Rechenregeln für Grenzwerte

Eva Trinenberg, Mar 7, 2019

Dieses Buch ist als Lernumgebung gedacht, mit der sich Mathematik-interessierte Oberstufenschüler und Mathematikstudierende in 20-40 Minuten selbstständig die Rechenregeln für Grenzwerte erarbeiten können. ________________________________________________________________________________________________________________ In diesem Buch wirst du die Rechenregeln für Grenzwerte genauer kennen lernen. Dazu sollst du die einzelnen Kapitel in ihrer Reihenfolge in insgesamt 20-40 Minuten bearbeiten. Es werden dir hin und wieder [b]Aufgaben mit *[/b] begegnen. Diese sind zur [b]freiwilligen Bearbeitung[/b] gedacht und meist etwas schwieriger.

Table of Contents

  1. Die Rechenregeln für Grenzwerte
    1. Vorstellung der Rechenregeln für Grenzwerte
  2. Die Regeln (i) und (ii)
    1. Erkunden: Vielfache und Summen konv. Folgen
    2. Single-Choice-Aufgaben zu (i) und (ii)
    3. * Aufgaben zu (i) und (ii) ohne Hilfen
    4. * Lösungen zu den Aufgaben zu (i) und (ii)
  3. Beweise zu den Rechenregeln
    1. Beispielbeweis zu (ii)
    2. * selbstständiges Beweisen von (i)
  4. Die Regeln (iii) und (iv)
    1. Erkunden: Produkte und Quotienten von konv. Folgen
    2. Multiple-Choice-Aufgaben zu (iii) und (iv)
    3. * Aufgaben zu (iii) und (iv) ohne Hilfen
    4. * Lösungen zu den Aufgaben zu (iii) und (iv)
  5. * Übertragung der Grenzwertregeln für Folgen auf Funktionen
    1. Ausblick zu Funktionen

1.

Die Rechenregeln für Grenzwerte

In dem ersten Kapitel werden die vier Rechenregeln für Grenzwerte vorgestellt. Die folgenden Kapitel bauen auf diese Regeln auf und behandeln sie detaillierter. Damit du nicht immer zum Anfang zurückkehren musst, [b]wird sich am Kopf jeder Aktivität der Regelkasten wiederholen[/b].

  • 1. Vorstellung der Rechenregeln für Grenzwerte

1.1.

Vorstellung der Rechenregeln für Grenzwerte

Du hast bereits gelernt, dass man Folgen auf [i]Konvergenz[/i] untersuchen kann. Bei dieser Untersuchung von Folgen sind die unten aufgezählten vier [i]Rechenregeln für Grenzwerte[/i] eine wichtige Hilfe. Mit ihnen wird sich die gesamte Lernumgebung beschäftigen. Sie soll dir helfen zu verstehen, was die mathematische Definition der Regeln in konkreten Fällen bedeutet.
Die Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]
Möchtest du die Rechenregeln für Grenzwerte noch einmal in anderen Worten erklärt haben?
Dieses Werk ist unter einer Creative Commons Lizenz vom Typ Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International zugänglich. Um eine Kopie dieser Lizenz einzusehen, konsultieren Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ oder wenden Sie sich brieflich an Creative Commons, Postfach 1866, Mountain View, California, 94042, USA.
– Eva Trinenberg

2.

Die Regeln (i) und (ii)

Erkunde die Regeln durch Applets mit ausgewählten Folgen. Sie sollen die Regeln veranschaulichen. Anschließend muss [b]nur eine Aktivität mit Aufgaben[/b] bearbeitet werden. Du hast die Wahl zwischen den Single-Choice-Aufgaben [b]oder[/b] den Aufgaben ohne Hilfestellung. Für dieses Kapitel angedachte Zeit: bis 15min

  • 1. Erkunden: Vielfache und Summen konv. Folgen
  • 2. Single-Choice-Aufgaben zu (i) und (ii)
  • 3. * Aufgaben zu (i) und (ii) ohne Hilfen
  • 4. * Lösungen zu den Aufgaben zu (i) und (ii)

2.1.

