Problème des poignées de mains

Sept personnes. Chacun serre la main à toutes les aux autres personnes. Combien de poignées de main y aura-t-il ?
Suggestion de présentation
On cherche le nombre de poignées de mains entre ces 7 personnes. (En cette période de crise sanitaire, il n'est pas recommandé de se serrer les mains, mais bon...)[br]Les 7 personnes sont représentées par des points de couleur, de A à F.[br]Chaque poignée de mains entre deux personnes peut être représentée par un segment joignant les deux points correspondants. On cherche donc le nombre de segments dans cette figure.[br][br]- On monte le curseur d'un cran.[br]C'est à dire le nombre de côtés et diagonales de ce polygone (ici à 7 sommets).[br]On va les compter de deux manières:[br][br]- On monte le curseur d'un cran.[br]La personne A (en rouge) sert la main aux 6 autres personnes.[br][br]- On monte le curseur d'un cran.[br]La personne B (en violet) sert la main aux 5 autres personnes.[br][br]- On monte le curseur d'un cran.[br]La personne C (en jaune) sert la main aux 4 autres personnes.[br]etc.[br]- On monte le curseur jusqu'à avoir tout colorié (avant dernier cran).[br]La dernière personne n'a rien à faire, tout le monde lui a serré la main (on pourrait ajouter +0)[br]Ainsi le nombre cherché est la somme 6+5+4+3+2+1.[br][br]- On monte le curseur d'un cran. Tout les segments sont à nouveau gris.[br]On aurait pu compter le nombre de poignées de mains autrement :[br]Tout le monde fait comme la personne A, c'est à dire serre la main aux 6 autres personnes. On compterait alors 7x6 poignées de mains. Mais en faisant cela, on compte exactement deux fois chaque poignée de main ! Quand A serre la main à B et quand B serre la main à A et de même pour chaque poignée de main. Il faut donc diviser ce nombre par deux.[br][br]Le raisonnement se généralise pour un nombre entier n quelconque (supérieur à 2):[br][br][math]$1+2+3+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$[/math][br][br]La même formule au rang suivant donne pour tout entier naturel n supérieur à 1 :[br][math]$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$[/math]
Version sans le calcul écrit.

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