EL CONJUGADO ISOGONAL

SAMOLO, May 20, 2021

Existen diversos temas, de la denominada geometría moderna del triángulo, que no se tratan en un primer curso de geometría a nivel de pregrado. Entre ellos podemos mencionar: Polos y polares, la geometría de Lemoine, la geometría de Brocard, la conjugación isogonal y otros. En el primer capítulo, se presentan algunos aspectos, conocidos, de la conjugación isogonal y se experimenta aplicando esta transformación a otros objetos geométricos tales como: secciones cónicas, polígonos regulares y familias de cuadrados y circunferencias. En el segundo, se encuentran lugares geométricos asociados a algunos puntos notables de un triángulo, y sus isogonales conjugados, en triángulos de área constante. Ud. puede experimentar con otros objetos mediante la combinación de la macroconstrucción que se ha denominado [b]isogónico[/b] y de la herramienta lugar geométrico.

Table of Contents

  1. CONJUGADO ISOGONAL DE ALGUNOS OBJETOS GEOMÉTRICOS
    1. EL CONCEPTO DE CONJUGADO - ISOGONAL
    2. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UN PUNTO
    3. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UNA RECTA
    4. EL CONJUGADO ISOGONAL DE LAS CÓNICAS
    5. EL CONJUGADO ISOGÓNAL DE LOS POLÍGONOS REGULARES
    6. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UNA FAMILIA DE CUADRADOS
    7. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UNA FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
  2. LUGARES GEOMÉTRICOS DE ALGUNOS PUNTOS NOTABLES Y SU CONJUGADO ISOGONAL EN TRIÁNGULOS DE ÁREA CONSTANTE.
    1. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL ORTOCENTRO Y SU ISOGÓNICO
    2. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL BARICENTRO Y SU ISOGÓNICO CONJUGADO
    3. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS Y SU CONJUGADO ISOGONAL
    4. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PRIMER PUNTO DE NAPOLEON Y SU CONJUGADO ISOGONAL
    5. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PRIMER PUNTO ISODINÁMICO Y SU CONJUGADO ISOGONAL
    6. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PUNTO FSOTO Y SU CONJUGADO ISOGONAL
    7. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PUNTO DE CUPPENS Y SU CONJUGADO ISOGONAL

1.

CONJUGADO ISOGONAL DE ALGUNOS OBJETOS GEOMÉTRICOS

  • 1. EL CONCEPTO DE CONJUGADO - ISOGONAL
  • 2. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UN PUNTO
  • 3. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UNA RECTA
  • 4. EL CONJUGADO ISOGONAL DE LAS CÓNICAS
  • 5. EL CONJUGADO ISOGÓNAL DE LOS POLÍGONOS REGULARES
  • 6. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UNA FAMILIA DE CUADRADOS
  • 7. EL CONJUGADO ISOGONAL DE UNA FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

1.1.

EL CONCEPTO DE CONJUGADO - ISOGONAL

Antes de desarrollar las actividades presentamos algunos conceptos teóricos básicos que son necesarios para una comprensión cabal de lo tratado.[br][br][b]Definición:[/b] Consideremos un ángulo de vértice en un punto A. Dos rectas que pasan por A son [b][i]isogonales conjugadas[/i][/b] con respecto a este ángulo, si forman ángulos congruentes con la bisectriz del ángulo en A[br][br]1.     En un triángulo la altura correspondiente a un vértice y la recta que pasa por este vértice y el circuncentro del triángulo son isogonales conjugadas.[br]2.     En un triángulo la mediana y la recta simétrica con respecto a la bisectriz del mismo vértice son isogonales conjugadas. Esta recta es una [b]simediana[/b] del triángulo.
– SAMOLO

1.2.

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1.3.

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2.

LUGARES GEOMÉTRICOS DE ALGUNOS PUNTOS NOTABLES Y SU CONJUGADO ISOGONAL EN TRIÁNGULOS DE ÁREA CONSTANTE.

