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Probabilidad Total y Teorema de Bayes
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1. Introducción
- Introducción
- Historia y motivación
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2. Sucesos
- Sucesos aleatorios
- Tipos de sucesos
- Álgebra de sucesos
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3. Operaciones con sucesos
- Unión de sucesos
- Intersección de sucesos
- Complementario de un suceso
- Leyes de Morgan
- Sucesos compatibles
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4. Probabilidad
- Frecuencia de un suceso. Regla de Laplace
- Axiomática de Kolmogórov
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5. Probabilidad Condicionada
- Introducción
- Cálculo de la probabilidad condicionada
- Independencia de sucesos
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6. Probabilidad Total. Teorema de Bayes
- Probabilidad Total
- Teorema de Bayes
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7. Actividades
- Ejercicios
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Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Mari Carmen Artiles Ramos, Dec 7, 2024
Este libro interactivo ofrece una introducción clara y accesible al cálculo de las probabilidades más básicas, cubriendo los conceptos fundamentales como los espacios muestrales, eventos, y la regla de la probabilidad total. Además, se estudia el Teorema de Bayes, un resultado clave en esta área de las Matemáticas. A lo largo del texto, se presentan ejemplos prácticos y problemas resueltos que permiten al lector comprender cómo aplicar estos conceptos a situaciones reales.
Table of Contents
- Introducción
- Introducción
- Historia y motivación
- Sucesos
- Sucesos aleatorios
- Tipos de sucesos
- Álgebra de sucesos
- Operaciones con sucesos
- Unión de sucesos
- Intersección de sucesos
- Complementario de un suceso
- Leyes de Morgan
- Sucesos compatibles
- Probabilidad
- Frecuencia de un suceso. Regla de Laplace
- Axiomática de Kolmogórov
- Probabilidad Condicionada
- Introducción
- Cálculo de la probabilidad condicionada
- Independencia de sucesos
- Probabilidad Total. Teorema de Bayes
- Probabilidad Total
- Teorema de Bayes
- Actividades
- Ejercicios
Introducción
En este libro interactivo (LIG) se tratará la siguiente situación de aprendizaje: “Probabilidad Total y Teorema de Bayes”. Con el estudio de esta rama de las Matemáticas se pretende idear y construir una secuencia de enseñanza innovadora que trate los puntos clave de esta rama de conocimiento. Se pretende que los alumnos sean capaces de asimilar dichos saberes y aplicarlos en distintos ámbitos de su vida cotidiana. Para ello, se ha diseñado este libro con teoría y una secuencia de actividades con distintos enfoques que permite a los estudiantes comprender desde un punto de vista práctico dos de los resultados más notables en esta parte de las Matemáticas: el cálculo de la probabilidad total y el Teorema de Bayes. A lo largo de la secuencia didáctica, se irán presentado los contenidos en diferentes secciones. Cada una de estas secciones finaliza con una tarea para trabajar los contenidos relativos a dicha sección.
Sucesos aleatorios
Un experimento aleatorio es aquel que al repetirlo en análogas condiciones da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. Son ejemplos de experimentos aleatorios los siguientes:
- Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara o cruz.
- Sacar una carta de una baraja española y observar si es figura.
- Lanzar un dado para observar los posibles resultados de sus caras.
- Contar cuántos coches pasan por un lugar durante cinco minutos en horas distintas del día.
Se define el espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados que pueden darse al realizar un experimento aleatorio. Se denota con la letra . Por ejemplo:
- En la experiencia aleatoria ¨lanzar un dado¨, el espacio muestral sería ={1,2,3,4,5,6}.
- En el experimento aleatorio ¨lanzar un dado y una moneda¨, el espacio muestral estaría formado por los siguientes elementos ={1C,1X,2C,2X,3C,3X,4C,4X,5C,5X,6C,6X}.
- En la experiencia aleatoria ¨extraer una carta de una baraja española¨, el espacio muestral tiene 40 elementos, que son todos los posibles naipes de la baraja.
