Următoarea aplicație construiește patrulatere ABCD, izoperimetrice, pe baza valorilor următoarelor mărimi:[br][list][*]perimetrul, [b][i]P[/i][/b];[/*][*]lungimea laturii [b]AB[/b], [i]a[/i];[/*][*]lungimea laturii [b]BC[/b], [b][i]b[/i][/b];[/*][*]măsura [math]\angle ABC=\varphi[/math];[/*][*]măsura [math]\angle CMD=\epsilon[/math], unde [b]M[/b] este mijlocul diagonalei [b]AC.[/b][/*][/list]Caseta [b]Patrulatere convexe [/b]permite vizualizarea/ascunderea curbei formate din punctele [b]D[/b] cărora le corespund patrulaterele ABCD convexe.[b][br][/b]
Ce condiție trebuie să satisfacă lungimile laturilor patrulaterului ABCD ?
[br][code][/code][math]a< b+c+d = P-a\Rightarrow a< \frac{P}{2}[/math][br]Analog, [math]b< \frac{P}{2}, c< \frac{P}{2}, d< \frac{P}{2}.[/math][br][code][/code]
Ce [code][/code]condiție trebuie să satisfacă [math]\varphi =\measuredangle ABC?[/math][br][code][/code]
[math]P-\left(a+b\right)>\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\phi\right)}\Rightarrow cos\left(\phi\right)>\frac{a^2+b^2-\left(P-\left(a+b\right)\right)^2}{2ab}[/math][br][math]1)a+b<\frac{P}{2}\Rightarrow\varphi\in\left(0,\pi\right);\\2)a+b>\frac{P}{2}\Rightarrow\varphi\in\left(0,arccos\left(\frac{a^{2}+b^{2}-\left(P-(a+b)\right)^{2}}{2ab}\right)\right)[/math][br][code][/code][br]
Determinați expresiile semiaxei mari ([b]m[/b]), semiaxei mici ([b]n[/b]), distanței focale ([b]2f[/b]) ale (semi)elipsei pecare se află vârful [b]D[/b]?
[math]m=\frac{P-\left ( a+b \right )}{2}[/math][br][code][/code][math]2f=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\left ( \varphi \right )}[/math][br][math]n=\sqrt{m^{2}-f^{2}}[/math]
Dacă vârful A coordonatele (0,0) și vârful B are coordonatele (a,0), determinaţi coordonatele vârfurilor C și D.
[math]C\left (a-b\cdot cos\left ( \varphi \right ), b\cdot sin\left ( \varphi \right ) \right )[/math][br][math]\begin{cases}[br] & \text{ } x_D=\left ( m\cdot cos(u)+f \right )\cdot cos(\theta )-n\cdot sin(u)\cdot sin(\theta ) \\[br] & \text{ } y_D=\left ( m\cdot cos(u)+f \right )\cdot sin(\theta )+n\cdot sin(u)\cdot cos(\theta ) [br]\end{cases}[/math], unde [math]\begin{cases}[br] & \text{ } cos(u)=\frac{n\cdot cos(\varepsilon )}{\sqrt{m^2sin^2\left ( \varepsilon \right )+n^2cos^2\left ( \varepsilon \right )}} \\[br] & \text{ } sin(u)= \frac{m\cdot sin(\varepsilon )}{\sqrt{m^2sin^2(\varepsilon )+n^2cos^2(\varepsilon )}}[br]\end{cases}[/math][br][code][/code][code][/code]
Determinați valorile lui [math]\varepsilon [/math] cărora le corespund patrulatere ABCD convexe.
[math]\varepsilon \in \left ( \varepsilon _{i},\varepsilon _{s} \right )[/math].[br][math]\varepsilon _{i}[/math] se determină impunând condiția [math] C\in \left ( BD_{i} \right )[/math]. [br]Se obține [math]c_{i}=\frac{p\left ( p-a-b \right )+ab\cdot cos^{2}\left ( \frac{\varphi }{2} \right )}{p-a\cdot cos^2\left ( \frac{\varphi }{2} \right )}[/math], [math]cos\left ( u_i \right )=\frac{m-c_i}{f}[/math], [math]cos\left ( \varepsilon _i \right )=\frac{m\cdot cos\left ( u_i \right )}{\sqrt{f^{2}cos^2\left ( u_i \right )+n^2}}[/math][br][math]\varepsilon _{s}[/math] se determină impunând condiția [math]A\in \left ( BD_{s} \right )[/math].
