Dado el triángulo equilátero [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] de lado [b]2[/b], construir otro triángulo equilátero [color=#ff0000][b]△DEF[/b][/color] en su interior concéntrico con él y con sus vértices alineados, y tal que los cuatro triángulos en que queda dividido [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] tengan la misma área. Determinar las distancias [color=#ff00ff][b]AD[/b][/color] y [color=#ff00ff][b]BD[/b][/color].

La circunferencia [color=#38761d][b]ω[/b][/color] que pasa por los vértices [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#0000ff][b]B[/b][/color] del triángulo equilátero [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] y por el simétrico [color=#38761d][b]C'[/b][/color] de [color=#0000ff][b]C[/b][/color] respecto del lado [color=#0000ff][b]AB[/b][/color], es tangente a los lados [color=#0000ff][b]AC[/b][/color] y [color=#0000ff][b]BC[/b][/color] (¿por?). Esto asegura que para cualquier punto [color=#ff0000][b]D[/b][/color] sobre ella en el interior del [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], los segmentos que lo unen con esos los vértices [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#0000ff][b]B[/b][/color] forman ángulos iguales con los lados, [color=#38761d][b]∠BAD = ∠CBD[/b][/color], porque son ángulos inscritos y semiinscritos abarcando el mismo arco [color=#38761d][b]BD[/b][/color].[br][br]Rotando [color=#ff0000][b]D[/b][/color] [b]120º[/b] respecto al centro [color=#0000ff][b]O[/b][/color] del triángulo por dos veces, se obtienen puntos [color=#ff0000][b]E[/b][/color] y [color=#ff0000][b]F[/b][/color], vértices de otro triángulo [b][color=#ff0000]△DEF[/color] [/b]equilátero. Entre ambos triángulos equiláteros quedan delimitados tres triángulos escalenos iguales, con un ángulo de [b]120°[/b] opuesto al lado del triángulo inicial.[br][br]Si el punto [b][color=#ff0000]D[/color][/b] se escoge en la intersección con la circunferencia inscrita, el triángulo [b][color=#ff0000]△DEF[/color][/b] tiene un área de la cuarta parte del [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b], por lo que este queda dividido en cuatro triángulos de la misma área. El lado del [b][color=#ff0000]△DEF[/color][/b] será entonces la mitad que el del triángulo [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b]. Llamando [color=#ff00ff][b]d = AF = BD = CE[/b][/color] a la distancia más corta entre los vértices de ambos triángulos equiláteros y aplicando el teorema del coseno al [b]△ABD[/b] se obtiene que[br][br][b]2² = (d + 1)²+d²- 2d(d + 1)cos 120° = (d + 1)² + d² + d(1 + d) = 3d² + 3d + 1[br][br]⇒ 3(d² + d - 1) = 0 ⇒ [color=#ff00ff]d = (√5 - 1)/2 = φ⁻¹[/color][/b][br][br]La distancia entre los vértices más alejados es entonces[br][br][b][color=#ff00ff]AD = BE = CF = 1 + φ⁻¹ = (φ + 1)/φ = φ²/φ = φ[/color][/b][br][br]A partir de [url=https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Buratino2.shtml]Golden Ratio in Equilateral Triangles[/url]