[color=#980000][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (Juni 2019)[color=#980000][br]verbessert nach einem sehr hilfreichen Tipp (Danke! 25.Juni 2019)[/color][/right][/size][size=50][size=85][color=#000000]Das Applet oben soll, wie das [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/ds7fcwxj]Applet auf der Seite zuvor[/url], einen Überblick über die möglichen Formen der Kurven [br]dieser Klasse bieten. [br]Zu den Eigenschaften der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] verweisen wir auf die Seite zuvor.[br]Hier soll erläutert werden, was zu sehen ist.[br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind spezielle Kurven 4. Ordnung. Sie besitzen 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], die auch zusammenfallen können.[br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] bestimmen [color=#00ff00][i][b]konfokale [/b][/i][/color][color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]: durch jeden Punkt der Ebene, von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [br]abgesehen, gehen genau 2 dieser [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] - sie schneiden sich orthogonal.[br]Die [color=#00ff00][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] sind Lösungskurven einer komplexen [color=#ff00ff][i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i][/color], [br]für welche die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf\mathcal{J}[/math] der 4 Nullstellen (das sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]) reell ist. [br]Geometrisch kennzeichnen läßt sich dies damit, dass die [color=#00ff00][i][b]4 Brennpunkte[/b][/i][/color] und mit ihnen die [color=#ff7700][i][b]konfokalen Quartiken[/b][/i][/color] [br]mindestens einen [color=#ffff00][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] besitzen. Man vergleiche dazu die Seite [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/sj2h6cmv]4 Punkte ... und ihre Symmetrien[/url].[br][/color][/size][list][*][color=#000000][size=85]Jede [color=#ffff00][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] teilt die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] in 2 symmetrisch liegende Brennpunktpaare auf, zu welchen 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] gehören. Durch jeden [color=#ff7700][i][b]Punkt[/b][/i][/color] der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, geht aus jedem [br]dieser beiden Büschel genau ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]. Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind Winkelhalbierende dieser [color=#ff0000][i][b]Brenn-Kreise[/b][/i][/color] - [br]und sie sind wie üblich bei Winkelhalbierenden [i][b]orthogonal[/b][/i]![/size][/color][/*][*][color=#000000][size=85]Zu jeder [color=#ffff00][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehört eine Schar von [i][b]Kreisen[/b][/i], welche die einzelne [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] doppelt berühren ([i][b]D-B-Kreise[/b][/i]). [br]Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] (hier [color=#00ff00][b]F[/b][sub][b]1[/b][/sub][/color]) an diesen [i][b]D-B-Kreisen[/b][/i], so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color] [br]auf einem [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color], dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. [br]Diese Eigenschaft kann man zur Konstruktion einer [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] als [icon]/images/ggb/toolbar/mode_locus.png[/icon]Ortskurve verwenden![/size][size=50][br]Bewegt man im Applet oben den [color=#1155Cc][i][b]Scheitel [/b][/i][b]O[/b][/color] des [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] auf dem [color=#ffff00][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] [b]k[sub]x[/sub][/b], so erhält man [br]verschiedene [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] der konfokalen Schar.[/size][br][/color][/*][/list][/size][color=#000000][br][size=85][color=#980000][i][b]Die verschiedenen Quartik-Formen[/b][/i][/color]:[br][/size][/color][/color][list][color=#980000][color=#000000][*][size=85]Die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen auf einem Kreis - hier auf dem [color=#ffff00][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] [b]k[sub]x[/sub].[/b] [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] besitzen 4 paarweise orthogonale [color=#ffff00][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color], einer davon ist imaginär. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind 2-teilig.[br][/size][/*][*][size=85]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen zu 2 Paaren spiegelbildlich auf 2 orthogonalen [color=#ffff00][i][b]Symmetriekreisen[/b][/i][/color]. [br]Die Quartiken sind 1-teilig. Man erhält im Applet oben diese Form, wenn man den Punkt [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color] bzw. [color=#00ffff][b]iF2[/b][/color] auf [b]k[sub]x[/sub][/b] [br]in das Innere des Kreise [b]k[sub]E[/sub][/b] schiebt: die beiden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color]und [color=#00ff00][b]F'[sub]2[/sub][/b][/color] [br]liegen dann spiegelbildlich zu [b]k[sub]x[/sub][/b] auf [b]k[sub]y[/sub][/b].[/size][/*][*][size=85]Setzt man mit dem Schieberegler [math]\rho_E[/math] den Radius von[/size][size=85][size=85][size=85][b] k[sub]E[/sub][/b][/size][/size] auf 0, so fallen 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammen. [/size][/*][*][size=85]Die Quartiken sind dann das konforme Bild von [color=#ff7700][i][b]konfokalen Kegelschnitten[/b][/i][/color] (Ellipsen und Hyperbeln) unter einer Möbiustransformation. Der doppelt-zählende Brennpunkt entspricht möbiusgeometrisch dem Punkt [math]\infty[/math]. [/size][/*][*][size=85]Bewegt man im letzten Falle den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color][/size][/size] auf den doppelt-zählenden Brennpunkt, so bleiben ein einfacher Brennpunkt [/size][size=85][size=85][/size][/size][size=85][color=#00ff00][b]F[sub]1[/sub][/b][/color] und ein dreifach-zählender Brennpunkt. Die Quartiken sind das möbiusgeometrische Bild von [color=#ff7700][i][b]konfokalen Parabeln[/b][/i][/color].[/size][/*][/color][/color][*][color=#980000][color=#000000][size=85]Für zwei doppelt-zählende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size][/color] [size=85][color=#000000]erhält man [i][b]doppelt-zählende Kreise[/b][/i]. [/color][/size][/color][/*][/list][color=#980000][br][color=#000000][size=85]Die verschiedenen Formen lassen sich mit Hilfe der stereographischen Projektion auf die Kugel erklären: [br]Die Quartiken entstehen als Schnitt der Kugel[/size] [size=85]mit einer zweiten [i][b]Quadrik[/b][/i]. [br]Siehe dazu das [i][b]geogebra-book[/b][/i][/size][u][size=85] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url][/color].[/size][/u][/color][/color][br][br][size=85]Im obigen Applet sind nur die in 2 Kreise zerfallenden Quartiken nicht erfasst. [/size][br]