[b][size=150]Sottoponiamo adesso la funzione y=exp(x)=[i]e[/i][sup]x[/sup] ad uno stiramento, come fatto in[br] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/GVyy2HDe]Trasformazioni fondamentali su una funzione esponenziale[/url][/color] .[br][br]La funzione f(x)=exp(m·x) è la funzione che stira exp in orizzontale di un moltiplicatore 1/m (ricorda come si ricava y=f(x/h) da y=f(x); qui si ha: h=1/m).[br][br]Siccome la funzione exp in (0,1) - ovvero per x=0 - ha 1 come misura della velocità (ovvero pendenza della retta ivi tangente, che è quindi y=1+x), lo stiramento complessivo di esponenziale con retta tangente in (0,1) trasforma:[br] exp in [/size][size=150]y=exp(m[size=150]·x) [br] e la retta y=1+x nella retta y=1+m[size=150]·[/size]x.[br]In breve, la velocità di f(x)=[/size][/size][size=150][size=150][size=150]exp(m[size=150]·x)[/size][/size][/size][/size][size=150][size=150] è m.[br][br]Ma [/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]exp(m[size=150]·x) [/size][/size][/size][/size]= [size=150][size=150][size=150][i]e[/i][sup][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]m[size=150]·x [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/sup][/size][/size][/size]= ( [size=150][size=150][size=150][i]e[/i][sup]m[/sup][/size][/size][/size] )[sup]x[/sup][/size][/size][size=150][size=150] . [br]Quindi, variando il parametro m si ottengono tutte le funzioni esponenziali aventi per base i corrispondenti numeri [/size][/size][size=150][size=150][size=150][i]e[/i][sup]m[/sup][/size][/size][/size][size=150][size=150]. [br]Se, pertanto, un numero a è esprimibile come [/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][i]e[/i][sup]m[/sup][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150], vorrà dire che la funzione y=a[sup]x[/sup] è proprio y=[/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]exp(m[size=150]·x)[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150].[br]Chiediamoci quindi se ogni numero positivo a è esprimibile come potenza a=[i]e[/i][/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][sup]m[/sup][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150].[br]E siccome il punto A=(1,[/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][i]e[/i][sup]m[/sup][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150]) è proprio il punto di ascissa 1 che sta sulla funzione [/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150]y=[/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]exp(m[size=150]·x), basterà stabilire se i punti [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150](1,[/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][i]e[/i][sup]m[/sup][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150])[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150] assumono tutte le possibili ordinate positive a, al variare di m nell'insieme di tutti i numeri reali.[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/b]