Un secolo dopo la caduta di Costantinopoli, secondo alcuni grazie ai testi Greci arrivati in occidente, la matematica europea iniziò una fase di risveglio.[br]Il primo grande risultato della matematica rinascimentale fu la formula risolutiva delle equazioni di terzo e quarto grado (Cardano, Tartaglia, del Ferro, Ferrari 1545).[br]Questa fase fu accompagnata da importanti innovazioni notazionali, che permisero di uscire dal solco della matematica greca e araba: si cominciò a fare una matematica in formule e non più a parole.[br][br]E' in questo periodo che venne introdotto il concetto di numero negativo.[br][br]Per trattare in maniera generale il problema della fattorizzazione di un polinomio, Bombelli nel 1572 propose di denotare con simboli speciali la radici quadrate di -1. Oggi usiamo il simbolo i, proposto molto più tardi da Eulero.[br][br]I numeri complessi, cioè numeri della forma [math]a+ib[/math] con [math]a[/math] e [math]b[/math] numeri reali (detti rispettivamente "parte reale" e "parte immaginaria" di [math]a+ib[/math]), furono quindi concepiti come [b]passaggi intermedi[/b] per arrivare alle soluzioni reali delle equazioni: non era il loro significato in se ad essere interessante, ma la possibilità di scrivere espressioni del tipo[br][math]x^2+1≡(x+i)(x−i)[/math],[br]e di dividere un polinomio di grado alto per un binomio "complesso".[br][br]Ma una volta introdotta la notazione, i matematici cominciarono ad interrogarsi sulle proprietà di queste soluzioni, trovando una struttura ricchissima che noi riusciremo solo ad intravedere.[br][br][size=85][table][tr][td]Si può fare un parallelo con i numeri negativi (introdotti anch'essi nel '500 e accettati definitivamente molto più tardi): se si vogliono rappresentare debiti e crediti con un'unica variabile, è "abbastanza naturale" assegnare il segno - ai debiti e fare la somma tra entrate e uscite. Ma se la somma algebrica è un'operazione naturale, molto meno naturale è fare il prodotto tra i numeri negativi! La regola che "meno per meno dà più", viene introdotta per una ragione puramente algebrica: salvare la proprietà distributiva di espressioni del tipo[/td][/tr][/table][/size][table][tr][td][math](4-3)(9-7)[/math][br][br][table][tr][td][size=85]La sequenza logica è quindi: [br][list=1][*]si introduce un insieme numerico allargato (gli interi relativi)[/*][*]si definisce un'operazione "somma algebrica"[/*][*]si definisce un'operazione "prodotto" in modo che vengano preservate le proprietà distributive, commutative e associative[/*][/list][/size][/td][/tr][/table][size=85]In un primo momento, fu solo una scelta notazionale. Poi via via i numeri negativi assunsero importanza, perché fu chiaro che l'insieme numerico dei numeri reali, chiuso rispetto alle operazioni di somma algebrica e prodotto, era molto più naturale per essere trattato algebricamente.[/size][/td][/tr][/table][br]Nel 1629, il fiammingo Girard diede alle radici negative e immaginarie la dignità di soluzioni, enunciando il [b]Teorema fondamentale dell'algebra[/b], dimostrato poi da Gauss nel 1799: ogni equazione algebrica di grado n ha n soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità.