Nach einem Jahr haben Sie [math]105\%[/math] des eingezahlten Geldes: Also [math]1000€\cdot\frac{105}{100}=1050€[/math][br]Nach zwei Jahren haben Sie davon wieder [math]105\%[/math]: [math](1000€\cdot\frac{105}{100})\cdot\frac{105}{100}=1050€\cdot\frac{105}{100}=1102,50€[/math][br]Nach drei Jahren haben Sie davon noch einmal [math]105\%[/math]: [math](1000€\cdot\frac{105}{100}\cdot\frac{105}{100})\cdot\frac{105}{100}=1102,50€\cdot\frac{105}{100}\approx\underline{\underline{1157,63€}}[/math]

Um das herauszufinden, müssen sie [math]1000€[/math] so oft mit [math]\frac{105}{100}[/math] multiplizieren, bis der Betrag größer als [math]2000€[/math] ist. Nach [math]15[/math] mal multiplizieren lautet das Ergebnis [math]2078,93€[/math], probieren Sie es aus. Das heißt nach [math]15[/math] Jahren haben Sie mehr als [math]2000€[/math].

Wenn nach [math]15[/math] Jahren die Rechnung [math]1000€\cdot \left( \frac{105}{100} \right)^{15}[/math] lautet, dann gilt für [math]x[/math] Jahre: [math]g(x)=1000€\cdot\left( \frac{105}{100} \right)^{x}[/math] oder in Dezimalzahlen: [math]\underline{\underline{g(x)=1000€\cdot 1,05^{x}}}[/math]

Zu Beginn ist der Kontrast gleich [math]1[/math]. Dann ist er nach einem Kilometer [math]17\%[/math] weniger, also noch [math]83\%[/math] von [math]1[/math]. Das sind [math]1\cdot\frac{83}{100}=1\cdot0,83=0,83[/math]. Nach zwei Kilometern sind davon wieder nur [math]83\%[/math] übrig: [math]1\cdot0,83\cdot0,83=0,6889[/math]. Nach drei Kilometern sind es schließlich [math]1\cdot0,83\cdot0,83\cdot0,83\approx0,572[/math] also [math]57,2\%[/math].

Die Frage ist: Wie oft muss ich die [math]1[/math] mit [math]83\%[/math] multiplizieren, so dass das Ergebnis kleiner als [math]2\%[/math], also kleiner als [math]0,02[/math] ist? Ausprobieren ergibt: [math]21[/math] mal.[br] Das heißt die Sichtweiter bei klarer Sicht beträgt etwa [math]21km[/math].

Wenn die Rechnung nach 21 Kilometern [math]1\cdot 0,83^{21}[/math] heißt, dann sind es nach [math]x km[/math] genau [math]\underline{\underline{K(x)=1\cdot 0,83^{x}}}[/math] Kilometer.