Es wird die Funktion[br][math]f(x)=\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\large{x}} + e^{\large{-x}} \right)[/math][br]vorgestellt und dazu gesagt, dass der Graph dieser Funktion die Form einer frei hängenden Kette wiedergibt, weshalb diese Funktion auch als [b][i]Kettenlinie[/i][/b] bezeichnet wird.[br]Gelegentlich wird auch ergänzt, dass diese Funktion identisch mit der Kosinus-Hyperbolicus-Funktion ist:[br][math]f(x)=\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\large{x}} + e^{\large{-x}} \right) = \cosh(x)[/math][br]Vielleicht wird auch noch eine graphische Darstellung dazu ergänzt.[br][b][i]Soweit ist noch alles richtig ...[/i][/b][br]
Offensichtlich ist die bisher beschriebene Kettenlinie noch sehr speziell, sie verläuft auf jeden Fall durch den Punkt S(0|1) des Koordinatensystems und z.B. auch (ungefähr) durch den Punkt A(-2|3,762) sowie B(2|3,762).[br][br]Wird nun aber eine Funktion gesucht, die den Verlauf einer frei hängenden Kette beschreibt, die z.B. in den Punkten A(-4|3) und B(4|3) aufgehängt ist und die ihren tiefsten Punkt bei S(0|0,8) hat, so müssen Parameter in die ursprüngliche Funktion eingefügt werden, damit die neue Funktion durch diese drei vorgegebenen Punkte verläuft.[br][b][i]... und ab hier läuft etwas schief:[/i][/b][br][br]Die Funktion wird einfach zu[br][math]f(x)=a\cdot\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\large{b \cdot x}} + e^{\large{-b \cdot x}} \right) = a\cdot\cosh(b\cdot x)[/math][br]oder[br][math]f(x)=a\cdot\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\Large{\frac{x}{b}}} + e^{\Large{-\frac{x}{b}}} \right) = a\cdot\cosh\left(\frac{x}{b}\right)[/math][br]abgeändert.[br](So oder so ähnlich wird es in den meisten Mathematikbüchern für die gymnasiale Oberstufe gemacht.)[br][br]Auf diese Weise wird die Funktion bzw. ihr Graph für [math]a > 1[/math] in y-Richtung gestreckt.[br]In x-Richtung erfolgt eine Streckung bei der ersten Funktionsgleichung für [math]0 < b < 1[/math] und bei der zweiten für [math]b > 1[/math].
Scheinbar hat man auf diese Weise die passende Funktion gefunden, der Fehler fällt kaum auf.[br]Der Parameter [math]a[/math] ist leicht zu berechnen:[br]Weil die Funktion durch C verläuft, muss gelten[br][math]0.8=a\cdot\frac{1}{2}\cdot \left(e^{0} + e^{-0} \right) = a\cdot\cosh\left(\frac{0}{b}\right)\quad \Leftrightarrow \quad 0.8=a \cdot 1[/math][br]Also ist [math]a=0,8[/math].[br]Um [math]b[/math] zu berechnen werden die Koordinaten von B in die Funktionsgleichung eingesetzt:[br][math]3=0,8\cdot\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\Large{\frac{4}{b}}} + e^{\Large{-\frac{4}{b}}} \right)[/math][br]Substituiert man [math]e^{\Large{\frac{4}{b}}}[/math] durch z, so erhält man eine quadratische Gleichung für z, und daraus schließlich [math]b \approx 2,0[/math].[br]Im Applet oben ist die Funktion [math]f(x)=0,8\cdot\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\Large{\frac{x}{2,0}}} + e^{\Large{-\frac{x}{2,0}}} \right) [/math] dargestellt.[br][br]
Wenn die drei Punkte A, B und C um 0,7 tiefer angesetzt werden sollte sich ja eigentlich an der Form der frei hängenden Kette nichts ändern. Aber spätestens jetzt zeigt sich, dass der obige Ansatz nicht richtig sein kann:[br]
Der Ansatz von oben führt zu dem Graphen [math]f_2[/math], der von der Form her nicht mehr kongruent zu dem Graphen von [math]f_1[/math] ist.[br][br]Wenn Sie noch einen Schritt weiter gehen, die Punkte A und B auf die Höhe 2,2 setzen und C auf die Höhe 0, dann führt obiger Ansatz sogar auf [math]a = 0[/math] und es gibt keine Lösung mehr für [math]b[/math].[br][b][i]Der Fehler im Ansatz wird damit offensichtlich![/i][/b]
Die spezielle Kettenlinie von [math]f(x)=\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\large{x}} + e^{\large{-x}} \right) = \cosh(x)[/math] bleibt nur dann von der Form her eine Kettenlinie, wenn sie in x- und in y-Richtung um denselben Faktor gestaucht oder gestreckt wird![br]Das ergäbe sich auch, wenn man sich vorstellt, dass die Längeneinheit im Diagramm von cm auf Zoll oder Meter geändert wird.[br]Oder man beachtet die korrekteDefinition [math]f_a(x)=a \cdot\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\large{\frac{x}{a}}} + e^{\large{-\frac{x}{a}}} \right) = a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)[/math] für eine Kettenlinie.[br][b][i]Die Form der Kettenlinie wird nur durch den einen Parameter a bestimmt.[/i][/b][br]Da diese Funktion aber ihren Tiefpunkt in (0|a) hat, muss sie in der Regel noch in y-Richtung verschoben werden.[br]