[size=150]Si definisce [color=#cc0000][b]luogo geometrico[/b][/color] l'insieme costituito da [color=#cc0000][b]tutti e soli[/b][/color] i punti del piano che godono di una certa proprietà, detta [color=#cc0000][b]proprietà caratteristica[/b][/color] del luogo.[br][br]Analogamente a quanto fatto con la carta, vogliamo costruire con Geogebra il [i][color=#cc0000]luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso e da una retta.[/color][br][/i][br][size=100]Per semplicità prendiamo un punto [b]F(0,p)[/b] sull'asse y e una [b]retta d[/b] parallela all'asse x, [b]di equazione y = -p[/b].[/size][br][/size][list][*]Nella barra di inserimento scrivi:[/*][/list] F=(0,2) [br] d: y=-y(F)[br][list][*]Prendi un punto A sulla retta d [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon][/*][*]Traccia il segmento AF [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon][/*][*]Traccia poi l'asse del segmento AF [icon]/images/ggb/toolbar/mode_linebisector.png[/icon][/*][*]Infine traccia la perpendicolare a d passante per A [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon][/*][*]Il punto che cerchiamo è il punto P di intersezione tra l'asse di AF e la perpendicolare a d [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon][/*][/list]Lo puoi verificare congiungendo P con F e poi con A. Infatti, come ben sai, all'asse di un segmento appartengono tutti e soli i punti equidistanti dagli estremi del segmento (in questo caso da A e da F), in particolare PA è anche la distanza di P da d per cui è verificata la condizione:[center][br][math]\overline{PF}=d_{\left(P,d\right)}[/math][/center]
Ora rendi attiva la traccia del punto P[sub] [/sub]e muovi il punto A. Cosa ottieni? [br][br]Sapresti definire il luogo geometrico dei punti tracciati da P?
[br]Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d è una parabola con vertice nell'origine degli assi.
Con il [color=#ff0000]Comando Luogo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_locus.png[/icon][/color] rappresenta il luogo generato dal punto P al variare di A.[br]Il punto [b][color=#ff0000]F[/color][/b] si chiama [b][color=#ff0000]fuoco[/color][/b] e la retta [b][color=#ff0000]d direttrice[/color][/b].[br][br]Sposta il fuoco, come varia il luogo?[br]Fai le tue considerazioni.
[br]La posizione del fuoco sull'asse y influisce sulla concavità della parabola: più il fuoco si avvicina all'asse x, più la parabola tende ad allargarsi.[br]Se F si trova sul semiasse positivo delle y la parabola ha concavità verso l'alto, se si trova nel semiasse negativo ha concavità verso il basso.
[b][color=#ff0000]Ora generalizza con carta e penna[/color].[/b][br][br]Se F(0,p), la retta d ([color=#ff0000]direttrice[/color]) ha equazione: y = -p e il punto P che si muove sulla curva ha coordinate generiche P(x,y). Quale sarà l'equazione del luogo?[br][br]Ricorda che la proprietà del punto P è:[br][center][b][/b][math]PF=d_{(P,d)}[/math][b][br][/b]cioè[b][br][/b][/center][center][math]\sqrt{x^2+\left(y-p^2\right)}=\mid y+p\mid[/math][/center]svolgendo i calcoli ottieni;
[math]y=\frac{1}{4p}x^2[/math]
Che relazione c'è tra a e p?
[math]a=\frac{1}{4p}[/math]
Sapresti esprimere le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice in funzione di a?
[math]F\left(0,\frac{1}{4a}\right)[/math][br][br][math]y=-\frac{1}{4a}[/math]