Das Bogenmaß

Wiederholung - Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck

Kreuze zum gegebenen Dreieck die richtigen Beziehungen an.

[math]cos\left(\alpha\right)=\frac{a}{b}[/math][br] [math]cos\left(\alpha\right)=\frac{c}{b}[/math][br] [math]cos\left(\alpha\right)=\frac{a}{c}[/math][br] [math]sin\left(\alpha\right)=\frac{a}{b}[/math] [math]sin\left(\alpha\right)=\frac{b}{a}[/math][br] [math]sin\left(\alpha\right)=\frac{a}{c}[/math][br]

Wiederholung - Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Gib mithilfe des Einheitskreises gerundete Werte für [math]sin\left(120°\right)[/math] und [math]cos\left(120°\right)[/math] an.

[math]sin\left(120°\right)\approx0,9[/math][br] [math]cos\left(120°\right)\approx0,5[/math][br] [math]sin\left(120°\right)\approx-0,5[/math][br] [math]sin\left(120°\right)\approx-0,9[/math][br] [math]sin\left(120°\right)\approx0,5[/math][br] [br][math]cos\left(120°\right)\approx0,9[/math][br] [br][math]cos\left(120°\right)\approx-0,9[/math][br] [math]cos\left(120°\right)\approx-0,5[/math][br]

Erinnerung: [br]Der Sinuswert des Winkels entspricht der y-Koordinate des Punkts P auf dem Einheitskreis (Radius 1).[br]Der Kosinuswert entspricht der x-Koordinate von P.

Bogenmaß

Man kann sagen, dass Mathematiker eine gewisse Abneigung gegenüber Einheiten hegen. Aus diesem Grund werden wir uns heute vom Gradmaß (°) verabschieden und eine neue Methode der Winkelmessung kennen lernen. [br]Betrachte dazu das folgende Applet und erkläre, wie die Bogenlänge b mit dem Winkel [math]\varphi[/math] zusammenhängt.

Tipp zum Vorgehen: Berechne erst die Bogenlänge b für [math]\varphi=360°[/math], dann für [math]\varphi=180°[/math] und für [math]\varphi=90°[/math].

Berechne die Bogenlänge b für den Winkel [math]\varphi=60°[/math].

[math]b=\frac{1}{3}\pi[/math][br] [math]b=3\pi[/math][br] [math]b=0,5\pi[/math] [math]b=0,2\pi[/math][br]

Wir können jedem Winkel somit eine Bogenlänge b im Einheitskreis zuordnen. Dementsprechend können wir anstelle der Angabe eines Winkels auch die Angabe einer Bogenlänge verwenden. Ein Winkel von [math]\frac{1}{2}\pi[/math] entspricht beispielsweise dem Winkel 90°.

[table][tr][td][b][/b][b]Merke:[/b] [i]Wird ein Winkel im Bogenmaß gegeben, wird er meist mit x bezeichnet. Wird dagegen Gradmaß verwendet nehmen wir griechische Buchstaben.[/i] [/td][/tr][/table]

Bestimme nun mit dem Einheitskreis wieder die gerundeten Werte für Sinus und Kosinus.

[math]sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\approx-0,8[/math] [math]sin\left(\frac{3}{2}Pi\right)=-1[/math][br] [math]sin\left(2\pi\right)=0[/math] [math]cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-0,5[/math] [math]sin\left(\frac{3}{2}Pi\right)=0,5[/math] [math]cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=0,9[/math][br] [math]cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-0,7[/math][br] [math]sin\left(2\pi\right)=1[/math]

Tipp zum Vorgehen: Nutze den Dreisatz. Ein Winkel von 360° entspricht [math]2\pi[/math]. Ein Winkel von 70° entspricht daher [math]\frac{70°}{360°}\cdot2\pi[/math].

Erkläre die Rechnung im Tipp:

Hefteintrag

[b]Übertrage nun den Hefteintrag in dein Heft: [/b]

Übung

[b]Bearbeite nun die Aufgaben S. 70/1 a - d und S. 71/2 a - d. [/b]