[b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][br][b][size=150]＜合成微分から置換積分へ＞[br][/size][/b]小文字が導関数とすると、∫(f)=F,　∫(g)=G。[br]x=G(t)のとき、F(G(t))=F(x)だから、[br]合成関数の微分を微分形式で表すと、dF/dt=dF/dG・dG/dtだから、[size=150]{F(x)}′=F'(x)g(t)[b] [/b][/size][br]両方の辺を積分して、[color=#0000ff][size=150]F(x)+C=∫f(x)g(t)dt[b]。[br][/b][/size][/color]左辺は∫f(x)dxだから、[b][size=150][color=#0000ff]∫f([/color][color=#ff0000]x[/color][color=#0000ff])[/color][color=#6aa84f]dx[/color][color=#0000ff]=∫f([/color][color=#ff0000]G(t)[/color][color=#0000ff])[/color][color=#6aa84f]g(t)dt[br][/color][/size][/b]次の3ステップでやってみよう。[br]（手順１）ｆの一部分に着目して積分変数ｘを[b][color=#ff0000]x=G(t)[/color][/b]と表す。[b]導関数[color=#6aa84f]g(t）[/color][/b]を求める。[br]（手順２）[b][color=#cc0000]x==>G(t)[/color][/b]、[b][color=#134f5c]dx==>g(t)dt[/color][/b][b] と置換して[/b]積分する。[br]（手順３）ｔの関数をｔで積分したあと、ｔをｘの関数にもどす。[br]この手順は、微分形式で表すこともできる。[br]・ｘ＝G(t)とすると、dx/dt=G(t)/dt=G'(t)=g(t)から、[br][size=150][b]∫f([/b][color=#ff0000]x[/color][b]) [/b][color=#38761d]dx[/color][b]=∫f(x)dx/dt dt=∫f([/b][color=#cc0000]G(t)[/color][b]) [/b][color=#38761d]g(t)dt[br][/color][b]以上が積分変数をｘからｔに変換する場合。[/b][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分[math]\int\frac{x}{\sqrt{x-1}}dx[/math]」は？[br]　積分対象f(x)=x/√(x−1)のうち、根号[color=#ff0000]√(x−1)=t[/color]とおくと、x-1＝t[sup]2[/sup]。[br][color=#ff0000]　だから、[b]x=G(t)==>t[sup]2[/sup]+1[/b],　[/color][color=#38761d][b]dx=dx/dt dt==>2t dt[/b][/color]　に置換する。[br]　[size=150]∫f(x)dx[size=100]=[size=150][size=150]∫ ([size=150]t[sup]2[/sup]+1)/ t・[/size]2t [/size]dt=[/size][/size][/size]2∫(t[sup]2[/sup]+1) dt [br]　べき関数になったのでパワールールと線形分解で積分計算ができる。[br]　=2(1/3t[sup]3[/sup]+1)=2/3(t[sup]3[/sup]+t)=>[size=100][color=#0000ff]2/3((x-1)[sup]3/2[/sup]+(x-1)[sup]1/2[/sup])+C[/color][/size][br]　最後に、ｔにｘの式に戻すのを忘れない。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分[math]\int\left(cos\left(mx\right)\right)dx[/math]」は？[br]　積分対象f(x)=cos(mx)のうち、[color=#ff0000]mx=t[/color]とおく。[br][color=#ff0000]　だから、[b]x=G(t)==>1/m・t[/b],　[/color][color=#38761d][b]dx=dx/dt dt==>1/m dt[/b][/color]　に置換する。[br]　[size=150]∫f(x)dx[size=100]=[size=150][size=150]∫ cos(t) 1/m [/size]dt=1/m sin(t)=1/m sin(mx) +C[/size][/size][/size] [br] だから、[/size][b][size=150][color=#0000ff]∫cos(mx)dx=1/m sin(mx)+C[/color][/size][/b][size=150][br]　同様にして[color=#0000ff][b]∫sin(mx)dx=-1/m cos(mx)+C[/b][/color][br][br][b]・逆に積分変数をｔからｘに変換するのも置換積分という。（逆型）[br]しかし、もとの変数はｘになっているので、ｘとｔに逆に読み替える必要があるね。[br][/b]dt/dx =g(x)/dtとなるt=G(x)で変換することで、積分公式が使える式f(t)を作る。[br][/size][size=150][b][size=150]∫f([color=#cc0000]G(x)[/color]) [color=#38761d]g(x)dx＝[/color][b][size=150][color=#ff0000]∫f(t) [/color][color=#38761d]dt/dx dx＝[/color][/size][/b][/size][/b][b]∫f([color=#ff0000]t[/color][/b][b]) [/b][color=#38761d]dt[br][/color][size=150][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分[math]\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/math]」は？