Correlatie en regressie met GeoGebra Suite
Correlatie en regressie met GeoGebra Suite
Table of Contents
- Lineaire regressie
- Psychologische test: modeluitwerking
- Psychologische test: werk zelf uit!
- Recht evenredig verband
- Bungeejumpen: modeluitwerking
- Bungeejumpen: werk zelf uit!
- Omgekeerd evenredig verband
- Volume en druk: modeluitwerking
- Volume en druk: werk zelf uit!
- Zuiver kwadratisch verband
- Vrije val: modeluitwerking
- Vrije val: werk zelf uit!
- Oefeningen
- Oef 8.2: lengte van jongensbaby's
- Oef 8.3: Europese weerstations
- Oef 8.4: dieetpillen
- Oef 8.5: zoogdieren
- Oef 8.6: slakken
- Oef 8.7: examenresultaten
- Oef 9.1: regelmatige veelhoeken
- Oef 9.2: dierentuin
- Oef 9.3: fietsers
Psychologische test: modeluitwerking
Een psycholoog beweert een test ontworpen te hebben die de 'aanleg tot statistiek' van individuen kan bepalen. Een leerkracht wiskunde wil nagaan of deze bewering klopt. Hij neemt daarom bij 15 leerlingen, zonder voorkennis statistiek, de psychologische test af (= test 1), laat hen daarna gedurende 5 uur een stukje van de cursus statistiek instuderen, en neemt dan hierover een test af (= test 2). De resultaten van de twee testen vind je in de tabel hieronder.[br][size=50]Goemaere, E., Taecke, D., Wellecomme, S., & Gijbels, G. (2020). [i]Pienter Statistiek Derde graad TSO.[/i] Wommelgem: VAN IN.[/size]
De leerkracht wil nu nagaan in welke mate de punten op de test van de psycholoog (test 1) de punten op zijn eigen test (test 2) kunnen voorspellen. We maken hiervoor een spreidingsdiagram in de grafische rekenmachine van GeoGebra. We plaatsen in de tabel alle waarden van test 1 in de kolom [i]x[/i] en alle waarden van test 2 in de kolom [math]y_1[/math]. De puntenwolk wordt automatisch getekend in het tekenvenster.
Dit spreidingsdiagram doet vermoeden dat er een redelijk sterke positieve lineaire correlatie is tussen de resultaten van de twee testen. We gaan op zoek naar de correlatiecoëfficiënt door [i]Correlatiecoëfficiënt(x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub])[/i] in het algebravenster in te tikken.
Ook de correlatiecoëfficiënt geeft dus aan dat er hier sprake is van een redelijk sterke positieve correlatie. Het is dus verantwoord om de regressierechte te zoeken. In het algebravenster tikken we hiervoor het commando [i]Regressielijn((x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]))[/i] in. Let op: de dubbele haakjes zijn nodig! De regressierechte wordt automatisch in het tekenvenster getekend.
De regressierechte kan je ook vinden vertrekkende vanuit de tabel. Ga naar de drie verticale puntjes bij de kolom [i]y[sub]1[/sub][/i] en kies voor [i]Regressie[/i]. Kies [i]Linear[/i] als regressiemodel. Als je daarna op [i]PLOT[/i] klikt, dan komt deze functie in het algebravenster en verschijnt de grafiek in het tekenvenster.
Merk op: in de laatste versie van GeoGebra Suite kan je via de laatste werkwijze ook de correlatiecoëfficiënt krijgen.[br][br]De regressierechte kan je uiteraard gebruiken voor inter- en extrapolatie. [br][list][*]Een resultaat van 32 op de psychologische test (de eerste test) doet vermoeden dat de leerling ongeveer 65,4 zal halen bij de tweede test. Hier is sprake van interpolatie.[/*][*]Een leerling die een 10 haalt op de psychologische test zal vermoedelijk ook slecht scoren op de tweede test. We verwachten bij de tweede test en score van ongeveer 38,9. Hier is sprake van extrapolatie.[/*][/list]
Bungeejumpen: modeluitwerking
Bij bungeejumpen worden koorden gebruikt die heel elastisch zijn. Bij een gegeven koord worden enkele metingen gedaan. Er wordt telkens genoteerd welke massa (in kg) er aan het touw hangt en hoe groot de uitrekking (in m) is. Het resultaat van deze metingen vind je in onderstaande tabel.
We proberen op basis van deze data een model te vinden dat het verband tussen deze twee grootheden beschrijft. Hieronder zie je het spreidingsdiagram waarbij ook een trendlijn getekend is.
Het spreidingsdiagram en ook de correlatiecoëfficiënt (r = 0,9962) tonen duidelijk aan dat er sprake is van een positief lineair verband. We berekenen dus de regressierechte.