Exprimați lungimile laturilor [b]paralelogramului[/b] ABCD, în funcție de [b]P[/b] și de[b] a[/b].
c = CD = AB = a[br][code][/code][math]BC=b=\frac{P}{2}-a[/math][br][code][/code][math]d=DA=BC=b=\frac{P}{2}-a[/math][br][code][/code][br][code][/code]
Exprimați [i][b]semiaxa mare[/b][/i], [b]m[/b], [b][i]semiaxa mică[/i][/b], [b]n[/b], și [b][i]distanța focală[/i][/b], [b]2f[/b], ale [b][i]elipsei[/i][/b] pe care se află vârful [b]D[/b] al [b][i]paralelogramului ABCD[/i][/b], în funcție de [b]a[/b] și de [b]b[/b].
[code][/code][math]m=\frac{a+b}{2}=\frac{P}{4}[/math][br][math]2f=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\left ( \varphi \right )}[/math][br][math]n=\sqrt{m^{2}-f^{2}}=\sqrt{ab}\cdot cos\left ( \frac{\varphi }{2} \right )[/math]
Exprimați [math]\mathbf{\epsilon =\measuredangle COD}[/math] în funcție de [b]P[/b], [b]a[/b] și [b]f[/b].
[math]cos\left ( \epsilon \right )=\frac{P-4a}{4f}[/math]
Det[code][/code]erminați[math]\theta =\measuredangle BAC[/math] în funcție de [b]a[/b], [b]b[/b], [b]f [/b]și [math]\varphi[/math].
[math]cos\left ( \theta \right )=\frac{a-b\cdot cos\left ( \varphi \right )}{2f}[/math]
Determinați [math]\gamma=\angle CAD[/math] în funcție de P, a, b, f și [math]\theta[/math].
Se aplică teorema sinusului în [math]\Delta[/math]ACD și relația c+d = P - (a+b).[br]Se obține [math]tg\left ( \frac{\gamma }{2} \right )=\frac{k-1}{k+1}\cdot ctg\left ( \frac{\theta }{2} \right )[/math], unde [math]k=\frac{P-\left ( a+b \right )}{2f}[/math]
Determinați [b]c [/b]și [b]d[/b].
[math]c=2f\cdot\frac{sin\left(\gamma\right)}{sin\left(\theta+\gamma\right)}[/math][code][/code][code][/code][br][math]d=2f\cdot\frac{sin\left(\theta\right)}{sin\left(\theta+\gamma\right)}[/math]
Determinați coordonatele vârfului [b]D[/b] în raport cu [i]sistemul de axe de coordonate[/i] față de care [b][i]ecuația elipsei [/i][/b]are [b][i]formă canonică.[/i][/b]
[math]\begin{cases}[br] & \text{ } D\left ( m\cdot cos\left ( u \right ),n\cdot sin\left ( u \right ) \right ) \\[br] & \text{ } C\left ( f,0 \right )[br]\end{cases}[/math][br][math]\begin{cases}& \text{}cos\left(u\right)=\frac{m-c}{f}\\& \text{}sin\left(u\right)=\sqrt{1-cos^{2}\left(u\right)}\end{cases}[/math]
Determinați [code][/code][math]\varepsilon =\measuredangle CMD[/math].
[math]\begin{cases}[br] & \text{ } cos\left ( \varepsilon \right )=\frac{m\cdot cos\left ( u \right )}{\sqrt{m^{2}\cdot cos^{2}\left ( u \right )+n^{2}\cdot sin^{2}\left ( \right )}} \\[br] & \text{ } sin\left ( \varepsilon \right )= \frac{n\cdot sin\left ( u \right )}{\sqrt{m^{2}\cdot cos^{2}\left (u \right )+n^{2}\cdot sin^{2}\left ( u \right )}}[br]\end{cases}[/math]
Determinați coordonatele vârfului [b]D[/b] în raport cu sistemul de axe de coordonate [i][b]xOy[/b][/i].
Se înlocuiesc rezultatele anterioare în expresiile coordonatelor vârfului D, prezentate în paragraful ”[i]Patrulatere izoperimetrice. Cazul general[/i]”.
Ce tip de patrulater se obține dacă îndeplinită condiția [b]a + b = P/2[/b]?
