Funciones
Funciones
Table of Contents
- Funciones polinómicas
- Función lineal 2 ESO
- Función de segundo grado (I)
- Función cuadrática (II)
- Función cuadrática (III)
- Función cuadrática para reconocer la ecuación.
- Gráfica de la función polinómica
- La interpolación lineal
- Interpolación lineal
- Valor absoluto y proporcionalidad inversa
- Función valor absoluto
- Gráfica de la función de proporcionalidad inversa
- irracional, exponencial y logarítmica
- Función irracional
- Gráficas de la función exponencial y logarítmica.
- Funciones trigonométricas
- Gráfica de la función seno
- Gráfica de la función coseno
- Función tangente
- Funciones trigonométricas
- Traslación y dilatación de funciones
- Variaciones de la función cuadrática
- Variaciones de la función seno
- Límites de funciones
- Límite de una función en un punto.
- Derivadas
- Derivada de la función cuadrática
- Representación de la derivada de una función
- Curvatura
- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Función lineal 2 ESO
En primer lugar podemos mover los puntos del plano para tener la representación gráfica de la recta deseada. En la parte izquierda activamos la casilla de verificación "triángulo" para tener fácil el cálculo de la pendiente de la recta. Si activamos a continuación la casilla de verificación "pendiente, ordenada y ecuación" se nos presenta paso a paso la ecuación de la función lineal.
Interpolación lineal
En esta construcción vamos a hacer la interpolación lineal entre dos puntos A y B cualesquiera del plano.
En primer lugar, coloca los puntos A y B donde se desee. A continuación activamos la casilla de verificación "Interpolación lineal". Finalmente, movemos los deslizadores hasta obtener el punto deseado de Interpolación, ó de extrapolación más allá de A, ó de extrapolación más allá de B.[br][br]Observa que los valores de [i]y[/i] aparecen a la derecha del deslizador correspondiente.
Función valor absoluto
En la presente construcción se explica la función valor absoluto.[br]Una función valor absoluto tiene la misma expresión algebraica cuando su valor es positivo y la opuesta cuando su valor es negativo.[br]De este modo, primero debemos resolver una inecuación y a continuación escribir la función a trozos. Para representarla, basta con dar valores en cada uno de los trozos.[br]Se observa que las partes de la función sin valor absoluto que quedaran por debajo del eje [math]x[/math], al hacer el valor absoluto, se ha hecho su simétrico respecto del eje [math]x[/math] para que queden positivas.[br]
[list][*]Si hacemos [math]A\ne0[/math] tenemos el valor absoluto de una función cuadrática.[/*][*]Si hacemos [math]A=0[/math] y [math]B\ne0[/math] tenemos el valor absoluto de una función lineal.[/*][*]Si hacemos [math]A=0[/math] y [math]B=0[/math] tenemos el valor absoluto de una función constante.[/*][/list]
Función irracional
En esta construcción observamos las diferencias entre diversas funciones[br][br][center][math]f\left(x\right)=a·\sqrt{x-x_0}[/math] y [math]f\left(x\right)=a·\sqrt{x_0-x}[/math][/center]
Algo básico en una función irracional es el cálculo de su dominio, para entender donde podemos dibujar su gráfica. En segundo lugar, si la constante que multiplica a la raíz es positiva, la gráfica estará por encima del eje [math]x[/math], y si dicha constante fuera negativa, la gráfica estará por debajo del eje [math]x[/math].
Gráfica de la función seno
En esta construcción observamos como se crea la gráfica de la función seno, teniendo en cuenta que para cualquier ángulo, el seno es la longitud del cateto opuesto del triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad.
Gráfica de la función seno
Variaciones de la función cuadrática
En este gráfico podemos trasladar la función cuadrática b unidades a lo largo del eje [i]x[/i], c unidades a lo largo del eje [i]y[/i], y dilatarla o contraerla al estar multiplicada por el factor a.
Mover manualmente los deslizadores para comprobar los resultados.