Toch zijn we niet echt tevreden met deze regressierechte. Als we de context bekijken, verwachten we een speciaal soort lineair verband: een recht evenredig verband. Als je immers niets aan het koord hangt, zal het ook niet uitrekken. De regressierechte suggereert dat er wel een (kleine) uitrekking is bij een massa van 0 kg. Om een beter model te hebben, gebruiken we het volgende commando in GeoGebra:[br][i]PassendeKromme((x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]), a x)[/i]
Zo krijgen we het volgende recht evenredig verband tussen de twee grootheden [i]m[/i] en[math]\Delta l[/math]:[br][center][size=150][/size][size=150][math]\Delta l=0,3957\cdot m[/math][/size][/center]
Dit model kunnen we gebruiken voor inter- en extrapolatie. Een massa van 40 kg zal voor een uitrekking van ongeveer 15,83 m zorgen.
Volume en druk: modeluitwerking
In de volgende tabel zie je de resultaten van een leerlingenproef over volume en druk van een gas bij constante temperatuur.[br][size=50]Deprez, J., & Moons, F. (2022). Spreidingsdiagrammen en trendlijnen - Statistiek in de 2de graad. [i]Uitwiskeling [/i](Winter 2022), 21-39.[/size]
Hieronder zien we het bijhorende spreidingsdiagram. Er is ook een lineaire trendlijn getekend, die op het eerste gezicht goed aansluit bij de datapunten.
Als we nader toekijken, zien we echter dat de afwijkingen tussen de datapunten en de trendlijn hier niet toevallig verdeeld lijken te zijn. Links en rechts liggen de datapunten boven de trendlijn en in het midden liggen ze eronder. Dat is een signaal dat erop wijst dat een lineaire regressielijn misschien niet het beste model is. We kunnen hier beter op zoek gaan naar een gebogen trendlijn. We kijken hier na of we een omgekeerd evenredig verband kunnen vaststellen tussen de twee grootheden. Hiervoor maken we gebruik van het volgende commando:[br][i]PassendeKromme((x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]),[math]\frac{a}{x}[/math] )[br][/i]We krijgen hiermee volgende functie:
Dit levert ons het volgende verband tussen de grootheden [i]Volume[/i] en [i]Druk[/i]:[br][left][math]p=\frac{22522}{V}[/math][br][br]Als we kijken naar het spreidingsdiagram, dan zien we dat dit verband nauw aansluit bij de gegeven metingen.[br][br][/left]
Dit model kunnen we gebruiken voor inter- en extrapolatie. Bij een volume van 24 cm[sup]3[/sup] verwachten we een druk van 938 hPa.
Vrije val: modeluitwerking
Onderstaande tabel geeft resultaten weer van een studentenproef over vrije val vanuit stilstand.[br][size=50]Deprez, J., & Moons, F. (2022). Spreidingsdiagrammen en trendlijnen - Statistiek in de 2de graad. [i]Uitwiskeling [/i](Winter 2022), 21-39.[/size]
Hieronder zien we het spreidingsdiagram waarin ook de lineaire regressierechte getekend is.
Hoewel de correlatiecoëfficiënt gelijk is aan 0,9624, zien we toch duidelijk dat een lineair verband niet het optimale model is. We zien hier intuïtief een parabool door de oorsprong. Bijgevolg denken we aan een zuiver kwadratisch verband. We zoeken dit zuiver kwadratisch verband met volgend commando:[br][i]PassendeKromme((x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]), a x[sup]2[/sup])[/i]
Dit levert ons het volgende verband tussen de grootheden [i]t[/i] en [i]x[/i]:[br][left][math]x=4,8761\cdot t^2[/math][br]Als we kijken naar het spreidingsdiagram, dan zien we dat dit verband nauw aansluit bij de gegeven metingen.[br][/left]
Dit model kunnen we gebruiken voor inter- en extrapolatie. Na 2 seconden verwachten we dat er een afstand van 19,5 m afgelegd is.
Oef 8.2: lengte van jongensbaby's
In onderstaande tabel vind je de gemiddelde lengte [i]Y [/i](in cm) van jongensbaby’s in functie van hun leeftijd [i]X[/i] in maanden.[br][size=50]Goemaere, E., Taecke, D., Wellecomme, S., & Gijbels, G. (2020). [i]Pienter Statistiek Derde graad TSO.[/i] Wommelgem: VAN IN.[/size]
Beantwoord volgende vragen.[br][list=1][*]Ga aan de hand van een spreidingsdiagram na of er sprake is van een lineaire correlatie. Zo ja, welke soort lineaire correlatie zie je?[/*][*]Bereken de correlatiecoëfficiënt en verklaar je resultaat.[/*][*]Zoek de vergelijking van een regressierechte van [i]Y[/i] op [i]X[/i]. Teken deze regressierechte in het spreidingsdiagram.[/*][*]Schat de lengte van een jongensbaby van 8 maanden en 3 weken.[/*][*]Schat de lengte van een jongensbaby van 14 maanden.[/*][*]Toon aan dat de regressierechte het volledige verloop van de groei van een jongen niet kan weergeven.[/*][/list]