2.3.3 Betrachtung des Produkts aus Potenz- und Exponentialfunktion

Zusammenfassung

In den beiden vorangegangenen Abschnitten haben wir uns mit den Funktionsgraphen von [math]e^x[/math] und [math]x^n[/math] für [math]n\ge1[/math] betrachtet.[br][br]Die wichtigsten Erkenntnisse daraus sind folgende:[br][br]- [math]e^x[/math] ist ab einem Punkt immer größer als [math]x^n[/math].[br]- [math]e^x\rightarrow\infty[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math].[br]- [math]e^x\rightarrow0[/math] für [math]x\rightarrow-\infty[/math].[br]- [math]x^n\rightarrow\infty[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math].[br]- [math]x^n\rightarrow\infty[/math] für [math]x\rightarrow-\infty[/math], wenn [math]n[/math] gerade ist.[br]- [math]x^n\rightarrow-\infty[/math] für [math]x\rightarrow-\infty[/math], wenn [math]n[/math] ungerade ist.

Kombination von zwei Funktionen zu einer neuen Funktion.

Wir betrachten die Funktion [math]f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)[/math] mit [math]g\left(x\right)=x^n[/math], [math]n\ge1[/math], und [math]h\left(x\right)=e^x[/math].[br][br][math]f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)=x^n\cdot e^x[/math]

Aufgabe 4 a)

Es wird nun das Verhalten von [math]f\left(x\right)[/math], [math]g\left(x\right)[/math] und [math]h\left(x\right)[/math]für [math]x\rightarrow\infty[/math] betrachtet, dies bedeutet wie entwickeln sich die Funktionswerte, wenn x immer größer wird für die Funktionen.[br][br]Kreuzen Sie die richtigen Antworten an.

[math]f\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math].

Aufgabe 4 b)

Betrachten wir das Verhalten von [math]f\left(x\right)[/math], [math]g\left(x\right)[/math] und [math]h\left(x\right)[/math]für [math]x\rightarrow-\infty[/math], dies bedeutet wie entwickeln sich die Funktionswerte, wenn x immer kleiner wird. Beachten Sie in diesem Fall gilt: [math]n[/math] ist gerade![br][br]Kreuzen Sie die richtigen Antworten an.

[math]g\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow0[/math].

Aufgabe 4 c)

Betrachten wir das Verhalten von [math]f\left(x\right)[/math], [math]g\left(x\right)[/math] und [math]h\left(x\right)[/math]für [math]x\rightarrow-\infty[/math], dies bedeutet wie entwickeln sich die Funktionswerte, wenn x immer kleiner wird. Beachten Sie in diesem Fall gilt: [math]n[/math] ist ungerade![br][br]Kreuzen Sie die richtigen Antworten an.

[math]g\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]g\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math]. [math]f\left(x\right)\rightarrow0[/math]. [math]h\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math].

Aufgabe 4 d)

Das Verhalten der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] scheint ähnlich zu einer bekannten Funktion zu sein.[br][br]Kreuze die richtige Antwort an.

Die Potenzfunktionen [math]x^n[/math], wenn [math]n[/math] gerade ist. Die natürliche Exponentialfunktion [math]e^x[/math]. Die Potenzfunktionen [math]x^n[/math], wenn [math]n[/math] ungerade ist. Die Potenzfunktionen [math]x^n[/math], für alle [math]n[/math].

Aufgabe 4 e)

Betrachten Sie nun die Funktion [math]f\left(x\right)=x^3\cdot e^{-x}[/math].[br][br]Was hat sich zu der Funktion [math]x^3\cdot e^x[/math] geändert? Formulieren Sie Ihre Beobachtung einem Satz.[br][br]Vergleichen Sie Ihre Antwort mit der angegeben.

Aufgabe 4 f)

Hier finden Sie eine Zusammenfassung der Ergebnisse dieses Abschnittes.[br][br]Kreuzen sie alle richtigen Antworten an.

[math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^{-x}\rightarrow\infty[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^x\rightarrow0[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^x\rightarrow0[/math] für [math]x\rightarrow-\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^{-x}\rightarrow-\infty[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^{-x}\rightarrow0[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^x\rightarrow\infty[/math] für [math]x\rightarrow-\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^{-x}\rightarrow0[/math] für [math]x\rightarrow-\infty[/math]. [math]f\left(x\right)=x^n\cdot e^x\rightarrow\infty[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math].