[br][math]\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{1}{\sqrt{1^2-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\frac{1}{a}dx[/math]　と変形。[color=#ff0000][b]G(x)=x/a=t[/b][/color] , g(x)=1/aとみると。[color=#ff0000][b][br]f(t)[/b][/color]=[math]\frac{1}{\sqrt{1^2-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}[/math] =[color=#ff0000]1/√(1-t[sup]2[/sup]) [/color]と単純化できて、この積分がsin[sup]-1[/sup]ｔになる。[br][color=#1e84cc][b]1/a dx[/b][/color]の部分は、[color=#134f5c][b]g(x) dx=dt/dx dx=dt[/b][/color] と置き換えられる。[br][math]\int\frac{1}{\sqrt{1^2-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\frac{1}{a}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=sin^{-1}t+C=sin^{-1}\frac{x}{a}+C[/math][br][br][/size][/size]・(ｆ[sup]n+1[/sup](x))'=(n+1)・f[sup]n[/sup](x)・f'。[br]　これを積分に置き換えると、[color=#0000ff][b][size=150]∫f[sup]n[/sup](x)f' dx=1/(n+1)・f[sup]n+1[/sup](x) +C[/size][/b][/color][br] [color=#0000ff] （例）[/color][br] 「不定積分∫sin[sup]3[/sup]xcosx dx」は?[br] cosx=(sinx)'と読めるから、1/4sin[sup]4[/sup]x+C[br] [color=#0000ff]（例）[/color][br]「不定積分∫logx・1/x dx」は?[br]　1/x=(logx)'と読めるから、1/2(logx)[sup]2[/sup]+C[br]

[b][size=150]＜根号をｔとおき、xをtの式G(t)にする＞[br][/size][/b][size=150][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]不定積分[math]\int x\sqrt{x+1}dx[/math]」は？[br]　根号部分[color=#ff0000][b]√(x+1)=t[/b][/color]とおくと、t[sup]2[/sup]=x+1。[br]　だから、x=G(t)=t[sup]2[/sup]-1, dx=dx/dt dt==>2tdt　に置換。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx=[size=150]∫f(t[sup]2[/sup]-1)2t[/size]dt[/b][size=100]=[size=150][size=150]∫([size=150]t[sup]2[/sup]-1)t・[/size]2t)[/size]dt=[/size][/size][/size]2∫(t[sup]4[/sup]-t[sup]2[/sup]) dt [br] =2(1/5t[sup]5[/sup]-1/3t[sup]3[/sup])=2(1/5t[sup]5[/sup]-1/3t[sup]3[/sup])=>[b][size=100][color=#0000ff]2/5(x+1)[sup]5/2[/sup]-2/3(x+1)[sup]3/2[/sup]+C[/color][/size][br][/b][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]不定積分[math]\int x\sqrt{x^2+1}dx[/math]」は？[br]　根号部分[color=#ff0000][b]√(x[sup]2[/sup]+1)=t[/b][/color]とおくと、t[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+1。[br]　だから、x=G(t)=√(t[sup]2[/sup]-1), dx=dx/dt dt==>t/√(t[sup]2[/sup]-1)dt　に置換。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx[/b][size=150][b][size=150]=[/size][/b]∫√(t[sup]2[/sup]-1) t ・[/size]t/√(t[sup]2[/sup]-1)dt[size=100]=[size=150][size=150]∫t[sup]2[/sup][/size]dt[br] =1/3[/size][/size][/size]t[sup]3[/sup] ==>[/size][color=#0000ff][b]1/3(x[sup]2[/sup]+1)[sup]3/2[/sup]+C[/b][/color][size=150][br][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]不定積分[math]\int\left(x+2\right)\sqrt{x+1}dx[/math]」は？[br]　根号部分√(x+1)=tとおくと、t[sup]2[/sup]=x+1。[br]　だから、x=G(t)=t[sup]2[/sup]-1, dx=dx/dt dt=g(t)==>2tdt　に置換。