Para hallar el espacio muestral de muchos experimentos aleatorios conviene utilizar una representación gráfica, llamada diagrama de árbol, que permite describir todos los posibles resultados obtenidos después de varias etapas sucesivas.
Ejemplo
Considerando el experimento aleatorio "lanzar tres veces una moneda al aire", completar el espacio muestral: E = {(C, C, C), (C, C, +), (C, +, C), …} En primer lugar, consideramos el suceso “lanzar una moneda”. Sabemos que el espacio muestral de dicho suceso aleatorio es E={C,X}. A continuación, consideramos 3 veces este suceso, es decir, consideramos el suceso “lanzar 3 veces una moneda”. Para determinar el espacio muestral de este suceso, debemos tener en cuenta el espacio muestral en cada lanzamiento. Para entenderlo mejor, realizamos un diagrama de árbol teniendo en cuenta las posibilidades de cada lanzamiento:
Concluimos así que, el espacio muestral será:
E = {{C, C, C}, {C, C, +}, {C, +, C}, {C, +, +}, {+, C, C}, {+, C, +}, {+,+, C}, {+, +, +}}.
Por último, se denomina suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, en el experimento aleatorio ¨lanzar un dado¨ podemos definir los siguientes sucesos aleatorios.
- A=¨Obtener un número par¨ = {2,4,6}
- B=¨Obtener un número mayor que 4¨ = {5,6}
- C=¨Obtener un 3¨ = {3}
- D= ¨Obtener un número mayor que 6¨ =
Unión de sucesos
Dados dos sucesos, A y B, se llama suceso unión de A y B al suceso, A U B , que resulta si se obtiene el suceso A o el suceso B (o ambos), es decir, es el suceso formado por todos los resultados de A y de B juntos.
Frecuencia de un suceso. Regla de Laplace
Llamaremos frecuencia absoluta (fA) de un suceso al número de veces que se repite un suceso cuando el experimento se realiza varias veces. Al cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento lo llamaremos frecuencia relativa (fr).
Por ejemplo, si lanzamos un dado de 6 caras 600 veces obteniendo como resultado un 2 en 90 ocasiones, concluimos que:
- fA(obtener un 2) = 90
- fr(obtener un 2) = 90/600 = 0,15
Regla de Laplace
Cuando en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, se dice que el suceso es equiprobable. Así, las caras de una moneda o las seis caras de un dado son equiprobables, ya que cada una de ellas tiene la misma probabilidad de salir que las demás.
La probabilidad de un suceso A, formado por sucesos elementales equiprobables, es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles que se pueden dar al realizar el experimento. Esta definición se conoce como regla de Laplace.
Ejemplo
En una pecera hay 3 peces rojos, 8 peces cometa y 14 peces telescopio. Si sacamos uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un pez cometa?
Cada pez tiene la misma posibilidad de salir que los demás. Se trata, por tanto, de sucesos equiprobables.
Hay 25 peces en total en la pecera (3+8+14), esto es, hay 25 casos posibles; mientras que los casos favorables (los peces cometa) son 8.
Por tanto, aplicando la Regla de Laplace, la probabilidad que se pide es:
P(pez cometa) = = 0.32
En cambio, si nos hubiéramos fijado en el tipo de pez (hay 3 tipos de peces, uno de los cuales es favorable), la probabilidad hubiera sido:
P(pez cometa) == 0,333...
Sin embargo, este último cálculo es incorrecto porque los sucesos "tipos de peces" no son equiprobables, dado que es más fácil sacar un pez telescopio (hay 14) que un pez rojo (hay 3).
Introducción
¿Por qué se debe estudiar la probabilidad condicionada?
Una vez hemos entendido algunas ideas clave como sucesos, espacio muestral y Regla de Laplace, es hora de estudiar el concepto de probabilidad condicionada. El estudio de la probabilidad condicionada es fundamental en esta rama de las Matemáticas, puesto que nos permite entender cómo ocurren sucesos dentro de un contexto específico, dado que ya ha sucedido otro suceso. Esto es crucial en situaciones donde la información disponible afecta la probabilidad de un resultado.
