Si considerino le famiglie di funzioni [math]f_a\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{ax}-e^{-ax}\right)[/math] e [math]g_a\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{ax}+e^{-ax}\right)[/math] con [math]a[/math] parametro reale positivo.[br][br](a) Si traccino, al variare del parametro, i grafici rappresentativi [math]\gamma_f[/math] e [math]\gamma_g[/math] delle funzioni [math]f_a\left(x\right)[/math] e [math]g_a\left(x\right)[/math] evidenziando simmetrie, estremi e flessi.

[table][tr][td][/td][td]Dominio[/td][td]Simmetrie[/td][td]Massimi e minimi[/td][td]Flessi[/td][/tr][tr][td][math]f_a\left(x\right)[/math][/td][td][math]\mathbb{R}[/math][/td][td]Dispari[/td][td]Sempre crescente[/td][td][math]FL\equiv\left(0,0\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]g_a\left(x\right)[/math][/td][td][math]\mathbb{R}[/math][/td][td]Pari[/td][td][math]MIN\equiv\left(0,1\right)[/math][/td][td]Concavità sempre verso l'alto[/td][/tr][/table][br]Utilizza lo slider per esplorare i grafici delle due famiglie di funzioni al variare del parametro [math]a\in\mathbb{R}^+[/math].

Siano [math]P[/math] e [math]Q[/math] due punti, rispettivamente su [math]\gamma_f[/math] e [math]\gamma_g[/math], aventi la stessa ascissa positiva, [math]P'[/math] e [math]Q'[/math] le loro proiezioni sull'asse delle ordinate. Si individui il valore del parametro [math]a[/math] in corrispondenza del quale la massima area del rettangolo [math]PQQ'P'[/math] vale [math]e^{-1}[/math].

Siano [math]P\equiv\left(t,\frac{1}{2}\left(e^{at}-e^{-at}\right)\right)[/math] e [math]Q\equiv\left(t,\frac{1}{2}\left(e^{at}+e^{-at}\right)\right)[/math] due punti aventi la stessa ascissa positiva [math]t[/math].[br]Le loro proiezioni sull'asse delle ordinate sono [math]P'=\left(0,\frac{1}{2}\left(e^{at}-e^{-at}\right)\right)[/math] e [math]Q'=\left(0,\frac{1}{2}\left(e^{at}+e^{-at}\right)\right)[/math].[br][br]Esplora le dimensioni del rettangolo [math]PQQ'P'[/math] nella vista grafica a sinistra dell'app qui sotto, muovendo il punto sull'asse delle ascisse che definisce le coordinate di [math]P[/math] e [math]Q[/math].[br][br]La vista grafica a destra ti mostra il grafico della funzione che rappresenta l'area del rettangolo al variare dell'ascissa di [math]P[/math] e [math]Q[/math].[br][br]L'area del rettangolo è data dal prodotto [math]\overline{PP'}\cdot\overline{PQ}=te^{-at}[/math].[br]La funzione [math]Area\left(t\right)=te^{-at}[/math] ha un punto di massimo in [math]t=\frac{1}{a}[/math], in corrispondenza del quale l'area del rettangolo è [math]Area_{MAX}=\frac{1}{a}e^{-a\cdot\frac{1}{a}}=\frac{1}{a}e^{-1}[/math].[br]Tale area massima vale [math]e^{-1}[/math] quando [math]a=1[/math].[br][br]Verifica il risultato muovendo lo slider al valore [math]a=1[/math] e il punto mobile sull'asse delle ascisse in modo che diventi il punto di massimo.[br]