1r Batxillerat: Geometria analítica
Contingut del llibre - Vectors en el pla - Rectes en el pla
Table of Contents
- Vectors en el pla
- Eixos de coordenades
- Vector fix
- Vectors equipol.lents i vectors lliures
- Forma polar d'un vector
- Operacions amb vectors
- Suma de vectors
- Producte d'un vector per un escalar
- Resta de vectors
- Adding Vectors Geometrically
- Vector Addition
- Vector Subtraction
- Combinació lineal de vectors
- Combinació lineal de vectors
- Linear Combination of Vectors
- Linear Combinations 2D a la Shawn Godin
- Rectes en el pla
- Vector Equation of a Line in 2-Space
- Equacions de la recta
- Exercicis i exemples
- Components d'un vector
- Mòdul d'un vector
- Exercicis
- Argument d'un vector
- Perímetre d'un triangle (Usant el concepte de mòdul d'un vector)
- Divisió d'un segment en 5 parts iguals
- Baricentre
- Ortocentre
- Circumcentre
- Recta d'Euler
- Problemes d'examen
Eixos de coordenades
[justify]La geometría anàlítica en el pla descriu les relacions entre els seus elements: punts, vectors i rectes. Per tal cosa és imprescindible un [b]sistema de coordenades[/b]. [br]Utilitzarem un sistema de coordenades cartesianes, format per dos eixos perpendiculars que es tallen en un punt (origen) i amb una orientació determinada. L'eix horitzontal s'anomena eix d'abcisses, eix OX o eix de les x; l'eix vertical s'anomena eix d'ordenades, eix OY o eix de les Y.[br]A la dreta de l'origen les abcisses són positives; a l'esquerra negatives. Per sobre de l'origen les ordenades són positives ; per sota negatives.[/justify][justify]Qualsevol punt P del pla queda determinat mitjançant dos nombres que anomenem [b]coordenades.[/b][br]La primera coordenada x, la abcissa, indica si el punt es troba a la dreta (valor positiu) o a l'esquerra de l'origen; la segona coordenada y , la ordenada, indica si el punt es troba per sobre (valor positiu) o per sota ( valor negatiu) de l'origen[/justify]
Suma de vectors
[br]La suma de dos vectors s'ha d'entendre com la suma de dos translacions , cadascuna dels quals ve[br]determinada per les components de cada vector. O sigui, una translació seguida d'una altra translació.[br][br]Si [math]\vec{v}=\left(v_1,v_2\right)[/math] i [math]\vec{u}=\left(u_1,u_2\right)[/math] [math]\rightarrow[/math] [math]\vec{v}+\vec{u}=\left(v_1,v_2\right)+\left(u_1,u_2\right)=\left(v_1+u_1,v_2+u_2\right)[/math][br][br]Sumant dos vectors ( que representen una translació cadascun) obtenim un altre vector que representa una translació directa equivalent a les dues translacions que volem sumar.[br][br]
[br]Geomètricament es pot representar la suma situant un vector allà on acaba l'altra o amb la regla del paral·lelogram. En qualsevol cas, el resultat és el mateix.[br]
De la mateixa manera es poden sumar tres o més vectors.[br]El significat geomètric és el mateix. És un seguit de moviments o transformacions, un després de l'altre. El punt final on arribem després d'un moviment és el punt inicial del següent moviment.[br][br][math]\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}=\left(v_1,v_2\right)+\left(u_1,u_2\right)+\left(w_1,w_2\right)=\left(v_1+u_1+w_1,v_2+u_2+w_2\right)[/math]
Combinació lineal de vectors
[br]Donat un conjunt de vectors {[math]\vec{v_1,}\vec{v_2},......\vec{v_n}[/math]} direm que una expressió de la forma [math]a_1·\vec{v_1}+a_2·\vec{v_2}+.....+a_n\vec{v_n}[/math] amb [math]a_1,a_2,....,a_n\in\mathbb{R}[/math] és una combinació lineal del conjunt de vectors[br][br][b]Exemple[/b]. [br][br]Siguin els vectors [math]\vec{v}=\left(2,1\right),\vec{u}=\left(-3,5\right),\vec{w}=\left(5,1\right)[/math] , les expressions següents són combinacions lineals d'aquests 3 vectors[br][br][list][*][math]3\vec{v}-\vec{2u}+5\vec{w}[/math][br][/*][*][math]\frac{1}{2}\vec{v}-6\vec{w}[/math][br][/*][*][math]-0,4\vec{v}+\frac{5}{3}\vec{u}-7\vec{w}[/math][/*][/list][br][br][br][b]Generació dels vectors del pla[/b][br][br]Tots els vectors en el pla es poden escriure com una combinació lineal de qualsevol 2 vectors que tinguin diferent direcció. O sigui, amb dos vectors amb direccions diferents podem generar tots els vectors del pla.[br][br][br]
[b][br]Vectors proporcionals [/b][br][br]Hem comentat abans que la condició per a que dos vectors puguin generar a tots els altres vectors del pla és que tinguin direccions diferents[br][br]Dos vectors [math]\vec{u}[/math] i [math]\vec{v}[/math] tindran la mateixa direcció si són proporcionals, o sigui si [math]\vec{u}=k·\vec{v}\longrightarrow\left(u_1,u_2\right)=k·\left(v_1,v_2\right)\longrightarrow\begin{matrix}u_1=k·v1\\\\u_2=k·v_2\end{matrix}\longrightarrow\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}[/math]
Vector Equation of a Line in 2-Space
Components d'un vector
Troba els components del vector
Els components d'un vector son dos valors. El primer indica el desplaçament horitzontal i el segon el desplaçament en vertical.