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx[size=150]=∫f(t[sup]2[/sup]-1)2t[/size]dt[/b][size=100]=[size=150][size=150]∫([size=150]t[sup]2[/sup]-1+2)t・[/size]2t)[/size]dt=[/size][/size][/size]2∫(t[sup]4[/sup]+t[sup]2[/sup]) dt [br] =2(1/5t[sup]5[/sup]+1/3t[sup]3[/sup])=2(1/5t[sup]5[/sup]+1/3t[sup]3[/sup])=>[b][size=100][color=#0000ff]2/5(x+1)[sup]5/2[/sup]+2/3(x+1)[sup]3/2[/sup]+C[/color][/size][/b][/size][br]

[size=150][b]＜sinx=t、cosxdx==>dtの置き換え＞[br][color=#0000ff]三角関数は[u]逆型で、単純化[/u]する。[br][/color][/b][/size][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]不定積分[math]\int\left(sin^2x\cdot cosx\right)dx[/math]」は？[br] G(x)=sin(x)＝ｔ、d(G(x))/dx dx=cos(x) dx=dtの置き換え。[br][size=150][size=150][b]∫(sinx)[/b][sup]2[/sup][b]cos(x)dx[/b][size=150][size=100][b]=[/b][size=150]∫t[sup]2[/sup][/size][size=150]dt=1/3t[sup]3[/sup]=>[b]1/3sin[sup]3[/sup]x+C[br][/b][/size][/size][/size][/size][/size][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]不定積分[math]\int\frac{1}{cosx}dx[/math]」は？[br] 1/cosx=cosx/cos[sup]2[/sup]x=(cosx/(１−sin[sup]2[/sup]x)と変形しておく。[br] G(x)=sin(x)＝ｔ、d(G(x))/dx dx=cos(x) dx=dtの置き換え。[color=#ff0000][b]f(t)=1/(1-t[sup]2[/sup][/b][/color][size=150][size=100][color=#ff0000][b])[/b][/color][br][/size][size=150][b][b]　∫[b]cos(x)[/b]/(1-sin[sup]2[/sup]x)[/b][b]dx＝[/b]∫1/(1-sin[sup]2[/sup]x)・[/b][b]cos(x)dx[b]=[/b][/b][size=150][b]∫1/(1-t[sup]2[/sup])dt[/b][size=100][b][br]＝[math]\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1-t}dt+\int\frac{1}{1+t}dt\right)=\frac{1}{2}\left(-ln\left|1-t\right|+ln\left|1+t\right|\right)+C[/math]=[math]\frac{1}{2}ln\frac{1+sinx}{1-sinx}+C[/math][/b][/size][/size][/size][/size][br][b][size=150][br]＜x/a=t, 1/a dx⇒dtの置き換え＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]分数関数で分母にｘ[sup]2[/sup]があるときは[u]逆型で、単純化[/u]する。[br][/b][/color][color=#0000ff]（例）[/color][br]「不定積分[math]\int\frac{dx}{a^2+x^2}[/math]」は？[br]x/a=G(x)=t、dt/dx dx=1/a dx=dtの置き換え。[br][math]\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\int\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}dx=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}\frac{1}{a}dx=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+t^2}dt[/math] [br]=1/a(tan[sup]-1[/sup]t)+C=1/a(tan[sup]-1[/sup]x/a)+C[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「不定積分[math]\int\frac{dx}{x^2-a^2}[/math]」は？[br]x/a=G(x)=t、dt/dx dx=1/a dx=dtの置き換え。[br][math]\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{a}\int\frac{1}{\left(\frac{x}{a}\right)^2-1}\frac{1}{a}dx=\frac{1}{a}\int\frac{1}{t^2-1}dt=\frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)dt=\frac{1}{2a}\int\frac{1}{t-1}dt-\frac{1}{2a}\int\frac{1}{t+1}dt[/math] [br]=[math]\frac{1}{2a}\left(ln\left(t-1\right)-ln\left(t+1\right)\right)+C=\frac{1}{2a}ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{2a}ln\left|\frac{\frac{x}{a}-1}{\frac{x}{a}+1}\right|+C=\frac{1}{2a}ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C[/math][br][color=#0000ff][b](別解）[br]始めから部分分数に分解して積分してもよいね。