Límite de una función en un punto.
En la casilla de entrada superior introducimos la función para calcular el límite. En la siguiente casilla de verificación introducimos el valor de [math]x_0[/math]. Tenemos los valores [math]f\left(x_0+t\right)[/math] y [math]f\left(x_0-t\right)[/math]. Con el deslizador hacemos tender t a 0 y observamos los límites laterales. Si la diferencia entre ambos es suficientemente pequeña deducimos que la función tiene límite y se muestra dicho límite.
Derivada de la función cuadrática
La presente construcción tiene un doble objetivo:[br][br][list][*]Observar como se calcula la derivada de una función en un punto.[/*][/list][br][list][*]Observar la función derivada.[/*][/list]
Para el primer objetivo:[br][list][*]Observamos la tasa de variación media en un intervalo de amplitud unidad, como la inclinación de la recta secante a la función por los puntos A y B (la recta azul)[br][/*][*]Observamos que dicha tasa de variación media se acerca a la tasa de variación instantánea, que es la inclinación de la recta tangente a la función en el punto A (la recta verde)[/*][*]Moviendo el deslizador t hacia cero observamos como la recta secante tiende hacia la recta tangente. En el texto se va indicando la inclinación de la recta secante hasta que t se hace cero, donde se muestra entonces la inclinación de la recta tangente: la derivada de la función en el punto x = a.[/*][*]Moviendo el deslizador a se obtiene la derivada de la función para distintos puntos x.[/*][/list][br]Debemos tener claro en cualquier caso que la derivada de una función en un punto es un número que se interpreta como la inclinación (pendiente) de la recta tangente a la función en punto.[br][br]Para el segundo objetivo[br][list][*]Debemos tener el deslizador t en el valor 0 para que solo se muestre la recta tangente.[/*][*]Activaremos entonces la casilla de verificación "representación de la función derivada". En este momento se muestra un punto de color rojo que es el que corresponde con el valor de la derivada en el punto a seleccionado.[br][/*][*]Al mover el deslizador a veremos que se van representando los puntos de la función derivada. Puesto que el punto rojo va dejando el rastro, vamos dejando representada parte de la función derivada.[/*][*]Podemos pulsar el botón "play" de la parte inferior izquierda para que se dibuje la función derivada de forma automática.[/*][/list]
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
En la presente construcción tratamos el tema de la curvatura. Dada una función, trazamos la recta tangente a la misma en un punto que podemos modificar moviendo el deslizador t. Debajo tenemos calculado el valor de la derivada primera y de la derivada segunda en dicho punto. [br][br]En el ejemplo, cuando la función es convexa, observamos que la recta tangente pasa de tener pendientes negativas, a tener pendiente nula y después a ser pendientes positivas: la derivada primera es creciente y por tanto la derivada segunda es positiva.[br]En el ejemplo, cuando la función es cóncava, observamos que la recta tangente pasa de tener pendientes positivas, a tener pendiente nula y después a ser pendientes negativas: la derivada primera es decreciente y por tanto la derivada segunda es negativa.[br][br]Para que un punto sea punto de inflexión, la derivada segunda debe ser 0 y la derivada tercera distinta de 0. En el ejemplo, para t = 2.4 se tiene un punto de inflexión mientras que para t = 0 no habrá punto de inflexión: además, ahí, la función no cambia de curvatura puesto que antes de 0 la función era convexa y después de 0 sigue siendo convexa.[br][br]Para tener más claro si la derivada primera es creciente o no, se puede activar la casilla de verificación "Mostrar derivada" para ver en el gráfico la representación de la derivada primera.[br][br]También podemos mostrar el rastro de la recta tangente (pulsando el botón "Activa/desactiva rastro") para ver la envolvente de las rectas tangentes a la función. Pulsando de nuevo en el mismo botón se desactivaría el rastro. En ese caso, para limpiar la vista gráfica de los rastros, basta con pulsar a continuación el botón "Limpiar" de la vista gráfica.