Notación
Denotaremos por P(A|B) a la probabilidad de que ocurra el suceso A sabiendo que ha ocurrido B. Estudiaremos cómo calcular la probabilidad condicionada en el siguiente apartado.
Ejemplo
En la imagen anterior tenemos dos sucesos A (representado por un rectángulo azul) y B (representado por un rectángulo amarillo). Además, su intersección se representa mediante un rectángulo verde. La probabilidad condicionada P(A∣B) mide qué tan probable es A dentro del suceso B.
Probabilidad Total
Si en un experimento compuesto, el resultado de un suceso se puede conseguir de más de un modo, su probabilidad es la suma de las probabilidades de los sucesos que lo producen.
Esta propiedad se denomina probabilidad total y es una consecuencia del tercer axioma de la probabilidad.
El Teorema de la Probabilidad Total afirma que: Si un suceso B está condicionado por otros sucesos , incompatibles dos a dos entre ellos , tales que , entonces, se cumple:A continuación, se incorpora un ejemplo en donde se ve reflejado la Probabilidad total variando n, siendo n el número total de puntos.
Ejercicios
A continuación se presenta una secuencia de actividades de distinto tipo (en su mayoría, de tipo práctico) que tiene como objetivo estudiar cada una de las partes o secciones tratadas en el libro interactivo de GeoGebra (LIG).
Actividad 1. Sabemos que si lanzamos una moneda al aire, podemos obtener dos resultados posibles: cara (que se denota por C) y cruz (que se denota por X). Si dicha moneda no está trucada, la probabilidad de obtener cara debe ser la misma que la probabilidad de obtener cruz, es decir, P(C)=P(X)=12.
Usa una moneda o entra en la siguiente página web https://app-sorteos.com/es/apps/cara-o-cruz y lanza una moneda 15 veces. Construye una tabla con los resultados obtenidos y comprueba si se cumple (aproximadamente) que la frecuencia de caras y cruces obtenidas es la misma.
Con esta actividad se pretende comprender el concepto más básico de azar y probabilidad. Recuerda que la teoría de la probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia los experimentos o fenómenos aleatorios, por tanto, es posible que en ocasiones obtengamos resultados “no esperados” o “sorprendentes”. En nuestro caso, es posible que el número de caras y cruces que obtengamos al lanzar la moneda no sea exactamente el mismo.
Actividad 2. En un partido de fútbol femenino que terminó con la victoria del equipo local, con un resultado de 4-2, se llegó al descanso con un marcador de 2-0. ¿Cómo se pudieron ir marcando los goles durante la segunda parte?
Ten en cuenta lo siguiente:
Se pide al alumno completar el siguiente esquema con las marcaciones correspondientes del partido:
Con este ejercicio bastante práctico se pretende que los alumnos entiendan la importancia y utilidad de los diagramas de árbol en distintos problemas de probabilidad. Estos diagramas, en la mayoría de los casos, simplifican mucho situaciones más complejas.
Actividad 3. Se sacan al azar dos bolas de una urna que contiene 3 bolas negras y 2 bolas blancas. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas en los siguientes casos:
Actividad 5. Resuelve, razonando tu respuesta, el problema de Monty Hall. Recuerda que el problema o paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidades basado en el concurso televisivo estadounidense Trato Hecho (Let’s Make a Deal). Dice así:
Con esta actividad, se pretende que los estudiantes reflexionen acerca de la situación y formulen hipótesis y/o conjeturas, desarrollando su intuición matemática. Aunque esta actividad no requiere del Teorema de Bayes u otros resultados similares para ser resuelta, es un muy buen ejercicio para desarrollar la lógica y habilidad matemática de los alumnos.
