Unter welcher Bedingung sind Berührgeraden [i]Tangenten[/i] einer Kurve auf der Möbiusquadrik?[br]Die Antwort stellt einen Zusammenhang zwischen den Berührgeradenvektoren und den [i][b]Tangentialvektoren[/b][/i] der Möbiusebene dar.[br]Eine genügend oft differenzierbare Kurve [math]t\mapsto \mathbf\vec{p}(t)[/math] von Berührgeradenvektoren - für die also [math]\mathbf\vec{p}(t)\bullet\mathbf\vec{p}(t)=0[/math][br]gilt - ist dann tangential an die Kurve der Berührpunkte, wenn [math]\mathbf\vec{p}\,'\left(t\right)\bullet \mathbf\vec{p}\,'\left(t\right)\in \mathbb{R} \mbox{ und }\mathbf\vec{p}\,'\left(t\right)\bullet \mathbf\vec{p}\,'\left(t\right)<0[/math] gilt, dh. [math]\mathbf\vec{p}\,'\left(t\right)[/math] repräsentiert eine Schnittgerade, welche die Möbiusquadrik in [math]\mathbf\vec{p}(t) [/math] (wegen [math]\mathbf\vec{p}(t)\bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)=0[/math]) und einem weiteren Punkt schneidet. [br]Die Tangente [math]\mathbf\vec{p}(t) [/math] und die Schnittgerade [math]\mathbf\vec{p}\,'\left(t\right)[/math] liegen in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik im [i]Schmiegkeis[/i] der Kurve an der besagten Stelle schneidet.[br]Für die [i][b]Begründung[/b][/i] nehmen wir das [i]Kugelmodell[/i] und die [b][i]Grassmann[/i][/b]-Algebra zu Hilfe:[br]Es sei [math]t\mapsto \mathbf\vec{x}\left(t\right), t\in \mathbb{R} ,\, \mathbf\vec{x}\left(t\right)\in\mathbf{V_4}\backslash\left\{\mathbf\mathfrak{o} \right\}\mbox{ mit }\left\langle\;\mathbf\vec{x}(t),\mathbf\vec{x}(t)\;\right\rangle=0[/math] eine nirgends stationäre, genügend oft differenzierbare Kurve auf der Möbiusquadrik. Nicht stationär bedeutet, dass der zu [math]\mathbf\vec{x}\,'\left(t\right)[/math] gehörende Punkt außerhalb der Möbiusquadrik liegt: [math]\left\langle\;\mathbf\vec{x}\,'(t),\mathbf\vec{x}\,'(t)\;\right\rangle>0[/math]. Für die Berührgerade und Tangente [math] \mathbf\vec{p}(t)=\mathbf\vec{x}(t)\wedge \mathbf\vec{x}\,'(t)[/math] gilt dann [math] \mathbf\vec{p}\,'=\mathbf\vec{x}\wedge \mathbf\vec{x}\,''[/math] und [math] \mathbf\vec{p}\,'\bullet\mathbf\vec{p}\,'=\left|\begin{matrix}\left\langle \mathbf\vec{x},\mathbf\vec{x}\right\rangle\left\langle \mathbf\vec{x},\mathbf\vec{x}\,''\right\rangle\\\\\left\langle \mathbf\vec{x}\,'',\mathbf\vec{x}\right\rangle\left\langle \mathbf\vec{x}\,'',\mathbf\vec{x}\,''\right\rangle\end{matrix}\right|<0[/math], wegen [math]0=\left\langle \mathbf\vec{x},\mathbf\vec{x}\,'\right\rangle'= \left\langle \mathbf\vec{x}\,',\mathbf\vec{x}\,'\right\rangle+\left\langle \mathbf\vec{x},\mathbf\vec{x}\,''\right\rangle[/math] und [math]\left\langle\;\mathbf\vec{x}\,',\mathbf\vec{x}\,'\;\right\rangle>0[/math].[br][br][u][b]Fazit Tangentenbedingung:[/b][/u] Eine genügend oft differenzierbare, nirgends stationäre Kurve [math]t\mapsto \mathbf\vec{p}(t)[/math] von Berührgeraden ist dann und nur dann tangential an die Kurve der Berührpunkte, wenn [math]\mathbf\vec{p}\,'(t)\bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)<0[/math] gilt.[br]

Für eine Kurve [math] t\mapsto\mathbf\vec{p}(t)[/math] von Berührgeraden auf der Möbiusquadrik gelte die [i]Tangentenbedingung[/i] [math]\mathbf\vec{p}(t)^2=0\mbox{ und }\mathbf\vec{p}\,'(t) \bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)<0[/math]. Hierbei sind [math]t\in \mathbb{R}\mbox{ oder } t\in\mathbb{C} [/math] zugelassen und ausreichende Differenzierbarkeits-bedingungen sind vorausgesetzt.