[br][/b][/color][math]\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\int\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x-a\right)}dx=\frac{1}{2a}\int\left(\frac{\left(x+a\right)-\left(x-a\right)}{\left(x+a\right)\left(x-a\right)}\right)dx=\frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)dx[/math][br]=[math]\frac{1}{2a}\left(ln\left|x-a\right|-ln\left|x+a\right|\right)+C=\frac{1}{2a}ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C[/math]

定積分でも置換積分を使ってみよう。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「定積分[math]\int^1_0\left(1-x\right)^adx\left(a>0\right)[/math]」は？[br]　ｘの式（1-x）=tとすると、x=1-t、dx=dx/dt dt=-1dt ｘが[0,1], tが[1,0]の定義域。[br]　[math]\int^0_1t^a-dt=\int^1_0t^adt=\frac{1}{a+1}\left[t^{a+1}\right]^1_0=\frac{1}{a+1}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「定積分[math]\int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx\left(a>0\right)[/math]」は？[br] 変数x=a sin(t)とすると、dx=dx/dt dt= a cos(t) dt。ｘが[0,a]ｔが[0,π/2]の定義域。[br]　[math]\int^{\frac{\pi}{2}}_0acos\left(t\right)acos\left(t\right)dt=\frac{a^2}{2}\int^{\frac{\pi}{2}}\left(1+cos\left(2t\right)\right)dt=\frac{a^2}{2}\left[t+\frac{1}{2}sin\left(2t\right)\right]^{\frac{\pi}{2}}_0=\frac{a^2}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi a^2}{4}[/math](四分円の面積）[br] [br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「定積分[math]\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin^2xdx[/math]の値」は？[br] [color=#0000ff][b]cos[sup]2[/sup]x、sin[sup]2[/sup]xは倍角・半角の公式でcos2xを使った式1/2(1±cos2x)になおす[/b][/color]とよい。[br] [math]\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin^2xdx=\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{2}}_0\left(1-cos2x\right)dx=\frac{1}{2}\left[x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0-\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{2}}_0cos2xdx=\frac{\pi}{4}-P=\frac{\pi}{4}[/math] [br] （ｘが[0,π/2],2xが[0,π] cos(2x)は1→0→-1と変化するから、置換積分値P＝０だから）[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「定積分[math]\int^{\frac{\pi}{4}}_0sin3x\cdot cosxdx[/math]の値」は？[br]3x+x=4x, 3x-x=2xから、sin(3x+x)+sin(3x-x)=2sin3xcosx 。∫ sin(mx) dx=ー1/m cos(mx)＋Cも使って、[br] [math]\frac{1}{2}\left(\int^{\frac{\pi}{4}}\left(sin4x\right)dx+\int^{\frac{\pi}{4}}\left(sin2x\right)dx\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\left[cos4x\right]^{\frac{\pi}{4}}_0-\frac{1}{2}\left[cos2x\right]^{\frac{\pi}{4}}_0\right)=-\frac{1}{8}\left(cos\pi-cos0+2cos\frac{\pi}{2}-2cos0\right)[/math] [br] =-1/8(-1-1+0-2)=1/2