[size=200][b]IV. Länge der Kette[/b][br][math]\quad\quad[/math]Berechnungen zur Hochspannungsleitung[/size]

In der Einleitung haben Sie dieselben Stromleitungen im Winter gesehen.[br]Natürlich dehnt sich die Leitung zwischen den Masten im Sommer aufgrund der höheren Temperatur aus und hängt dann tiefer durch.[br]Die Frage ist eigentlich, ob dieser Effekt so groß ist, dass er für den Betrachter ohne Hilfsmittel beobachtbar ist.[br][br]Die Strommasten haben einen Abstand von 220m. [br](Zur Bestimmung dieses Abstands siehe Anhang: [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/fpzbsnmv]Abstand der Strommasten[/url][br][br]Die Länge der Leitung im kalten und im warmen Zustand wird dadurch bestimmt, dass wir den Formparameter a für beide Temperaturen durch ein GeoGebra-Applet bestimmen.

Mit dem Schalter rechts neben dem Schieberegler können Sie von Sommer auf Winter umschalten.[br]Die Kurve der ausgewählten Stromleitung wird im Sommerbild recht gut mit dem Parameterwert a=980 beschrieben, im Winterbild mit a=1160.

Die Funktion ist jeweils[br][math]f(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h[/math][br]mit c=110 und h=35.[br][br]Die Länge ist nach der Formel von der vorigen Seite[br][math]l=2a\cdot\sinh\left(\frac{c}{a}\right)[/math][br][br]Daraus ergibt sich für den Winter[br][math]l_{Winter}=2\cdot 1160\cdot\sinh\left(\frac{110}{1160}\right)\approx 220,330[/math][br]und für den Sommer[br][math]l_{Sommer}=2\cdot 980\cdot\sinh\left(\frac{110}{980}\right)\approx 220,462[/math][br]Die Maßeinheit für diese Längen ist Meter (m), der Längenunterschied beträgt demnach 0,132m=13,2cm.[br]Weil sich die beiden Werte für a nicht so exakt bestimmen lassen, ist es sinnvoll, den Längenunterschied auf [math]\Delta l \approx 0,13 \,\mathrm{m}[/math] zu runden.[br][br]

Das Winterbild wurde bei einer Temperatur von -2°C aufgenommen, das Sommerbild an einem recht heißen Tag bei +35°C. Die Temperatur in der Stromleitung muss nicht die gleiche sein wie die Lufttemperatur: [br]Im Sommer liegt die Leitung in der prallen Sonne, andererseits herrschte nicht absolute Windstille und so wird die Leitung durch den leichten Luftzug gekühlt. Außerdem wurden die 35° in ca. 1,5m Höhe über dem Erdboden gemessen, der durch die Sonneneinstrahlung erwärmt wurde. Die Temperatur in etwas über 30m Höhe habe ich nicht gemessen.[br]Für das Winterbild gilt ebenfalls, dass die Temperatur relativ dicht am Boden und nicht in 30m Höhe gemessen wurde.[br]Da aber keine genaueren Werte vorliegen, können wir nur mit einem Temperaturunterschied von 37 Grad rechnen. In der Physik werden der Temperaturunterschiede in K (Kelvin) angegeben, also [math]\Delta T = 37\,\mathrm{K}[/math].[br][br]Die Formel für die Längenzunahme bei Erwärmung von festen Stoffen lautet[br][math]\Delta l \approx \alpha \cdot l \cdot \Delta T[/math].[br]Dabei ist [math]\alpha[/math] der sogenannte Längenausdehnungskoeffizient des Materials.[br][br]Die Stromleitungen bestehen aus Aluminium für die Stromleitung (billiger und leichter als Kupfer) und einem Kern aus einem Stahlseil, denn sonst würden die Aluminiumleitungen aufgrund ihres eigenen Gewichts reißen. Das tragende Element ist also Stahl/Eisen. Der Längenausdehnungskoeffizient für Stahl ist [math]\alpha \approx 1,6\cdot 10^{-5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}} [/math] .[br]Bei einer Temperaturdifferenz von ca. 37K ergibt sich damit eine Längenausdehnung von[br][math]\Delta l \approx 1,6\cdot 10^{-5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}} \cdot 220,33\mathrm{m} \cdot 37\mathrm{K} \approx 0,13\mathrm{m}[/math].[br]Das ist ungefähr der gleiche Wert wie der aus den Fotos mithilfe des GeoGebra-Applets ermittelte.[br]Die für die Leitung angenommenen Temperaturen, oder zumindest der Temperaturunterschied, könnten also einigermaßen stimmen.[br][br]

Es ist unsinnig, wenn der Lehrer den Schülern sagt: [br]„Seht euch Stromleitungen im Sommer und im Winter an. Dann erkennt ihr die Ausdehnung von Metallen bei Erwärmung.“[br]Richtig müsste es heißen: [br]„Erforscht das Aussehen von Stromleitungen im Sommer und im Winter. Ist dabei das Phänomen der Wärmeausdehnung zu beobachten?“[br][br]Allein durch Beobachten, ohne Übereinanderlegen von Fotos vom selben Standort in gleicher Perspektive, dürfte die Wärmeausdehnung der Leitungen nicht erkennbar sein - es sei denn, man hat am Beobachtungsort zufällig markante Gebäude im Vorder- oder Hintergrund, die ziemlich genau den tiefsten Punkt der Leitungen anzeigen.[br][br][br]