einzelnen Strecken ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.[br][math]L \approx \sum_{i=1}^{n} {\Delta s_i} = \sum_{i=1}^{n} {\sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 + \Delta z_i^2}} = \sum_{i=1}^{n} { \frac{ \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 + \Delta z_i^2}}{\Delta t} \Delta t} =[br] \sum_{i=1}^{n} { \sqrt{ \left( \frac{\Delta x_i}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y_i}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta z_i}{\Delta t} \right)^2} \Delta t} [br][/math][br]Beim Übergang für [math]\Delta x\rightarrow0[/math] folgt daraus[br][center][math]\mathbf{L=\int_a^b {\mathrm{d}s\ = \int_a^b {\sqrt{\left(\dot{x}(t)\right)^2 + \left(\dot{y}(t)\right)^2 + \left(\dot{z}(t)\right)^2} } \, \mathrm{d}t}[/math][/center]

Jede reelle Funktion [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};x\mapsto f\left(x\right)[/math] kann geschrieben werden als [math]f_1:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2;f_1\left(t\right)=\left(t, f\left(t\right) \right)[/math].[br]Mit [math]\dot{f}(t) =\left(1,f'\left(t\right)\right)[/math] folgt daraus [br][center][math] \mathbf {L = \int_a^b {\sqrt{\left(\dot{x}(t)\right)^2 + \left(\dot{y}(t)\right)^2 } \mathrm{d}t} = \int_a^b {\sqrt{1 + \left(f'(t)\right)^2 } \mathrm{d}t} } [/math] .[/center]