De acuerdo a la Enciclopedia de centros del triángulo existen más de 35000 puntos relacionados, de una u otra manera, con este objeto geométrico, por ejemplo, aquellos que conocemos desde la enseñanza básica: el Baricentro, el Ortocentro, el Incentro y el Circuncentro y otros menos conocidos como: el punto de Nagel, el punto Simediano, el punto de Miquel, los puntos de Brocard y otros. Las actividades están encaminadas a tratar el siguiente problema: “Si consideramos una familia de triángulos de área constante, ¿cuál es el lugar geométrico de uno de estos puntos y de su conjugado isogónico, con respecto a un vértice del triángulo?”. Una familia de triángulos de la misma área se obtiene considerando dos rectas paralelas, dos vértices del triángulo sobre una de ellas, que determinarán la base y un punto sobre la otra que determinará la altura. Para cualquier posición de este punto sobre la recta los triángulos resultantes tienen la misma área. El objetivo de las actividades consiste en tratar este problema para: el ortocentro, el baricentro, el primer punto de Brocard, el centro de la circunferencia de los nueve puntos, el primer punto de Napoleon y sus correspondientes conjugados isogónicos. En las actividades, AB es la base del triángulo y el vértice C se mueve sobre una paralela a la base. El punto D permite modificar la posición de esta paralela.

  • 1. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL ORTOCENTRO Y SU ISOGÓNICO
  • 2. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL BARICENTRO Y SU ISOGÓNICO CONJUGADO
  • 3. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS Y SU CONJUGADO ISOGONAL
  • 4. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PRIMER PUNTO DE NAPOLEON Y SU CONJUGADO ISOGONAL
  • 5. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PRIMER PUNTO ISODINÁMICO Y SU CONJUGADO ISOGONAL
  • 6. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PUNTO FSOTO Y SU CONJUGADO ISOGONAL
  • 7. EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PUNTO DE CUPPENS Y SU CONJUGADO ISOGONAL

2.1.

EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL ORTOCENTRO Y SU ISOGÓNICO

De acuerdo a la [b][i]Enciclopedia de centros del triángulo [/i][/b]existen más de 35000 puntos relacionados, de una u otra manera, con este objeto geométrico, por ejemplo, aquellos que conocemos desde la enseñanza básica: el Baricentro, el Ortocentro, el Incentro y el Circuncentro y otros menos conocidos como: el punto de Nagel, el punto Simediano, el punto de Miquel, los puntos de Brocard y otros. Las actividades están encaminadas a tratar el siguiente problema: [br][br]“Si consideramos una familia de triángulos de área constante, ¿cuál es el lugar geométrico de uno de estos puntos y de su conjugado isogónico, con respecto a un vértice del triángulo?”.[br][br]Una familia de triángulos de la misma área se obtiene considerando dos rectas paralelas, dos vértices del triángulo sobre una de ellas, que determinarán la base, y un punto sobre la otra que determinará la altura. Para cualquier posición de este punto sobre la recta los triángulos resultantes tienen la misma área. [br][br]El objetivo de las actividades consiste en tratar este problema para: el ortocentro, el baricentro, el primer punto de Brocard, el centro de la circunferencia de los nueve puntos, el primer punto de Napoleon y sus correspondientes conjugados isogónicos.[br][br]En las actividades, AB es la base del triángulo y el vértice C se mueve sobre una paralela a la base. El punto D permite modificar la posición de esta paralela.[br][br]Como es conocido el [b]Ortocentro[/b] de un triángulo es el punto de concurrencia de sus alturas y el [b]Circuncentro[/b] es el punto de corte de sus mediatrices. Estos dos puntos son isogonalmente conjugados. El siguiente recurso muestra estos puntos y sus lugares geométricos con respecto al vértice C.[br][br]
– SAMOLO

2.2.

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2.7.

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