[size=85][right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [u][color=#0000ff][i][b][/b][/i][/color][/u][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/right][br]Oben/unten sind Beispiele für das Vorkommen von [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]Leitlinien[/b][/i][/color] angezeigt.[br][color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] besitzen einen (endlichen) [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] und eine [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color]. [br][color=#9900ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] (d.h. wenn man für die Figuren [color=#BF9000][i][b]Inversionen[/b][/i][/color] an [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] zuläßt), besitzt eine solche Kurve[br]einen einfachen und einen dreifachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]; rechts ist der dreifache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math].[br]Das [color=#ff7700][i][b]Cartesische Oval[/b][/i][/color] besitzt 4 einfache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], einer liegt in [math]\infty[/math]. [br]Zeichnet man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] aus, so kann man die Kurve auf 3 verschiedene Arten [br]mit Hilfe von 3 [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] konstruieren.[br][br][color=#cc0000][i][b]Was ist diesen Beispielen gemeinsam?[/b][/i][/color][br]In allen Fällen, die wir anführen, gehören die Kurven zu einem System [br][color=#38761D][i][b]konfokaler Kurven[/b][/i][/color] mit den vorgegebenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color].[br]Durch jeden Punkt der Ebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math], von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, gehen genau 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] Kurven.[br]Die Kurven sind für geeignetes [math]c\in\mathbb{C}[/math] Lösungskurven einer [i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i] des Typs [br][list][*][math]\left(g'\left(z\right)\right)^2=c\cdot\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_3\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_4\right)[/math] mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math].[/*][/list]Für die [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] ist [math]g\left(z\right)=\frac{1}{4}\cdot z^2[/math] eine Lösung der Differentialgleichung [math]\left(g'\right)^2=\left(g\left(z\right)-0\right)[/math] mit dem Brennpunkt [math]f=0[/math].[br]Die invertierte [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] genügt einer [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] des Typs [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g-f_{\infty}\right)^3[/math] [br]mit dem einfachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f[/math] und dem 3-fach zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f_{\infty}[/math].[br]Für das [color=#ff7700][i][b]Cartesische Oval[/b][/i][/color] unten liegen die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf der [math]x[/math]-Achse, einer davon ist [math]\infty[/math].[br]Lösung ist eine spezielle [b]Weierstraß[/b]sche [math]\wp[/math]-[i][b]Funktion[/b][/i].[/size]

[size=85]Je nach der Anzahl der verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] kann man diese auf verschiedene Arten aufteilen in 2 [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color]-Paare,[br]die als Grundpunkte zweier [b][i][color=#cc0000]elliptischen[/color][/i][/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] dienen.[br]Durch jeden Punkt der Ebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math], von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, geht aus jedem Kreisbüschel genau ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color].[br]Die Lösungskurven der obigen [i][b]elliptischen Differentialgleichung [/b][/i]sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser[color=#0000ff][i][b] [color=#ff0000]Kreise[/color][/b][/i][/color]. [br]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell, so sind für geeignete [math]c[/math] die Lösungskurven [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br]Es ergeben sich unter dieser Voraussetzung folgende Fälle:[br][/size][list][*][size=85]1 einfacher, 1 dreifacher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt:[/b][/i][/color] [color=#38761D][i][b]konfokale [color=#ff7700]Parabeln[/color][/b][/i][/color] und ihre [color=#9900ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Bilder.[/size][/*][*][size=85]2 einfache, 1 doppelt-zählender [i][b]Brennpunkt[/b][/i]: [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Ellipsen/Hyperbeln [/b][/i][/color][/size][size=85]und ihre [color=#9900ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Bilder.[/size][/*][*][size=85]2 doppelt-zählende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] oder 1 vierfach-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt:[/b][/i][/color] ein Kreisbüschel, [br]die Grundpunkte können als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] angesehen werden![/size][/*][*][size=85]2 verschiedene [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt-Paare[/b][/i][/color], [color=#f1c232][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegend: [br][color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 1-teilige [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]: [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 2-teilige [b][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color], [/b]zB [b][i][color=#ff7700]Cartesische Ovale[/color][/i][/b].[br][/size][/*][/list]

[size=85]Sind die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] verschieden, so ist die Lösung der elliptischen Differentialgleichung [br]eine [i][b]meromorphe doppelt periodische[/b][/i] Funktion.[br]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [i]n i c h t[/i] reell, so gibt es geschlossenen Lösungskurven, welche sich allerdings [br]nicht [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] schneiden. Über diese Kurven ist uns nichts bekannt. Die Lösung besitzt [i][b]keine[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-[color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]! [br][br]In den oben aufgezählten Fällen jedoch gibt es mindestens eine [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-[color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color][/size].[br]Die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] werden in 2 Punktepaare zerlegt, die als Grundpunkte zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}_1},\mathbf{\mathcal{B}_2}[/math] dienen.[br]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] ist genau dann reell, wenn diese [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color][/size] einen gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] besitzen.[br][br][color=#cc0000][i][b]Konstruktion der bizirkularen Lösungskurven[/b][/i][/color]:[br]Ein Grundpunkt ([color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]) [color=#00ff00][b]f[/b][/color] des [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}_1}[/math] wird ausgezeichnet.[br]Für das andere [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}_2}[/math] ist jeder Kreis des dazu [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels [/b][/i][/color][math]\mathbf{\mathcal{OB}_2}[/math][color=#0000ff][i][b] Leitkreis [math]c_L[/math][/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]Lösungskurve[/b][/i][/color].[br]Durch einen Punkt [color=#00ffff][i][b]q[/b][/i][/color] auf [math]c_L[/math] geht genau ein Kreis ([color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color]) aus [math]\mathbf{\mathcal{B}_2}[/math], der [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] schneidet den [color=#0000ff][b]Leitkreis[/b][/color] orthogonal.[br]Den zugehörigen [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] aus [math]\mathbf{\mathcal{B}_1}[/math] konstruieren wir wie folgt: der [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]c[/math] berühre den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [math]c_L[/math] in [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und gehe durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color]. [br]Der gesuchte [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] aus dem Büschel [math]\mathbf{\mathcal{B}}_1[/math] schneidet den [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] [math]c[/math] orthogonal. [br]Die Schnittpunkte der [b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#ff7700]Punkte[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]Lösungskurve[/color][/i][/b].[br]Einer der winkelhalbierenden [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] ist tangential an die [i][b]Lösungskurve[/b][/i], der andere [br]winkelhalbierende Kreis ist orthogonal zur [b][i]Lösungskurve[/i][/b] und tangential an die orthogonale [b][i]Lösungskurve[/i][/b].[br]Der [color=#999999][i][b]Tangentialkreis[/b][/i][/color] berührt die [b][i]Lösungskurve[/i][/b] doppelt.[br]Die [color=#f1c232][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] an diesem [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreis[/b][/i][/color] vertauscht die beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color], und spiegelt [color=#00ff00][i][b]f[/b][/i][/color] nach [color=#00ffff][i][b]q[/b][/i][/color].[br][color=#cc0000][i][b]Diese Eigenschaft ist allen bizirkularen Quartiken eigen![/b][/i][/color][br]Für [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] sind die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color]: sie gehen durch [math]\infty[/math], welcher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [br]und [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkt[/b][/i][/color] in einem ist![/size]

[size=85]Das Applet oben gibt eine Übersicht über den Typ der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] in Abhängigkeit [br]von der Anzahl und Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]In jedem Falle wird die "Konstruktion" der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] mit[br]der stets gleichen Konstruktionsvorschrift angezeigt.[br]Der ausgewählte [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist stets [color=#00ff00][b]f[/b][/color]. [/size]