Alumnas de 2º de ESO en el Museu del Taulell de Onda, Castellón
Investigaciones en clase
Algunas actividades que sirven como punto de partida para el trabajo en clase con el fin de provocar la investigación de los estudiantes en los conceptos y destrezas matemáticas .
Table of Contents
- Introducción
- Investigaciones
- La propuesta de trabajo
- El papel del profesor
- Herramientas a utilizar
- La programación de matemáticas
- Números
- La magia de las potencias 1
- La magia de las potencias 2
- La magia de las potencias 3
- Partículas y el m.c.m.
- Porcentajes y proporciones
- La bicicleta
- Los números felices
- Geometría
- Cuadrados
- Construir el cilindro hidráulico
- Secciones del cubo
- Omnipoliedro
- Gusanos
- Grupo de simetría del cuadrado
- Triángulo Imposible
- Matemáticas y arte
- La mitad del cuadrado
- El quitasol de Goya.
- El descendimiento. Van der Weyden
- El Partenón. La espiral áurea.
- La escuela de Atenas. Rafael.
- La Última Cena. Leonardo
- 4. Arco ojival
- 3. Arco de herradura
- 10. Arco rampante
- Basílica del Santo Spirito. Planta.
- Santa María de Novella. Proporción áurea.
- Santa María de Novella. Composición geométrica.
- Análisis y construcción de un mosaico de La Alhambra.
- Los cuatro movimientos en un mosaico. Escher
- Otros Mundos II. Escher
- Funciones
- Paseo
- Rectas al azar
- Ecuaciones de la recta
- Parabolas y fútbol
- Grafica de la exponencial
- Crecimiento exponencial
- Reloj celular
- Curvas de colores con GeoGebra
- Lanzamiento a Canasta. Parábolas.
- Álgebra
- Cubo de caras negras
- Cajas sin tapa
- Mantener la distancia
- Cadenas
- Las Ranas saltarinas
- Bachillerato
- Estimación de la función derivada
- Área bajo una curva
- Producto de matrices
- Matrices de conexiones
Investigaciones
Las investigaciones matemáticas son situaciones problemáticas aparentemente ambiguas que los estudiantes van clarificando cuando identifican, plantean y resuelven los problemas matemáticos que aparecen. [br][br]En este libro se presenta una colección de actividades que pueden servir de punto de partida para iniciar el trabajo de la clase de matemáticas tanto en secundaria como en bachillerato.[br][br]Las investigaciones resultan más interesantes cuando conectan a los estudiantes con situaciones cercanas y permiten proponer distintos tipos de organización de la clase: el trabajo individual y en grupo, las puestas en común y las exposiciones en público. La tarea más importante de profesor consiste en estar atento para averiguar cuándo y cómo puede intervenir para que los alumnos consigan aprender y avanzar de forma autónoma.
La magia de las potencias 1
El matemático francés Le Lionnais cuenta en uno de sus libros su experiencia cuando era niño. Una tarde de verano colocó la lista de los números del 1 al 9. Debajo de cada uno puso la última cifra de su cuadrado. La secuencia que obtuvo le sorprendió. Haz en tu cuaderno las dos listas, en la línea superior del 1 al 9 y, debajo de ella, la de las cifras en las que acaban sus cuadrados.[br][br]Ve a la aplicación. Utiliza el deslizador y los botones para ir avanzando en los pasos después de ir realizando los trabajos que se proponen. El paso 1 te muestra las últimas cifras de los cuadrados de los números 1 a 5. Después el paso 2 completa la lista de los cuadrados para que puedas revisar la tuya.
La lista de las últimas cifras de los cuadrados es muy llamativa. ¿Podrías describir con algunas frases las características especiales de esa línea?[br][br]Le Lionnais, animado por las coincidencias que había visto en los cuadrados, se puso a hacer una nueva lista con la última cifra de cada cubo. Hazla en tu cuaderno en la línea inferior a la de los cuadrados. En el paso 3 de la aplicación la puedes revisar. ¿Detectas algo especial en la nueva lista?. Observa la paridad, la posición de los números, posibles operaciones con ellos.[br][br]Lionnais siguió con las cuartas potencias. Otra vez sorpresa (Paso 4). Busca relaciones especiales también en esta línea.[br][br]Siguió buscando nuevas relaciones en las potencias. Llegó a pensar que podría dedicar mucho tiempo a encontrar listas y más listas de números y seguirían apareciendo relaciones interesantes. Sin embargo su desilusión llegó pronto, ocurrió al escribir la lista con la última cifra de las quintas potencias (paso 5). ¿Por qué crees que ya no encontraría nuevas listas interesantes?. Construye las listas de las potencias 5, 6, 7 y 8.[br][br]¿Puedes encontrar una forma para saber qué lista encontrarás en las potencias de la fila 127 de los números?, ¿y en las potencias de la fila 3410?[br][br]Una versión de esta actividad se encuentra en el proyecto MAT-TIC de la editorial SM.
Cuadrados
Elige dos puntos cualesquiera de la cuadrícula.[br]¿Cuándo pueden ser vértices adyacentes de un cuadrado?[br]¿Y vértices opuestos?
Da un procedimiento para encontrar los otros vértices en cada uno de los dos casos: cuando son vértices contiguos y cuando son vértices opuestos.
La mitad del cuadrado
Dado un cuadrado, una forma de obtener, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en:[br][br][i] Tomar los puntos medios de dos lados opuestos, y unirlos con un segmento. [br] Obtenemos un rectángulo como el de la imagen:[/i]
[i] Investiga nuevos procedimientos[/i][br][br]Para cada nueva solución se debe aportar:[br] Un dibujo a mano o la construcción con el software matemático GeoGebra[br] El nombre del polígono obtenido[br] El procedimiento escrito en forma de secuencia de instrucciones y se les pide además[br] La justificación de su solución, es decir, por qué su polígono es la mitad del cuadrado siempre que esté al nivel de los estudiantes.[br][br]En la aplicación puedes mover el punto verde para analizar varias formas de conseguir un trapecio de área la mitad del cuadrado. En la parte inferior se puede ver el historial de construcción para ver los pasos que se han dado, ésto también puede ayudar a la comprensión de las ideas implicadas.
La propuesta de trabajo revisa los conocimientos geométricos que los estudiantes han adquirido en primaria, sigue con su avance en la reflexión sobre las relaciones entre los elementos geométricos y se pone énfasis en el estudio de las isometrías.[br][br]El trabajo acaba con el diseño de baldosas cuadradas se convierte posteriormente en el diseño de azulejos para componer mosaicos que los alumnos pintan en el taller del Museo de Cerámica de Onda (Castellón) mediante la técnica del estarcido.[br][br]Un relato completo de la investigación desarrollada con el alumnado del IES Sant Blai de Alicante sse encuentra en http://jmora7.com/GG5/Mitad/Indice.html
Los mosaicos decoran la entrada del IES Sant Blai de Alicante
Paseo
José Antonio sale de casa, se dirige a la plaza del pueblo. Allí está tres cuartos de hora. Continúa después hacia el colegio. Cuando acaba las clases vuelve a casa.[br][br]Inicialmente el desplazamiento del punto sobre la gráfica es automático y puedes controlar la velocidad de la animación. Si activas la casilla inferior derecha, el desplazamiento lo puedes hacer manualmente al mover el punto P sobre el eje de abscisas.[br][br]Haz una descripción más detallada del recorrido de José Antonio: duración de los paseos, de las paradas y las clases del colegio, distancias recorridas, velocidades en cada trayecto.[br]
Inventa situaciones en el recorrido y toma puntos del Almacén para colocarlos sobre la parte derecha de la gráfica con el fin de representar nuevas situaciones. Repite en ellas las preguntas que se han planteado al inicio: duración, distancia recorrida y velocidades.[br][br]Basada en una ctividad presentada por Juan Vicente Sánchez Gaitero en las Jornadas de GeoGebra de Andalucía, marzo de 2010.
Cubo de caras negras
Tenemos un cubo de madera y lo pintamos exteriormente de negro.[br][br]Después lo descomponemos en 3 × 3 × 3 = 27 cubitos pequeños realizando cortes por planos paralelos a las caras por las líneas amarillas que aparecen en la aplicación. Si lo deseas, puedes girar el cubo con el punto rojo de la ventana izquierda para verlo en distintas posiciones.[br][br]Si pulsas la casilla [b]Mostrar ayuda[/b], podrás ver el interior del cubo. Si activas cada una de las casillas que aparecen se irá mostrando un cubo de cada tipo[br][br] Un cubo de color morado que se encuentra en un vértice y tendrá 3 caras pintadas de negro.[br] Un cubo de color verde que está en el centro de una arista.[br] Un cubo de color marrón en el centro de una cara.[br] Un cubo de color azul en el interior del cubo grande.
¿Cuántos de los cubitos tendrán 3, 2, 1 o ninguna caras pintadas de negro? Intenta resolverlo en primer lugar sin activar la casilla [b]Mostrar ayuda[/b]. Cuando creas que lo has conseguido actívala y revisa tus conclusiones.[br][br]Activa la casilla [b]Otros tamaños [/b]y modifica el deslizador de la arista para que el cubo cambie de tamaño y se descomponga en 2 × 2 × 2, 4 × 4 × 4 y 5 × 5 × 5 cubitos.[br][br]¿Cuántos cubos de cada tipo si lo descomponemos en 10 x 10 x10 cubitos más pequeños?[br][br]¿Y si lo hacemos en X x X x X cubitos?
Estimación de la función derivada
En color rojo tienes la gráfica de una función. Tu objetivo consiste en estimar la gráfica de su función derivada. Dispones de una colección de puntos de color azul que puedes desplazar verticalmente para dar forma a la curva con la que representarás la derivada.[br][br]También dispones de un punto que puedes desplazar por eje de abscisas y el correspondiente sobre la curva.[br][br]Dispones de varios tipos de ayuda que puedes activar con el botón [b][color=#a64d79]Ver [/color][/b]o desactivar con [b]Ocultar[/b].[br][br]Con [color=#3c78d8][b]Aproximación a la solución[/b][/color] aparece un número que te informa de cuánto se acerca curva de color azul a la función derivada. Cuando el porcentaje supere el 95%, pasará automáticamente al 100%.[br][br]Al pulsar sobre Recta tangente aparece la tangente a la curva en el punto indicado.[br]Con Pendiente en el punto se nos muestra un triángulo rectángulo que tiene un vértice en el punto de la curva y los catetos paralelos a los ejes. El lado paralelo al eje de abscisas mide 1, de forma que el lado vertical indicará la pendiente de la recta tangente en ese punto.[br]Por ultimo, Comprobación expone la curva de la función derivada en cada punto para que revisis tu estimación.[br]En la zona inferior de la ventana izquierda dispones del botón Nueva función para realizar nuevos ejercicios de práctica.
En la ventana izquierda puedes activar varias ayudas. Intenta utilizar unicamente la que nos da la aproximación a la solución. cuando tu gráfica esté muy cerca de la función derivada, aparecerá el 100%. Comprueba entonces tus fallos y aciertos.