Pi Greco: questo conosciuto?

Nicola Chiriano, Jul 25, 2018

LABORATORIO DIDATTICO II Seminario Nazionale sui Licei Matematici Università di Salerno, 12 settembre 2018

Table of Contents

  1. Introduzione
    1. Alcune definizioni
    2. Cronologia essenziale
    3. Prime curiosità
  2. Da Archimede a Riemann
    1. Ipse scripsit
    2. Verso l'infinito... e oltre
    3. Area sottesa a y=4/(1+x²)
    4. Lunule (Ippocrate di Chio, V sec. a.C.)
    5. Formule di Saurin (1659-1737)
  3. Approssimazioni geometriche
    1. Isoperimetrici
    2. Kochanski (1685)
    3. Kochanski (variante)
    4. Specht
  4. Conclusioni
    1. Altre applicazioni
    2. π dove non te lo aspetti

1.

Introduzione

  • 1. Alcune definizioni
  • 2. Cronologia essenziale
  • 3. Prime curiosità

1.1.

Alcune definizioni

Circonferenza srotolata
Bourbaki
Metodo Montecarlo
Aghi di Buffon
– Nicola Chiriano

1.2.

–

1.3.

–

2.

Da Archimede a Riemann

  • 1. Ipse scripsit
  • 2. Verso l'infinito... e oltre
  • 3. Area sottesa a y=4/(1+x²)
  • 4. Lunule (Ippocrate di Chio, V sec. a.C.)
  • 5. Formule di Saurin (1659-1737)

2.1.

Ipse scripsit

[size=150]Archimede, [i]La misura del cerchio[/i][br][br]Non dice A=π r[sup]2[/sup], ma:[br][list][*][b]Prop. 1[/b] - [i]“Ogni cerchio è uguale a un triangolo rettangolo se ha il raggio uguale a un cateto [del triangolo] e la circonferenza uguale alla base [= all’altro cateto]”[/i][/*][/list]Non scrive che π “è compreso tra … e … ”, ma che [br][list][*][b]Prop. 3[/b] - [i]“La circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro e lo supera di meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi”[/i][br][/*][/list][/size]
– Nicola Chiriano

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Approssimazioni geometriche

  • 1. Isoperimetrici
  • 2. Kochanski (1685)
  • 3. Kochanski (variante)
  • 4. Specht

3.1.

Isoperimetrici

– Nicola Chiriano

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Conclusioni

  • 1. Altre applicazioni
  • 2. π dove non te lo aspetti

4.1.

Altre applicazioni

in Geometria
[list][*]lunghezza della circonferenza[br][math]C=2\pi r[/math][br][/*][*]area del cerchio[br][math]A=\pi r^2[/math][/*][*]area dell’ellisse[br][math]A=\pi ab[/math][br][/*][*]area e volume della sfera[br][math]S=4\pi r^2,V=\frac{4}{3}\pi r^3[/math][br][/*][*]volume di un cilindro e di un cono[br][math]V=\pi r^2h,V=\frac{\pi r^2h}{3}[/math][/*][/list]
in Analisi
[list][*]formula di Viete[/*][*]formula di Leibniz[/*][*]formula di Nilakantha[/*][*]formula di Madhava[/*][*]prodotto di Wallis[/*][*]problema di Basilea[/*][*]funzione zeta di Riemann[/*][*]prodotto di Eulero[/*][*]integrale di Gauss[/*][*]integrale di Eulero[/*][*]integrale di Fresnel[/*][*]alcuni particolari integrali definiti[/*][*]funzione gamma[/*][*]approssimazione di Stirling[/*][*]funzione phi di Eulero[/*][*]identità di Eulero[/*][*]teorema dei residui[/*][*]frazione continua di Ramanujan[/*][/list]
in Fisica
[list][*]periodo delle piccole oscillazioni del pendolo[br][math]T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[/math][br][/*][*]forza di Coulomb[br][math]F=\frac{|q_1q_2|}{4\pi\epsilon_0r^2}[/math][br][/*][*]equazione di campo di Einstein della relatività generale[br][math]R_{ik}-\frac{g_{ik}R}{2}+\Lambda g_{ik}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{ik}[/math][br][/*][*]principio di indeterminazione di Heisenberg[br][math]\Delta x\Delta p\ge\frac{h}{4\pi}[/math][br][/*][/list]π è l’elemento unificatore tra Relatività e Quantistica!
in Probabilità e Statistica
[list][*]funzione di densità di probabilità nella distribuzione normale univariata[br][math]f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}[/math][br][/*][/list]
in Teoria dei numeri
[list][*] [math]\frac{6}{\pi^2}[/math] = probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro[/*][*] [math]\frac{\pi}{4}[/math] = numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti[br][/*][/list]
in altre branche
[list][*]Sistemi dinamici, teoria ergodica[br][/*][*]Aerodinamica[/*][/list]
– Nicola Chiriano

4.2.

–

Information