La [url=https://mathworld.wolfram.com/CostaMinimalSurface.html]superficie minimal de Costa[/url] es una de las representaciones tridimensionales de la botella de Klein.[br]Topológicamente, es equivalente a un toro con tres agujeros. Decimos que es minimal completa porque no tiene bordes y no se corta a sí misma.

Para definirla, se utiliza la función [url=https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassZetaFunction.html]Zeta de Weierstrass[/url], definida a su vez a partir de la función P de Weierstrass.[br]Para dibujarla, hemos utilizado la parametrización de Gray, que es que podemos encontrar en [url=https://mathcurve.com/surfaces.gb/costa/costa.shtml]este enlace[/url].[br][br][br][math]x=\frac{1}{2}Re\left(\text{-Zeta(u + ί v) + π u + \frac{π² }{4e_1} + \frac{π}{2e_1} \left(Zeta\left(u + ί v - \frac{1}{2}\right) - Zeta\left(u + ί v -\frac{1}{2} ί\right)\right)}\right)[br][/math][br][math]y=\frac{1}{2}Re\left(\text{-ί Zeta(u + ί v) + π v + \frac{π² }{4e_1} + \frac{π}{2e_1} \left(ί \cdot Zeta\left(u + ί v - \frac{1}{2}\right) - ί \cdot Zeta\left(u + ί v -\frac{1}{2} ί\right)\right)}\right)[br][/math][br][math]z=\frac{1}{4}\sqrt{2\pi}\cdot ln\left|\frac{P\left(u+ί v\right)-e_1}{P\left(u+ί v\right)+e_1}\right|[/math][br][br][list][*]Donde los parámetros u y v valoran entre 0 y 1. [br]A efectos de graficar con GeoGebra, resulta mejor tomar los parámetros entre 0 y 0.5 y aplicar las simetrías de la figura respecto los planos XZ e YZ para obtener el dibujo completo.[br][/*][/list][list][*]La función P está referida a los parámetros g2:=c y g3:=0, donde podemos tomar c=189.7272, y [math]e_1=\sqrt{\frac{c}{4}}[/math], que es aproximadamente, 6.87519.[/*][*]Utilizando la relación entre la función Zeta y la función P, podemos definir P como la derivada de Zeta, y hacer la aproximación de [url=https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassZetaFunction.html]Einsenstein de Zeta[/url], mediante la serie[br][/*][/list][math]Zeta\left(z\right)=\frac{1}{z}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{c_k·z^{2k-1}}{2k-1}[/math][br]Donde los coefientes se definen de manera recursiva como[br][math]c_2=\frac{g_2}{20}[/math], [math]c_3=\frac{g_3}{28}[/math][br][br][math]c_k=\frac{3}{(2k+1)(k-1)}\sum_{m=2}^{k-2}c_m\cdot c_{k-m}[/math].