[br]Dann läßt sich die Skalierung und das Vorzeichen so wählen, dass [math] \mathbf\vec{p}\,'(t) \bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)=-1\mbox{ und } \left[\mathbf\vec{p}\,'(t),\mathbf\vec{p}(t)\right]=\mathbf\vec{p}(t)[/math] gilt. [br]Wir ergänzen zu einer euklidischen Basis: [br][list][*][math] \mathbf\vec{p}_0(t):=\mathbf\vec{p}(t), \mathbf\vec{g}_0(t):=\mathbf\vec{p}\,'(t)\mbox{ und }\mathbf\vec{p}_\infty(t)\mbox{ mit } \left[\;\mathbf\vec{p}_\infty(t)\,,\,\mathbf\vec{p}_0(t)\;\right]=\mathbf\vec{g}_0(t)\mbox{ und }\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty(t),\mathbf\vec{g}_0(t),\mathbf\vec{p}_0(t)\right)=1[/math]. [/*][/list]und nennen diese Basis das [i][b]begleitende Bezugssystem[/b][/i] der Kurve.[br]Wegen [math] 0=\left(\mathbf\vec{p}(t)\bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)\right)'=\mathbf\vec{p}(t)\,'\bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)+\mathbf\vec{p}(t)\bullet\mathbf\vec{p}\,''(t)\mbox{ und }\mathbf\vec{p}\,'(t) \bullet\mathbf\vec{p}\,'(t)=-1[/math] gelten die [i][b]Ableitungsgleichungen[/b][/i]:[br][list][*][math]\begin{matrix} \mathbf\vec{p}_0\,'(t) &=& &\mathbf\vec{g}_0(t)\\[br]\mathbf\vec{g}_0\,'(t)&=&\mathbf\vec{p}_\infty(t)& &-c(t)\cdot\mathbf\vec{p}_0(t)\\[br]\mathbf\vec{p}_\infty\,'(t)&=& &-c(t)\cdot\mathbf\vec{g}_0(t)\end{matrix}[br][/math][br][/*][/list][br]Die komplex-wertige Funktion[math]c\left(t\right)[/math] heißt die "[i][b]natürliche Funktion[/b][/i]" der Kurve, das Vorzeichen "-" hat historische Gründe, [math]c\left(t\right)[/math] ist für Kurven oder analytische Funktionen in der Gaussschen Zahlenebene die [i][b]Schwarzsche Ableitung[/b][/i] (siehe [i][b]6.4[/b][/i]).[br]Die Kurve [math] \mathbf\vec{g}(t):=\mathbf\vec{p}_\infty(t)+c(t)\cdot\mathbf\vec{p}_0(t)[/math] in der LIE-Algebra [math]\large\mathcal{ G}[/math] heißt die [i][b]begleitende infinitesimale Bewegung[/b][/i] der Kurve, der Name erklärt sich aus dem Verhalten [br][list][*][math]\begin{matrix} \left[\mathbf\vec{g}(t),\mathbf\vec{p}_0(t)\right]&=&\mathbf\vec{p}_0\,'(t) \\[br]\left[\mathbf\vec{g}(t),\mathbf\vec{g}_0(t)\right]&=&\mathbf\vec{g}_0\,'(t)\\[br]\left[\mathbf\vec{g}(t),\mathbf\vec{p}_\infty(t)\right]&=&\mathbf\vec{p}_\infty\,'(t)\end{matrix}[br][/math][br][/*][/list]Es sei irgendeine feste euklidische Basis vorgegeben. Dann gibt es zu der gegebenen Kurve [math] t\mapsto\mathbf\vec{p}(t)=\mathbf\vec{p}_0(t)[/math] genau eine Kurve von gleichsinnigen Möbiusabbildungen, also eine Kurve [math] t\mapsto \mathbf{A}(t)\in \mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math], welche das vorgegebene euklidische KOS entlang der Kurve [math] \mathbf\vec{p}_0(t)[/math] mitbewegt. [math] \mathbf{A}(t)[/math] nennen wir [i][b]begleitende Bewegung[/b][/i] der Kurve, eine solche ist bei vorgegebener Parametrisierung der Kurve bis auf konstante Rechtsmultiplikationen [math] \tilde{\mathbf{A}}(t)=\mathbf{A}(t)\cdot\mathbf{B} , \mathbf{B}\in \mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] eindeutig bestimmt.[br]Die Abbildungen [math] \mathbf{A}'(t)\mathbf{A}^{-1}(t)[/math] sind schief bezüglich der quadratischen Form, dh. sie liegen in der LIE-Algebra und wir können identifizieren [math] \mathbf{A}'(t)\mathbf{A}^{-1}(t)=\mathbf{ad}\;\mathbf\vec{g}(t)[/math], wobei definiert wird [math] \mathbf{ad}\;\mathbf\vec{g} \left(\mathbf\widehat{\vec{g}}\right) =\left[\;\mathbf\vec{g}\,,\,\mathbf\widehat{\vec{g}}\;\right]\mbox{ für } \mathbf\vec{g} , \mathbf\widehat{\vec{g}}\in \large\mathcal{ G}[/math].[br][br]Eine vorgebene natürliche Funktion bestimmt bis auf konstante Möbiustransformationen eine Kurve in der Möbiusebene. [br]Ist die natürliche Funktion konstant: [math]c\left(t\right)=w\in\mathbb{C}[/math], so ist die Kurve eine [i]W-Kurve[/i], wie zB. die im obigen Applet angezeigte logarithmische Spirale mit der Gleichung [math] z(t):=\mathbf{exp}(t\cdot w)\cdot z_0[/math].[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]