Erkunden: Vielfache und Summen konv. Folgen

Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br][b](i) Für jede Konstante [/b][math]c\in\mathbb{R}[/math][b] ist die Folge [/b][math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math][b].[br](ii) Die Folge [/b][math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math][b].[/b][br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]
Aufgabenstellung
Die ersten zwei Rechenregeln für Grenzwerte sind in den folgenden Applets für ausgewählte Beispiele visualisiert. Mit den Applets kannst du erproben, wie sich die Folgen verhalten und mehrere Parameter selbst ändern.[br]Versuche nachzuvollziehen, was die Änderungen der Parameter bewirken und wie der Grenzwert der zu untersuchenden Folge bestimmt wird.
(i) Vielfache einer konvergenten Folge
(ii) Summe zweier konvergenter Folgen
Tipp zum Applet
Du hast einen besseren Überblick über die Folgen, wenn du immer [b]nur ein Kontrollkästchen[/b] aktivierst.
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– Eva Trinenberg

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Beweise zu den Rechenregeln

Dieses Kapitel soll die typische mathematische Arbeitsweise verdeutlichen: Regeln müssen erst auf Allgemeingültigkeit geprüft werden! Deshalb wird die Vorgehensweise der Beweisführung am Beispiel der Regel (ii) gezeigt. Beweise sind für dich vielleicht noch etwas schwer, weil du ihnen in der Schule selten begegnest. Das Beispiel soll dir dabei helfen, dich an die Vorgehensweisen und Formalitäten beim Beweisen zu gewöhnen. Aus Zeitgründen werden aber nicht alle vier Regeln bewiesen. Für dieses Kapitel angedachte Zeit: bis 10min

  • 1. Beispielbeweis zu (ii)
  • 2. * selbstständiges Beweisen von (i)

3.1.

Beispielbeweis zu (ii)

ACHTUNG: Beweise nötig!
Du hast bereits die ersten zwei Rechenregeln für Grenzwerte mit den Applets erkundet. Wahrscheinlich hast du die Regeln auch bestätigt gesehen. [b]Doch bevor man in der Mathematik Regeln allgemein gültig verwendet, müssen sie bewiesen sein.[/b][br]Alle vier Regeln werden nach dem Prinzip bewiesen, dass ab einem bestimmten [math]n_{\varepsilon}[/math] alle weiteren Werte der Folge nur noch in einer Entfernung von maximal [math]\varepsilon[/math] um den Grenzwert herum liegen (Epsillon-Schlauch).[br]Im folgenden wirst du den Beweis zu (ii) gezeigt bekommen (und kannst anschließend selber (i) beweisen, wenn du Zeit dafür hast).[br]Du solltest diesen Abschnitt sorgfältig lesen, denn Beweise sind in der Hochschulmathematik sehr wichtig!
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br][b](ii) Die Folge [/b][math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math][b].[/b][br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]
Beispielbeweis zu (ii)
Es sei ein beliebiges aber festes [math]\varepsilon>0[/math] vorgegeben.[br]Zu zeigen ist, dass ein [math]n_{\varepsilon}[/math] existiert für das [math]|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)|<\varepsilon[/math] für alle [math]n\ge n_{\varepsilon}[/math] gilt.[br][br]Es ist [math]|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)|=|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)|\le|a_n-a|+|b_n-b|[/math] [b](*)[/b][br][br]Da die einzelnen Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent sind, existieren [math]n_{\varrho}[/math] und [math]n_{\sigma}[/math], sodass[br][math]|a_n-a|<\varrho[/math] für alle [math]n\ge n_{\varrho}[/math] und [math]|b_n-b|<\sigma[/math] für alle [math]n\ge n_{\sigma}[/math] gilt.[br][br]Wir wählen nun [math]\varrho=\sigma=\frac{\varepsilon}{2}[/math] und als [math]n_{\varepsilon}[/math] das Maximum von [math]n_{\varrho}[/math] und [math]n_{\sigma}[/math].[br]Dann gilt [math]|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)|\le|a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/math]. q.e.d.[br][br]Nach Definition gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].
Frage zum Beweis von (ii)
Was passiert im Schritt [b](*)[/b] ?
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– Eva Trinenberg

3.2.

–

4.

