Homotecia
Exploremos el concepto de Homotecia, sus diferencias y sus semejanzas con las isometrías.
Tabla de Contenidos
- Introducción
- Isometrías
- Simetría Axial
- Simetría axial en acción
- Simetría central
- Traslación
- Traslación como composición de simetrías axiales
- Rotación
- Rotación como composición de simetrías axiales
- Para terminar
- Definición y propiedades de la homotecia
- Definición de homotecia
- Ejercicio:
- Imágenes de rectas
- Imágenes de segmentos
- Imágenes de un triángulo
Isometrías
¿Qué es una isometría?
Una [b]isometría [/b]es una función biyectiva del plano en el plano que conserva las distancias; o sea, que la distancia entre dos puntos y la distancia entre sus imágenes es la misma.[br][br][i][math]f[/math] [/i]es una [b]isometría[/b] si y sólo sí [math]f:\pi\longrightarrow\pi\slash[/math][br][list=1][*][math]d\left(A,B\right)=d\left(f\left(A\right),f\left(B\right)\right)[/math][br][/*][*][math]f[/math] es biyectiva[/*][/list][br][i][u]Nota 1:[/u][br]Para la definición basta con que [math]f[/math][/i] [i]sea sobreyectiva, ya que se puede demostrar que también será inyectiva y por lo tanto biyectiva. Para ahorrarnos esa demostración, la definimos directamente como biyectiva.[br][u][br]Nota 2:[/u][br]Al plano normalmente se lo nombra como [/i][math]\pi[/math]
Diferentes isometrías
A continuación encontrarás ejemplos de diferentes isometrías aplicadas a un triángulo, que seguramente ya conoces. Prueba arrastrar los vértices del triángulo y observar qué sucede con su imagen.
Definición de homotecia
Dado un punto [i]O [/i]del plano y un número real [i]k [/i]distinto de cero, se denomina [b]homotecia[/b] de centro [i]O[/i] y razón [i]k[/i] a la función biyectiva [math]H_{O,k}:\pi\longrightarrow\pi[/math] que cumpla las siguientes condiciones:[br][br][list=1][*][math]H_{O,k}\left(O\right)=O[/math][br][/*][*]Si [math]P\ne O[/math] y [math]H_{O,k}\left(P\right)=P'[/math] entonces [math]d\left(O,P'\right)=d\left(O,P\right)\cdot\left|k\right|[/math][br][/*][*]Si [math]k>0[/math] entonces [math]P'[/math]pertenece a la semirrecta [math]OP[/math][br][/*][*]Si [math]k<0[/math] entonces [math]P'[/math] pertenece a la semirrecta opuesta a [math]OP[/math][br][br][/*][/list]En el siguiente applet están los triángulos ABC y A'B'C', su correspondiente según la homotecia [math]H_{O,k}[/math] . Prueba arrastrando los vértices de ABC, el centro O de la homotecia y modificando el valor de [i]k[/i] con el deslizador, para observar diferentes casos posibles.
Para pensar:
[i]a)[/i] ¿Existe algún valor de [i]k [/i]para el cual [math]H_{O,k}\left(ABC\right)=ABC[/math] ?[br][br][i]b)[/i] ¿Existe algún valor de [i]k [/i]para el cual la homotecia sea equivalente a una simetría central de centro [i]O [/i]?[br][br][i]c)[/i] ¿Existe algún valor de [i]k[/i] para el cual las medidas de los lados de A'B'C' sean menores a la de los lados de ABC?