Du kennst bereits die allgemeine quadratische Funktion [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math]. Wir möchten heute verstehen, welchen Einfluss die Parameter [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] auf den Graphen der Funktion haben. Anschliessend schauen wir uns eine andere mögliche Schreibweise von quadratischen Funktionen, die Scheitelpunktform, an und untersuchen die auftretenden Parameter. Dabei werden wir feststellen, dass diese Scheitelpunktform einige Vorteile hat.[br][u][b]Ziel:[/b][/u][br]Du kennst den Einfluss der verschiedenen Parameter in quadratischen Funktionen auf den Graphen. Darüber hinaus kennst du die Vorteile der Scheitelpunktform.
[b][size=200]Allgemeine Form[br][/size][/b]Beantworte die Fragen unten sorgfältig mit Hilfe des Applets am Ende des Abschnitts.
Untersuche in einem ersten Schritt den Einfluss des Parameters [math]c[/math]. Verändere dafür mit dem Schieberegler den Wert von [math]c[/math] und lass [math]a[/math] und [math]b[/math] konstant. Beobachte dann wie sich der Graph verändert. Notiere deine Beobachtungen und erkläre mit Hilfe der Funktion wie es zu diesem Verhalten kommt.[br]Wo kann man den Wert von [math]c[/math] im Graph ablesen?
Untersuch jetzt den Einfluss von [math]b[/math]. Verändere dafür mit dem Schieberegler den Wert von [math]b[/math] und lass [math]a[/math] und [math]c[/math] konstant. Beobachte dann wie sich der Graph verändert. Notiere deine Beobachtungen und erkläre mit Hilfe der Funktion wie es zu diesem Verhalten kommt.[br]Kann man den Wert von [math]b[/math] im Graph ablesen? Wo?[br]Welcher Punkt bleibt fixiert? Wieso?
Untersuch jetzt den Einfluss von [math]a[/math]. Verändere dafür mit dem Schieberegler den Wert von [math]a[/math] und lass [math]b[/math] und [math]c[/math] konstant. Beobachte dann wie sich der Graph verändert. Notiere deine Beobachtungen und erkläre mit Hilfe der Funktion wie es zu diesem Verhalten kommt.[br]Kann man den Wert von [math]a[/math] im Graph ablesen? Wo?[br]Welcher Punkt bleibt fixiert? Wieso?[br]Bei welchem Wert von [math]a[/math] ändert sich die Form des Graphen grundlegend? Wieso?
[b][size=200]Scheitelpunktform[br][/size][/b]Nun möchten wir die Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen betrachten. In dieser Form sieht eine quadratische Funktion so aus:[br][math]f\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+h[/math][br]Beantworte die Fragen unten sorgfältig mit Hilfe des Applets unten.
Untersuche in einem ersten Schritt den Einfluss des Parameters [math]h[/math]. Verändere dafür mit dem Schieberegler den Wert von [math]h[/math] und lass [math]a[/math] und [math]d[/math] konstant. Beobachte dann wie sich der Graph verändert. Notiere deine Beobachtungen und erkläre mit Hilfe der Funktion wie es zu diesem Verhalten kommt.[br]Wo kann man den Wert von [math]h[/math] im Graph ablesen?[br]Ist das [math]h[/math] hier dasselbe wie [math]c[/math] oben? Wieso?
Untersuche jetzt den Einfluss des Parameters [math]d[/math]. Verändere dafür mit dem Schieberegler den Wert von [math]d[/math] und lass [math]a[/math] und [math]h[/math] konstant. Beobachte dann wie sich der Graph verändert. Notiere deine Beobachtungen und erkläre mit Hilfe der Funktion wie es zu diesem Verhalten kommt.[br]Wo kann man den Wert von [math]d[/math] im Graph ablesen?
Untersuche jetzt den Einfluss des Parameters [math]a[/math]. Verändere dafür mit dem Schieberegler den Wert von [math]a[/math] und lass [math]d[/math] und [math]h[/math] konstant. Beobachte dann wie sich der Graph verändert. Notiere deine Beobachtungen und erkläre mit Hilfe der Funktion wie es zu diesem Verhalten kommt.[br]Kann man den Wert von [math]a[/math] im Graph ablesen? Wo?[br]Welcher Punkt des Graphen bleibt fixiert? Diesen Punkt nenn man den [b][u]Scheitelpunkt.[br][/u]Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt ausgedrückt in [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]h[/math]?[/b]
[size=200]Aufgaben[/size]
In welche Richtung ist der Graph von [math]f\left(x\right)=2\left(x-2\right)^2-8[/math] geöffnet?
In welche Richtung ist der Graph von [math]f\left(x\right)=-2\left(x+2\right)^2-8[/math] geöffnet?
In welche Richtung ist der Graph von [math]f\left(x\right)=-2x-13+x^2[/math] geöffnet?
Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt von [math]f\left(x\right)=2\left(x-3\right)^2+2[/math]?
[math]\left(3\slash2\right)[/math]
Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt von [math]f\left(x\right)=-8.3\left(x+9\right)^2-11[/math]?
[math]\left(-9\slash-11\right)[/math]
Der Graph einer quadratischen Funktion [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] geht durch den Punkt [math]\left(-2\slash0\right)[/math]. Was kannst du über [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] aussagen?
[math]c=-2[/math], sonst nichts
Der Graph einer quadratischen Funktion [math]f\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+h[/math] hat seinen tiefsten Punkt bei [math]\left(-2\slash-1\right)[/math]. Was kannst du über [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]h[/math] aussagen?
[math]d=2[/math][br][math]h=-1[/math][br][math]a[/math] positiv
Wie hängen die Paramter [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] der allgemeinen Form mit den Parametern [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]h[/math] der Scheitelpunktform zusammen?
[math]a=a[/math][br][math]b=-2ad[/math][br][math]c=ad^2+h[/math][br]und umgekehrt:[br][math]d=-\frac{b}{2a}[/math][br][math]h=c-\frac{b^2}{4a}[/math]
Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt, ausgedrückt in [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math]?
[math]\left(-\frac{b}{2a}\slash c-\frac{b^2}{4a}\right)[/math]
Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt von [math]f\left(x\right)=x^2-2x+3[/math]?
[math]\left(1\slash4\right)[/math]
Welche Vorteile hat die Scheitelpunktform gegenüber der allgemeinen Form von quadratischen Funktionen?