Στη δραστηριότητα που ακολουθεί εξετάζουμε το εξής πρόβλημα: [br][br][color=#1e84cc][b]Γεωμετρική διατύπωση:[/b][/color][br][i]"Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδόν, ποιο έχει την ελάχιστη περίμετρο"[br][br][/i][color=#1e84cc][b]Αλγεβρική διατύπωση:[/b][/color][br][i]"Από όλους τους πραγματικούς αριθμούς x και y με σταθερό γινόμενο, ποιοι έχουν το ελάχιστο άθροισμα."[/i]

Στο δόμημα εμφανίζονται αρχικά:[br][list][*][i]στο αριστερό παράθυρο:[/i] ένας δρομέας από τον οποίο μεταβάλλεται η ημιπερίμετρος x+y=τ του ορθογωνίου. Το εμβαδόν παίρνει τιμές από το διάστημα [0,5] και μπορεί να αλλάζει δίνοντας τιμές στο αντίστοιχο κουτί.[/*][*][i]στο δεξί παράθυρο[/i]: εμφανίζεται η γραφική παράσταση της ευθείας x+y=τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του ορθογωνίου. Επίσης εμφανίζεται η απόσταση d της αρχής των αξόνων από αυτή την ευθεία. Τέλος, ένας πίνακας τιμών που αφορά στη συμμεταβολή του d ως προς το τ. [/*][/list]

Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του δρομέα "x+y=τ" και παρατηρήστε τον πίνακα τιμών (x+y,d).[br][list][*]Από τον πειραματισμό σας, προκύπτει ότι υπάρχει [b]ελάχιστη [/b]τιμή της παράστασης x+y;[/*][*]Αν ναι, πότε συμβαίνει αυτό; Ειδικότερα: Τί σχήμα φαίνεται να έχει το ορθογώνιο ΟΑΒΓ;[/*][*]Πώς φαίνεται να συνδέεται η απόσταση d της αρχής των αξόνων από την ευθεία x+y=τ με το κεντρικό μας ερώτημα;[/*][*]Με βάση τα προηγούμενα ερωτήματα, διατυπώστε μια εικασία για το αρχικό ερώτημα. [/*][/list]

Με βάση τα δεδομένα και τα ζητούμενα το πρόβλημα μοντελοποιείται με το επόμενο σύστημα:[br]{x+y=τ και xy=E} .[br][br][list][*]Ανοίξτε το διακόπτη "[i]q(x)[/i]". Η παραβολή που εικονίζεται αφορά στη γραφική παράσταση του τριωνύμου [math]q\left(x\right)=x^2-τx+E[/math] που προκύπτει από το προηγούμενο σύστημα.[/*][*]Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του τ.[/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της παραβολής q(x) με τον άξονα xx΄;[/*][*]Πώς ερμηνεύεται αλγεβρικά το προηγούμενο;[/*][*]Αξιοποιήστε τα προηγούμενα για να αποδείξετε την εικασία σας στα προηγούμενα. [/*][/list]

Ανοίξτε το διακόπτη "[i]Σύστημα[/i]". Εμφανίζεται η ευθεία x+y=τ και η γραφική παράσταση της υπερβολής [math]y=\frac{E}{x},x>0[/math][br][list][*]Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του τ.[/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της ευθείας και της υπερβολής;[/*][*]Τί συμβαίνει στην περίπτωση που ελαχιστοποιείται το τ;[/*][*]Tί θα μπορούσαμε να ορίσουμε ως "[i][b]απόσταση ενός σημείου από μία υπερβολή ή γενικότερα από μία κωνική τομή[/b][/i]";[/*][/list]