Actividad 6. Se dispone de un dado normal y otro trucado (con cuatro unos y dos doses). Se escoge uno al azar y se lanza dos veces. Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido 1 y que el de la segunda tirada ha sido 2, ¿cuál es la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado?
Con esta actividad se pretende aplicar el Teorema de Bayes en un contexto real, usando además gran cantidad de los conocimientos adquiridos en las actividades anteriores.
Actividad 7. Alicia utiliza los días laborables dos servicios de mensajería: WhastApp y Telegram. El primero lo emplea un 80% de las ocasiones, y el segundo, en el 20% de los casos. Por otro lado, el 70% de los mensajes de WhatsApp proceden de amigos, y el 30%, de trabajo; por su parte, en Telegram, el 40% son de amigos y el 60% de trabajo. Calcula:
Usa una moneda o entra en la siguiente página web https://app-sorteos.com/es/apps/cara-o-cruz y lanza una moneda 15 veces. Construye una tabla con los resultados obtenidos y comprueba si se cumple (aproximadamente) que la frecuencia de caras y cruces obtenidas es la misma.
Con esta actividad se pretende comprender el concepto más básico de azar y probabilidad. Recuerda que la teoría de la probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia los experimentos o fenómenos aleatorios, por tanto, es posible que en ocasiones obtengamos resultados “no esperados” o “sorprendentes”. En nuestro caso, es posible que el número de caras y cruces que obtengamos al lanzar la moneda no sea exactamente el mismo.
Actividad 2. En un partido de fútbol femenino que terminó con la victoria del equipo local, con un resultado de 4-2, se llegó al descanso con un marcador de 2-0. ¿Cómo se pudieron ir marcando los goles durante la segunda parte?
Ten en cuenta lo siguiente:
Se pide al alumno completar el siguiente esquema con las marcaciones correspondientes del partido:
Con este ejercicio bastante práctico se pretende que los alumnos entiendan la importancia y utilidad de los diagramas de árbol en distintos problemas de probabilidad. Estos diagramas, en la mayoría de los casos, simplifican mucho situaciones más complejas.
Actividad 3. Se sacan al azar dos bolas de una urna que contiene 3 bolas negras y 2 bolas blancas. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas en los siguientes casos:
- Con reemplazo (se saca la primera, se ve su color y se devuelve a la urna).
- Sin reemplazo (la primera bola que se saca no se devuelve a la urna).
- P(AB).
- P(AB).
Actividad 5. Resuelve, razonando tu respuesta, el problema de Monty Hall. Recuerda que el problema o paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidades basado en el concurso televisivo estadounidense Trato Hecho (Let’s Make a Deal). Dice así:
Con esta actividad, se pretende que los estudiantes reflexionen acerca de la situación y formulen hipótesis y/o conjeturas, desarrollando su intuición matemática. Aunque esta actividad no requiere del Teorema de Bayes u otros resultados similares para ser resuelta, es un muy buen ejercicio para desarrollar la lógica y habilidad matemática de los alumnos.
Actividad 6. Se dispone de un dado normal y otro trucado (con cuatro unos y dos doses). Se escoge uno al azar y se lanza dos veces. Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido 1 y que el de la segunda tirada ha sido 2, ¿cuál es la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado?
Con esta actividad se pretende aplicar el Teorema de Bayes en un contexto real, usando además gran cantidad de los conocimientos adquiridos en las actividades anteriores.
Actividad 7. Alicia utiliza los días laborables dos servicios de mensajería: WhastApp y Telegram. El primero lo emplea un 80% de las ocasiones, y el segundo, en el 20% de los casos. Por otro lado, el 70% de los mensajes de WhatsApp proceden de amigos, y el 30%, de trabajo; por su parte, en Telegram, el 40% son de amigos y el 60% de trabajo. Calcula:
- Calcula la probabilidad de que un día laborable Alicia reciba un mensaje de trabajo.
- Si un día recibe un mensaje de trabajo, calcula la probabilidad de que sea a través de WhatsApp.
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