Quadratische Funktionen
Das Buch zur Unterrichtseinheit der quadratischen Funktionen und ihren Darstellungsformen stellt eine digitale Lernplattform dar, die euch den Umgang mit den verschiedenen Darstellungen näher bringen soll. Wir erkunden die Zusammenhänge von graphischen sowie tabellarischen Darstellungen und der Darstellung als Funktionsgleichung quadratischer Funktionen. Wir arbeiten uns mit Hilfe der Betrachtung der einzelnen Parametereinflüsse bis hin zur allgemeingültigen Funktionsgleichung quadratischer Funktionen. [b]Danke, dass ihr mitmacht![/b]
Table of Contents
- Das Tutorial-Kapitel
- Dein GeoGebra-Name
- Das interaktive Koordinatensystem
- Eine Wertetabelle erstellen
- Die verschiedenen Darstellungsformen
- Die unendliche Aufgabe
- Scheitelpunkt und Parameter e
- Der Scheitelpunkt
- Der neue Parameter e
- Schnittpunkte mit der x-Achse 1
- Die neuen Punkte im Koordinatensystem
- Schnittpunkte mit der x-Achse
- Übungen - Teil 1
- Übung 1 - ein kurzes Quiz.
- Übung 2 - Scheitelpunkte und der Parameter e
- Nullstellen - Teil 1
- Schnittpunkte mit der x-Achse 2
- Was genau sind Nullstellen?
- Nullstellen - Teil 2
- Die Bestimmung von Nullstellen
- Der Zusammenhang zwischen Schnittpunkt und Nullstelle
- Übungen - Teil 2
- Übungen zur Nullstellenbestimmung
- Der letzte Parameter
- Der letzte Parameter
- Scheitelpunktform
- Die Scheitelpunktform
- Übungen - Teil 3
- Der Verlauf einer Parabel
- Scheitelpunkt ablesen
Dein GeoGebra-Name
Du hast beim Einloggen in dieses Buch einen Namen verwendet. [br]1. Wie lautete dieser Name?[br]2. Wie lautet dein richtiger Name?[br][br]Ich brauche beide Infos, um euch zuordnen zu können. (Dein GeoGebra-Namen erfährt niemand von mir)
Der Scheitelpunkt
Was der Scheitelpunkt einer Parabel ist, haben wir schon am Anfang des Halbjahres gemeinsam erarbeitet (siehe Plakat im Klassenraum).[br][br][b]Definition des Scheitelpunkts:[br][/b]Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. niedrigste Punkt einer Parabel.[br][br][br]Im folgenden Koordinatensystem siehst du [u]oben rechts[/u] ein "Zurücksetzen"-Knopf. Falls sich die Aufgaben wieder eigenständig machen, kannst du in solchen Fällen die Aufgabe zurücksetzen![br]
Verändere den Parameter a und beobachte die dazugehörige Wertetabelle.
In der Definition heißt es, dass der Scheitelpunkt der niedrigste [b]oder[/b] höchste Punkt einer Parabel ist.[br][br]Beschreibe, wann der Scheitelpunkt der höchste und wann er der niedrigste Punkt der Parabel ist.
Gib den Scheitelpunkt der obigen Funktion [math]f\left(x\right)[/math] an.[br]Beschreibe, welchen Einfluss der Parameter [math]a[/math] auf den Scheitelpunkt nimmt.
Aktiviere die Funktionen und verschiebe die Scheitelpunkte der Parabeln jeweils zu einem der Punkte A, B oder C.
"Ich bin Herr Trepel, wenn ihr Aufgabenwünsche habt, ruft sie einfach!"[br]"Mach dieselbe Aufgabe nochmal!"[br]"Alles klar, dieselbe Aufgabe nochmal. Und los!"[br][br]Natürlich bearbeiten wir nicht nochmal genau dieselbe Aufgabe.[br]Im nächsten Schritt können wir die Funktionsgleichungen zu den Parabeln im Koordinatensystem einsehen. Und ebenso auch die [b]Veränderungen der Funktionsgleichungen[/b], wenn wir die [b]Funktionsgraphen (die Parabeln) verschieben[/b].
Aktiviere die Funktionen und verschiebe die Scheitelpunkte der Parabeln jeweils zu einem der Punkte A, B oder C.
Gib an, entlang welcher Achse du die Parabel verschoben hast.[br]Beschreibe, was sich mit der Verschiebung des Scheitelpunkts in den Funktionsgleichungen ändert.
Diese [b]senkrechte Verschiebung[/b] des Scheitelpunkts und somit der ganzen Parabel schauen wir uns im folgenden Kapitel etwas genauer an. Denn hierfür ist (wie du in der vorletzten Aufgabe gesehen hast), ein bestimmter Wert (ein Parameter) zuständig.[br][br][size=150][color=#0000ff]Auf ins nächste Kapitel![/color][/size]
Die neuen Punkte im Koordinatensystem
Dank unseres neuen Parameters [math]e[/math] in der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+e[/math] können wir die Parabeln in der senkrechten Ebene verschieben, wie wir lustig sind.[br][br]Verstellen wir beide Parameter [math]a[/math] und [math]e[/math], so können wir neue Punkte im Koordinatensystem betrachten.[br]Ist das cool oder was?[br]
Danke, Homer!
Bewege den Punkt A und bearbeite die nächste Aufgabe mit Hilfe dieses Koordinatensystems.
Gib für die folgenden speziellen Punkte die Eigenschaften und die Punktdarstellungen aus obiger Aufgabe an:
[i][b][size=85]Hilfreich: Tausche dich hierfür mit einer weiteren Person aus und schaut euch die Lösungen erst an, wenn ihr alles ausgefüllt habt.[/size][/b][/i][br][br]a) Für den Scheitelpunkt des Funktionsgraphen von f(x).[br][br]b) Für die Schnittpunkte mit der x-Achse des Funktionsgraphen von f(x).[br][br]c) Für den Schnittpunkt mit der y-Achse des Funktionsgraphen von f(x).[br][br]d) Für beliebige Punkte auf dem Funktionsgraphen von f(x).
[size=200][b][size=150]Wir kümmern uns heute um die Schnittpunkte mit der x-Achse. [br]Auf geht's![/size][/b][/size]
Übung 1 - ein kurzes Quiz.
Nutze dieses interaktive Koordinatensystem, um die Antworten zu überprüfen und das Quiz zu bestehen.
Welche Aussagen sind richtig?
Welche Aussagen sind richtig?
Schnittpunkte mit der x-Achse 2
Schnittpunkte mit der x-Achse? Ja, die gibt es!
Mittlerweile wissen wir, dass [b]Schnittpunkte mit der x-Achse[/b] existieren und auch, dass die Eigenschaften von Parabeln aussagen, wie viele Schnittpunkte mit der x-Achse und der Parabel existieren.[br][br]Wir bringen uns mit einer kurzen Frage trotzdem nochmal alle auf den gleichen Stand:
Welche Aussage ist richtig?
[size=150][b]Bearbeite die nächsten beiden Aufgaben in Partner*innenarbeit.[br][/b][/size][br]Eine Parabel (der Funktionsgraph f) bleibt in der nächsten Aufgabe immer gleich.[br]Eine weitere Parabel (der Funktionsgraph g) verändert sich auf Knopfdruck, falls du lieber eine andere Parabel betrachten möchtest.
Vergleiche den Verlauf der Funktionsgraphen (Parabeln) mit den Werten aus der Wertetabelle und beantworte die nächste Frage.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse erkennen:
Beschreibe, wie man anhand der Wertetabelle herausfinden kann, wo sich die Schnittpunkte der x-Achse der Parabeln ungefähr auf der x-Achse befinden.