Se obține relația [math]a-c=d-b[/math].[br]Se aplică teorema cosinusului în [math]\Delta ABC[/math] si in [math]\Delta ACD[/math].[br]Din cele două relații se obține [math]\left ( a-c \right )\cdot\left ( P-2\cdot \left ( 2f \right )\cdot cos\left ( \theta \right ) \right ) =0[/math][br]Cum [math][/math], [math]P> 2\cdot 2f> 2\cdot (2f)\cdot cos\left ( \theta \right )[/math], rezultă că [math]P-2\cdot \left ( 2f \right )\cdot cos\left ( \theta \right )> 0[/math].[br]Prin urmare, [math][/math][math]a-c=0\Leftrightarrow a=c\Leftrightarrow b=d[/math][br]În concluzie, [b]ABCD[/b] este [b]paralelogram[/b].
În ce condiții, trapezul ABCD are AB baza mare și este isoscel?
[math]d=b\Rightarrow c=P-a-2b>0\Rightarrow b<\frac{P-a}{2}[/math][br][math]a-c=2\left ( a+b \right )-P> 0\Rightarrow a+b> \frac{P}{2}[/math]
Exprimați [math]\gamma =\measuredangle CAD[/math] în funcție de [math]P,a,b,\varphi,\theta,f[/math].
Se aplică relația [math]c+d=P-\left ( a+b \right )[/math] și teorema sinusului în [math]\Delta ACD [/math].[br]Se obține [math]tg\left ( \frac{\gamma }{2} \right )=\frac{k-1}{k+1}\cdot tg\left ( \frac{\varphi +\theta }{2} \right )[/math], unde [math]k=\frac{P-\left ( a+b \right )}{2f}[/math].
Determinați [b]c[/b] și [b]d[/b].
[math]c=2f\cdot \frac{sin\left ( \varphi +\theta \right )}{sin\left ( \varphi +\theta -\gamma \right )}[/math][br][math]d=2f\frac{sin\left(\gamma\right)}{sin\left(\varphi+\theta-\gamma\right)}[/math][br][code][/code]
În ce condiții trapezul ABCD, de bază BC, este isoscel și BC este baza mare?
[math]d=P-\left ( 2a+b \right )> 0\Rightarrow b< P-2a[/math][br][math]cos\left(\varphi\right)=\frac{2\left(a+b\right)-P}{2a}>0\Rightarrow a+b>\frac{P}{2}[/math]
Determinați [b]c[/b] și [b]d[/b].
[math]\begin{cases}[br] & \text{ } c+d=P-(a+b) \\[br] & \text{ } c\cdot d=\frac{\left ( P-(a+b) \right )^{2}-(a-b)^{2}}{(2\cdot sin\left ( \frac{\varphi }{2} \right ))^{2}} -ab[br]\end{cases}[/math]
Determinați [math]\varepsilon =\measuredangle CMD[/math].
[math]\left ( f-m\cdot cos(\varepsilon ) \right )^{2}+\left ( n\cdot sin(\varepsilon ) \right )^{2}=c^{2}[/math][br][math]\begin{cases}[br] & \text{ } cos(\varepsilon )=\frac{m-c}{f} \\[br] & \text{ } sin(\varepsilon )=\sqrt{1-cos^{2}(\varepsilon )} [br]\end{cases}[/math]
Determinați coordonatele centrului cercului circumscris patrulaterului ABCD.
[math]\begin{cases}[br] & \text{ } x_{O}= \frac{a}{2}\\[br] & \text{ } y_{O}=\frac{\left| a\cdot cos(\varphi )-b\right|}{2\cdot sin(\varphi )} [br]\end{cases}[/math]
Determinați raza cercului circumscris patrulaterului ABCD.
[math]R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos(\varphi )}}{2\cdot sin(\varphi )}[/math]
Care sunt condițiile necesare pentru ca patrulaterul ABCD să fie circumscriptibil?
[list=1][*]a+c=b+d[br][/*][*][math]\delta < \varphi +\theta[/math] [br][/*][*][math]\gamma < \pi -\theta[/math] [br][/*][/list][br]
Determinați [b]r[/b], raza cercului înscris în patrulaterul ABCD.
[math]r=\frac{ab}{p}\cdot sin(\frac{\varphi }{2})\cdot \left ( cos\left ( \frac{\varphi }{2} \right )+\sqrt{cos^{2}\left ( \frac{\varphi }{2} \right )+\frac{p(p-a-b)}{ab}} \right )[/math]
Determinați coordonatele punctului [b]I[/b], centrul cercului înscris în patrulaterul ABCD.
[math]\begin{cases}[br] & \text{ } x_{I}=a-r\cdot ctg\left ( \frac{\varphi }{2} \right ) \\[br] & \text{ } y_{I}=r [br]\end{cases}[/math]