Die Regeln (iii) und (iv)

Erkunde die Regeln durch Applets mit ausgewählten Folgen. Sie sollen die Regeln veranschaulichen. Anschließend muss [b]nur eine Aktivität mit Aufgaben[/b] bearbeitet werden. Du hast die Wahl zwischen den Multiple-Choice-Aufgaben [b]oder[/b] den Aufgaben ohne Hilfestellung. Für dieses Kapitel angedachte Zeit: bis 15min

  • 1. Erkunden: Produkte und Quotienten von konv. Folgen
  • 2. Multiple-Choice-Aufgaben zu (iii) und (iv)
  • 3. * Aufgaben zu (iii) und (iv) ohne Hilfen
  • 4. * Lösungen zu den Aufgaben zu (iii) und (iv)

4.1.

Erkunden: Produkte und Quotienten von konv. Folgen

Nach einer kurzen Thematisierung der Beweise geht es zurück zur Anwendung. (Die Regeln (iii) und (iv) sind ein bisschen aufwendiger zu beweisen, weshalb du sie [i]ausnahmsweise[/i] ohne Beweis anwenden darfst.)
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br][b](iii) Die Folge [/b][math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math][b].[br](iv) Falls alle [/b][math]b_n\ne0[/math][b] sind sowie [/b][math]b\ne0[/math][b] ist, so ist die Folge [/b][math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math][b].[/b][br]
Aufgabenstellung
In den zwei folgenden Applets kannst du (iii) und (iv) erkunden. Mit den Applets kannst du erproben, wie sich die Folgen verhalten und mehrere Parameter selbst ändern. In den Applets sind auch [b]Eingabefelder[/b], in die du [b]eigene Folgen eingeben[/b] kannst.[br]Versuche nachzuvollziehen, was die Änderungen der Parameter bewirken und wie der Grenzwert der zu untersuchenden Folge bestimmt wird.
(iii) Produkt zweier konvergenter Folgen
Tipp zu den Applets
Du hast einen besseren Überblick über die Folgen, wenn du immer [b]nur ein Kontrollkästchen[/b] aktivierst.
(iv) Quotient zweier konvergenter Folgen
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– Eva Trinenberg

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

* Übertragung der Grenzwertregeln für Folgen auf Funktionen

Für ganz Schnelle: Folgen sind kein Thema der Schulmathematik, doch in der Hochschulmathematik baut man bei der Untersuchung von Funktionen (Abbildungen auf [math]\mathbb{R}[/math]) auf das Wissen über Folgen (Abbildungen auf [math]\mathbb{N}[/math]) auf. Für dieses Kapitel angedachte Zeit: ca. 5min

  • 1. Ausblick zu Funktionen

5.1.

Ausblick zu Funktionen

Übertragung auf Grenzwerte von Funktionen
In der Schule arbeitet ihr weniger mit Folgen, sondern mehr mit [b]Funktionen[/b] über die reellen Zahlen. Diese untersucht ihr auf Nullstellen, Steigung, Extrema, Wendestellen und eben auch auf ihr [b]Unendlichkeitsverhalten[/b]. Hier hilft das Wissen über Grenzwerte bei Folgen euch, auf die Grenzwerte von Funktionen zu schließen.
a)
Welchen Grenzwert hat die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] und von welcher Folge kannst du ihn herleiten?
b)
Wohin strebt [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x+2\right)}{x-3}[/math]?
Das soll nur ein kurzer Ausblick sein, was in der Hochschulmathematik noch folgen wird: Später werden statt den Folgen die [b]Funktionen[/b] und ihre Eigenschaften untersucht - sehr viel genauer als in der Schule.[br][br]Du fragst dich vielleicht:[br][i]Warum behandelt die Universität Funktionen erst nach Folgen, obwohl Funktionen schon in der Schule behandelt werden?[/i][br]Antwort:[br]Beides sind Abbildungen: Folgen sind Abbildungen von [math]\mathbb{N}[/math] nach [math]\mathbb{R}[/math] und die "Funktionen" in der Schule sind Abbildungen von [math]\mathbb{R}[/math] nach [math]\mathbb{R}[/math]. In der Hochschule behandelt man Definitionen und Regeln meist von kleinen Mengen hin zu großen (hier: Von [math]\mathbb{N}[/math] über [math]\mathbb{Z}[/math] und [math]\mathbb{Q}[/math] nach [math]\mathbb{R}[/math]), um Regeln mit möglichst wenig Aufwand zu übertragen oder zu erweitern. Deshalb behandelt man an der Hochschule vor der Untersuchung von Funktionen ausführlich Folgen und Reihen.
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– Eva Trinenberg

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