[b]Jetzt schauen wir uns doch mal die genauen Schnittpunkte mit der x-Achse an.[br][/b]Wir betrachten nun die Werte der Schnittpunkte.[br][br][size=85][b][i]Achtung: Das Zoomen ist bei der nächsten Aufgabe wieder aktiviert.[/i][/b][/size]
Erstelle drei Funktionsgraphen, die jeweils zwei Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen. Aktiviere danach "Schnittpunkte mit der x-Achse".
Jede Parabel besitzt nun zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.[br]Doch nur die Punkte A, C und F besitzen genaue Punktangaben. Sie liegen jeweils auf einer der drei Parabeln, die ihr erstellt habt. Nun liegt auf jeder dieser Parabeln ein weiterer Punkt - allerdings ohne genaue Punktangabe.[br][br]Überlege, wie die Koordinaten der Punkte B, D und F lauten könnten und gib sie an. Begründe deine Antwort.
Beschreibe, was dir an den sechs Schnittpunkten mit der x-Achse auffällt.
[size=150][b]Lernergebnissicherung 1:[br][/b][/size][br]Formuliere eine allgemeingültige Schreibweise für die Schnittpunkte mit der x-Achse in einer Punktdarstellung. Begründe deine Antwort.
Die Bestimmung von Nullstellen
Nach dem gemeinsamen Einstieg an der Tafel:
Nun wollen wir ins Rechnen und Üben kommen.[br]Hierfür stelle ich euch ein Lernvideo in diesem Buch zur Verfügung.[br]Ihr dürft natürlich auch nach weiteren Lernvideos für die Bestimmung von Nullstellen suchen. [br][br][b]Bitte nutzt eure Kopfhörer[/b], während ihr die Videos schaut.
Bestimmung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen (Schaut die Videosequenz von 5:22 bis 8:25!!!)
Hast du im Video aufgepasst?
Warum gibt es zwei Lösungen, wenn man aus einer Zahl (größer als 0) die Wurzel zieht?
Bestimme die Nullstellen von den folgenden drei Funktionen:[br][br]a) [math]f\left(x\right)=x^2-4[/math][br]b) [math]g\left(x\right)=2\cdot x^2-18[/math][br]c) [math]h\left(x\right)=-3\cdot x^2+3[/math]
Überprüfe deine Lösungen mit Hilfe der Funktionsgraphen im Koordinatensystem.
[size=150][b]Lernergebnissicherung 3:[/b][/size][br][br]Formuliere deine erste [b]Lernkarte[/b] für diese Einheit zu: [color=#ff0000](rechnerische) Bestimmung der Nullstellen[/color][br][br][br][color=#0000ff][size=150]Was ist wichtig für eine Lernkarte?[/size][/color][br][size=150][size=100]Wir haben letztes Halbjahr[/size] gemeinsam[size=100] [u]folgende Merkmale[/u] herausgearbeitet:[/size][/size][br][br][color=#0000ff]Skizzen und Abbildungen[br]Erklärungen, kurze Texte zu: (eigene Worte benutzen!)[/color][br] [color=#b45f06]Was ist das Ziel?[br] Wie gehen wir vor?[br] Worauf muss ich achten?[/color]
Übungen zur Nullstellenbestimmung
Hier findest du einige Funktionsgleichungen, mit denen du den rechnerischen Weg zur Bestimmung von Nullstellen üben kannst![br][br]Zu den Funktionsgleichungen findest du zwei Möglichkeiten, deine Lösungen zu überprüfen.[br]Viel Erfolg!
Es sind folgende Funktionsgleichungen gegeben:[br][br]a) [math]f\left(x\right)=4\cdot x^2-4[/math][br][br]b) [math]g\left(x\right)=-x^2+4[/math][br][br]c) [math]h\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2-2[/math][br][br]d) [math]i\left(x\right)=-\frac{1}{5}\cdot x^2+40[/math][br][br]Bestimme die Nullstellen der vier Funktionen.
[size=150]Die nächste Aufgabe ist die erste Überprüfungsmöglichkeiten.[/size][br][br]Hier kannst du mit Hilfe der Schieberegler die Funktionen nacheinander einstellen und dir die Schnittpunkte mit der x-Achse anzeigen lassen. Die sollten dir auf jeden Fall ausreichen, um deine bestimmten Nullstellen zu überprüfen.[br]
Die erste Überprüfungsmöglichkeit
[size=150]Die zweite Überprüfungsmöglichkeit...[br][/size][size=100]... ist die[b] Punktprobe.[br][/b][/size][br]Hast du die Nullstellen bestimmt, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse nicht mehr weit.[br][br][u]Wir erinnern uns:[br][/u]Bei den Schnittpunkten mit der x-Achse sehen wir Punkte immer wie folgt aus: [math]\left(x\mid0\right)[/math].[br]Damit können wir sicherlich die Punktprobe durchführen![br][br]Dabei kann euch sicherlich auch wieder LehrerSchmidt helfen.[br]Er geht es etwas anders an, als wir es bisher gemacht haben, aber das Prinzip bleibt gleich!
Die Punktprobe
Der letzte Parameter
Wir ergänzen die Funktionsgleichung mit dem letzten Parameter
Unsere Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+e[/math] ist eine Parabel.[br]Die Parametereinflüsse von [math]a[/math] und [math]e[/math] sind uns schon bekannt.[br][br]Nun lernen wir den letzten Parameter [math]d[/math] kennen, mit dem wir folgende Funktionsgleichung erkunden:[br] [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math]. Auch das ist nach wie vor eine Parabel.[br][br]Aber was tut der Parameter [math]d[/math] überhaupt?
Verändere d mit Hilfe der Schieberegler und betrachte die Funktionsgleichungen sowie die Funktionsgraphen.
Beschreibe den Parametereinfluss von [math]d[/math] auf die Funktionsgraphen bzw. die Parabeln im Koordinatensystem.
Wir betrachten den Einfluss auf die Funktionsgleichung
Gib an, welches Vorzeichen [math]d[/math] in der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] besitzt, wenn du ...[br][br]a) die Parabel in den negativen Bereich der x-Achse (nach links) verschiebst.[br]b) die Parabel in den positiven Bereich der x-Achse (nach rechts) verschiebst.[br][br]Begründe deine Antworten.[br][br][i][size=85][size=150][size=100][u]Hinweis:[/u] Nimm dir das interaktive Koordinatensystem aus Aufgabe 70 zu Hilfe.[/size][/size][/size][/i]
[size=150][color=#0000ff]Wir gehen erneut auf die tabellarische Darstellung ein. [/color][/size][br][br]Wir versuchen erneut den Verlauf der Parabel anhand einer Wertetabelle zu beschreiben.[br]Hier findest du auch Hinweise, die dir helfen, den Verlauf der Parabel nachzuvollziehen. [br]Das schaffst du!
Betrachte die Wertetabelle und beschreibe den Verlauf der Parabel.
[b]Lösungsvergleich der Aufgabe 73:[/b][br]Besprich deine Ergebnisse mit einer weiteren Person. Vergleicht eure Beschreibungen.[br]
Der Scheitelpunkt ist in der Tabelle aus Aufgabe 73 ablesbar.[br][br]a) Gib den Scheitelpunkt an.[br][br]b) "Man kann anhand des Scheitelpunkts die Verschiebung entlang der x-Achse (nach links oder rechts)[br] ablesen." Beziehe Stellung zu dieser Aussage.[br][br][i][u]Erinnerung:[/u] Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. niedrigste Punkt einer Parabel.[/i]
Betrachte das Koordinatensystem und beantworte das dazugehörige Quiz darunter.
Quiz-Time!
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?[br]
[size=150][b]Lernergenissicherung 1:[br][/b][/size][br]a) Notiere dir die neue Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] und beschreibe die Parametereinflüsse[br] von [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]e[/math]. [br][br]b) Ergänze die allgemeingültige Schreibweise des Scheitelpunkts [math]S\left(0\mid e\right)[/math] für die Funktionsgleichung [br] [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math]. Begründe deine Antwort.[br]
Die Scheitelpunktform
Wie die Bearbeitung der vorangegangenen Lernergebnissicherung gezeigt hat, besteht ein Zusammenhang zwischen dem [b]Scheitelpunkt [/b]und der [b]Funktionsgleichung [/b][math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math].[br]Aus diesem Grund nennen wir die Funktionsgleichung[size=200] [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] [/size]die [b]Scheitelpunktform[/b].[br][br]Die Scheitelpunktform macht es uns einfacher, die Eigenschaften sowie auch direkt den Scheitelpunkt abzulesen.[br][br]Das schauen wir uns mal näher an!
Die Eigenschaften einer Parabel: Ablesen aus dem Funktionsgraphen.
Die Eigenschaften der zwei Parabeln f und g werden in der folgenden Aufgabe beschrieben.
Die Beschreibungen der Eigenschaften der Parabeln.
Korrigiere, falls es nötig ist.[br] [br][b]Parabel f:[br][/b]Die Parabel f ist eine gestreckte Parabel, die um eine Einheit nach rechts und um eine Einheit nach oben verschoben ist. Der Scheitelpunkt liegt bei [math]S\left(2\mid1\right)[/math]. Da sie nach unten geöffnet ist, besitzt f keine Schnittpunkte mit der x-Achse.[br][br][b]Parabel g:[br][/b]Die nach oben geöffnete Parabel g besitzt einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Sie ist gestaucht und um zwei Einheiten nach unten verschoben. Da sie auch um eine Einheit nach links verschoben ist, ist der Scheitelpunkt der Parabel bei [math]S\left(-2\mid-1\right)[/math].
Die Parametereinflüsse im Überblick
Die Beschreibung einer Parabel anhand der Funktionsgleichung
Wir haben die Scheitelpunktformen der Parabeln [math]f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+1[/math] und [math]g\left(x\right)=0.5\cdot\left(x+2\right)^2-3[/math] gegeben.[br]Beschreibe die Eigenschaften der Parabeln.[br][br][b]Zusatz: [/b]Gib an, wie viele Schnittpunkt die Parabeln mit der x-Achse besitzen.
Überlege dir, welcher der Punkte die Scheitelpunkte zu den Funktionsgleichungen sind.
Gib deine Ergebnisse aus der vorigen Aufgabe hier an.
Überprüfung deiner Lösung
[b]! Nutze diese Möglichkeit erst, wenn du die Frage zuvor beantwortet hast ![br][/b][br]Drücke auf die Kreise neben den Funktionsgleichungen. [br]Dann siehst du die dazugehörigen Funktionsgraphen.
Der Verlauf einer Parabel
Diese Übung ist eine Partner*innen-Übung
[color=#9900ff]Die Aufgabe, die du unten siehst, kannst du unendlich oft fortführen.[/color][br][br]Dein*e Partner*in wird nach dem Drücken von "neue Parabel" eine andere Parabel als du vor sich haben.[br]Daher sieht der Lösungsvergleich so aus:[br][br]Besprecht die von euch beschriebenen Parabeln nacheinander. Die Person, die ihre Lösungen [b]nicht[/b] vorträgt, vergleicht die Beschreibung mit der Wertetabelle. [br]Wendet euch bei Fragen gerne an mich.[br][br][b][i][size=85]Überprüft den Funktionsgraphen nur, wenn ihr den Verlauf anhand der Tabelle beschrieben habt.[/size][/i][/b]
Beschreibe den Verlauf der angegebenen Parabel.
Zusatzübung
Gib aus den Werten der Wertetabelle den Scheitelpunkt der Parabel an.