ENEM 2018/2010: Classificação de Triângulos e Cálculo de Área
Neste material vamos classificar os tipos de triângulos e abordar de maneira objetiva cinco formas de se calcular a Área de Triângulos.
[justify][b]1. Classificação dos triângulos quanto aos lados: [/b]Podemos classificar um triângulo de acordo com a [b]medida de seus lados. [/b]Temos três possíveis combinações em relação ao tamanho dos lados: ou todos os lados são iguais, ou dois lados são iguais e um diferente, ou todos os lados são diferentes.[br][br][b]2. Classificação dos triângulos quanto aos ângulo: [/b]Temos três possíveis combinações em relação ao tamanho dos seus ângulos internos: todos os seus ângulos internos menores que 90°; um de seus ângulos internos é um ângulo de 90°; e um dos seus ângulos internos com medida maior que 90° e menor que 180°[br][/justify][br]
CONSTRUÇÃO 1: Manipule os controles deslizantes para analisar e classificar os tipos de triângulos.
Aplicação no ENEM - 2018
Após o estudo da classificação dos triângulos, responda.
Tire sua dúvida, caso exista, assistindo à videoaula.
Área do triângulo em função dos lados e suas respectivas alturas.
[justify]Para calcularmos a área do triângulo, devemos multiplicar a [b]base pela altura[/b], dividindo por 2. Assim [math]A=\frac{b.h}{2}[/math][b], onde b é o valor da base e h é a altura do triângulo.[/b][/justify]
CONSTRUÇÃO 2: Movimentando o ponto C, sobre a reta "r" que é paralela a base (AB) do triângulo, nem o comprimento da base nem a altura (distância entre as paralelas) é alterada, portanto a área permanece a mesma, apesar dos triângulos serem diferentes.
Movimentando os pontos A e B pertencentes ao segmento AB. Durante a atividade, você pode duplicar o separador de abas para manusear de forma mais prática a construção do GeoGebra. (clique com o botão direito do mouse na aba da atividade e selecione com o
O que ocorre com a área do triângulo [b]ABC[/b], quando aumentamos ou diminuímos apenas o segmento AB, através da movimentação dos pontos [b]A[/b] ou [b]B[/b] sobre a reta [b]s, [/b]deixando a altura constante?
Movimentando a posição da reta "r" e deixando fixo o tamanho do segmento AB.
Movimentando a posição da reta "r" em relação à base AB do triângulo e deixando fixo o tamanho do segmento AB, o que ocorre com a área do triângulo ABC?
CONSTRUÇÃO 3: Manipule o controle deslizante para comparar a área do triângulo ABC com a área do paralelogramo ABE'E,
Exercício de fixação.
[justify]A base de um triângulo mede 72 cm e sua altura, em centímetros, é [b]h. [/b]Se a base for aumentada em 48 cm e a altura em 32, obtém-se um novo triângulo, cuja a área é o triplo da área do primeiro. Qual é o valor da altura [b]h?[/b][/justify]
Assista á videoaula e tire sua dúvida.
CONSTRUÇÃO 4: Manuseando os pontos A, B e C, obtemos a área do triângulo (ABC) em função dos lados “b” e “c” e o ângulo α, compreendido entre eles.
Como calcular a área do triângulo, dispondo do tamanho de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.
[justify]Na construção anterior, temos os seguintes triângulos:[br][/justify][list=1][*][math]\Delta ABC[/math] é o triângulo formados pelos pontos A, B e C;[/*][*][math]\Delta BCD[/math] é o triângulo formados pelos pontos B, C e D [b](retângulo em D)[/b];[/*][*][math]\Delta ABD[/math] é o triângulo formados pelos pontos A, B e D [b](retângulo em D).[/b][/*][/list]Vamos analisar o [math]\Delta ABD[/math], pois iremos utilizar as razões trigonométricas no triângulo retângulo, em particular, a que nos auxiliara na dedução da fórmula para calcular a área [math]A=\frac{b.c.sen\left(x\right)}{2}[/math]. [br][br]Note que o [math]sen\left(\alpha\right)=\frac{cateto\left(oposto\right)}{hipotenusa}=\frac{h}{c}\Longleftrightarrow h=c.sen\left(\alpha\right)[/math], será a equação [b](I)[/b]; temos ainda que [math]A=\frac{base.altura}{2}=\frac{b.h}{2}[/math], é a equação [b](II)[/b]. Substituindo a equação [b](I) em (II)[/b], temos: [br][br][math]A=\frac{b.c.sen\left(\alpha\right)}{2}[/math].
Exercício para fixar os conceitos estudados anteriormente.
A videoaula contém uma solução para o problema anterior.
CONSTRUÇÃO 5: Área do triângulo, dispondo do raio da circunferência inscrita no triângulo e do semiperímetro ou do tamanho dos lados do triangulo(a, b e c).
[justify]Na construção 5, temos duas formas de calcular a área do triângulo [b]ABC, [/b]Movimente qualquer um dos vértices do triângulo [b]ABC [/b]e dispondo de uma calculadora, determine a raiz quadrado do valor de [math]A_2[/math] ([b]Fórmula de Heron[/b]). Comparando os valores de [math]A_1[/math] e [math]A_2[/math], o que ocorre? Como devemos decidir qual das fórmulas devemos usar? [/justify]
Exercícios de fixação.
Determine a medida do raio de um círculo inscrito em um triângulo isósceles de lados 10 cm, 10 cm e 12 cm.
Acompanhe a videoaula e tire sua dúvida.
Exercício de fixação.
Os lados de um triângulo medem 17 m, 15 m e 8 m. determine a sua menor altura.
CONSTRUÇÃO 6: Área do triângulo inscrito na circunferência.
Analisando a construção 6.
[justify]Alterando a posição de qualquer um dos pontos A, B ou C, obtemos um novo triângulo inscrito, você já percebeu que [math]A_1=A_2[/math]. Em qual situação devemos usar [math]A_1[/math] ?[/justify]
Qual é a definição de mediatriz de um segmento?
Qual é o nome do ponto determinado pela intersecção das mediatrizes de um triângulo?
Exercício de fixação.
Determine a medida do raio de um círculo circunscrito em um triângulo isósceles de lados 10 cm, 10 cm e 12 cm.
Caso tenha dúvida, assista à videoaula.
ENEM 2010
O raio da perfuração da peça é igual a: