[size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color][u][color=#0000ff][b] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/color][/u]. [color=#ff7700][b](31. August. 2022)[/b][/color][/right][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size] [size=85][br]Das [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] oben besteht aus [color=#cc0000][b]3 * 6[/b][/color] [i][b]Kreisen[/b][/i], welche eine [color=#cc0000][b]2[/b][/color]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berühren[/b][/i][/color].[br]Je [color=#cc0000][b]6[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] gehören zu einer der [b]3[/b] [color=#B45F06][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color]: [math]y[/math]-Achsen-symmetrisch, [color=#B45F06][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]-symmetrisch [br]und eine 3.-te [/size][size=85][size=85][color=#B45F06][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color][/size] an einem imaginären [color=#ff0000][i][b]Kreis:[/b][/i][/color] praktisch ergibt sich diese [color=#B45F06][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] durch [color=#BF9000][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] an[br]den [color=#cc0000][b]2[/b][/color] Achsen und am [/size][size=85][i][b][size=85][color=#B45F06][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size][/b][/i].[br]Die [color=#cc0000][b]3 * 6[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] schneiden sich [color=#cc0000][b]6 * 6[/b][/color] gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color]. Diese [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen in [b]2[/b] verschiedenen Überlagerungen der[br]komplexen Ebene: [color=#9900ff][i][b]Netz 1[/b][/i][/color] und [color=#9900ff][i][b]Netz 2[/b][/i][/color]. [br]Beweglich sind im Applet der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color], der [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkt [/b][/i][b]s[/b][/color] und der Anfangspunkt [color=#ff0000][b]p[sub]0[/sub][/b][/color] des [color=#9900ff][i][b]Netzes[/b][/i][/color].[br]Der [color=#ff0000][i][b]Anfangspunkt[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][b]p[sub]0[/sub][/b][/color][/size] bewegt sich auf einem [math]y[/math]-achsensymmetrischen [color=#999999][i][b]Grund-Kreis [/b][/i][math]dbc_y[/math][i][b],[/b][/i][/color] den man verändern kann.[br][br]Schließlich kann man die [b]Anzahl [/b]der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] erhöhen: damit das [color=#9900ff][i][b]Netz[/b][/i][/color] sich dann schließt, müßten weitere [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ergänzt werden.[br][br][size=50][color=#cc0000][u][i][b]Zur Konstruktion:[/b][/i][/u][/color][br]Wir verwenden Hinweise aus [b]Walter Wunderlich[/b]s Artikel: "[i]Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen[/i]" ([url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv][color=#0000ff][b]Lit.Verz. WUNW 1938[/b][/color][/url]).[br]Durch den Punkt [color=#ff0000][b]p[sub]0[/sub][/b][/color] werden mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] aus jeder Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] je ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] konstruiert. ([color=#cc0000][i][b]Besonderheit[/b][/i][/color]: [br]die zugehörigen [color=#00ffff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] auf den [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] liegen auf einem [color=#980000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [color=#ff0000][b]p[sub]0[/sub][/b][/color]!) [br]Zum [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] der [color=#B45F06][i][b]Einheitskreis-symmetrischen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] liegen die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f''[/b][/color] [color=#B45F06][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color]. [br]Durch [color=#1155Cc][i][b]Drehung[/b][/i][/color] um 60° um diese Grundpunkte erhält man 5 weitere [color=#00ffff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] für zugehörige [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color], [/size][/size][size=85][size=50][color=#B45F06][i][b][size=85][size=50]Einheitskreis-symmetrischen[/size][/size][/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Aus den Schnittpunkten mit dem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]dbc_y[/math] konstruiert man das endliche [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color]. [br][br][color=#cc0000][u][i][b]Wie konstruiert man die doppelt-berührenden Kreise mit Hilfe der Leitkreise?[/b][/i][/u][/color][br]Es wird eine Eigenschaft der [i][b]doppelt-berührenden[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] genutzt: spiegelt man einen ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] (im Beispiel [color=#00ff00][b]f)[/b][/color] an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color][br][color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], welche zu einer [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehören, so liegen die [color=#BF9000][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color] auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]: dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color].[br]Jedem [color=#00ffff][i][b]Punkt[/b][/i][/color] auf einem solchen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] ist eindeutig ein [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] zugeordnet. Die [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] sind nicht immer reell![br][/size][/size]

[size=85]Das Applet oben zeigt ein [i][b]endliches[/b][/i] [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [color=#cc0000][b]3 * 3[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] und [color=#cc0000][b]3 * 3[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color].[br]Je [color=#cc0000][b]3[/b][/color] der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] gehören zu jeweils einer der [color=#cc0000][b]3 [/b][/color][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color].[br]Die [color=#9900ff][i][b]3-Eck-Eigenschaft[/b][/i][/color] ist nicht so einfach zu erkennen: die Schnittpunkte liegen in [color=#cc0000][b]2[/b][/color] Überlagerungen der [color=#0000ff][i][b]komplexen Ebene[/b][/i][/color].[br]Man betrachte hierzu die [color=#cc0000][b]2 [/b][/color][color=#9900ff][i][b]Netzanteile[/b][/i][/color]: nützlich ist es, die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] als [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] auf [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]zyklisch[/b][/i][/color] zu betrachten.[br]Das wird durch das [color=#9900ff][i][b]Parallelen-6-Eck[/b][/i][/color] unten links verdeutlicht.[br]Vielleicht läßt sich die Überlagerung [color=#0000ff][i][b]räumlich[/b][/i][/color] darstellen, zum Beispiel mit einer passenden [color=#0C343D][i][b]DARBOUX Cyclide[/b][/i][/color]!?[br][br]Variieren läßt sich im obigen Applet die [color=#9900ff][b]Startposition[/b][/color]: [br][/size][list][size=85][*]Die Lage des [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] durch [math]p_0,p_1,p_2[/math] kann geändert werden, die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] bleibt dabei unverändert.[br][/*][*]Die Fixierung des [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunktes[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]s[/b][/color] ist aufgehoben.[br][/*][*]Die Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] können mit [color=#00ff00][b]f[/b][/color] geändert werden.[/*][/size][/list][size=85]Das [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] kann sich dabei als instabil erweisen. [br]Der Grund kann in einer Besonderheit von [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] liegen: [br][color=#cc0000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [math]c_1,c_2[/math] besitzen in der Regel [color=#cc0000][b]2[/b][/color] Schnittpunkte [math]SchnittPunkt(c_1,c_2,1)[/math] und [size=85][math]SchnittPunkt(c_1,c_2,2)[/math]. [br]Die Nummerierung hängt ([i]für uns nicht nachvollziehbar[/i]) von der Lage der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [math]c_1,c_2[/math] ab![/size][br][br]Das [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] des obigen Applets besitzt eine [i][b]bemerkenswerte[/b][/i] und [i][b]merkwürdige[/b][/i] Besonderheit:[br]Die [color=#cc0000][b]3[/b][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch einen vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] werden konstruiert durch zugehörige[color=#00ffff][i][b] Punkte[/b][/i][/color] auf den [br]zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color]. Dafür gibt es jeweils [color=#cc0000][b]2[/b][/color] Möglichkeiten, also insgesamt für die [color=#cc0000][i][b]3 [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [b]2*3 = 6[/b] Möglichkeiten. [br]Oben sind die [color=#00ffff][i][b]Leitkreis-Punkte[/b][/i][/color] und zugehörigen [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] so gewählt, dass sie mit dem vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] [br]auf einem [color=#980000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] liegen. Siehe [color=#0000ff][i][b]Zuordnung ...[/b][/i][/color]! Allein, dass dies möglich ist, ist [i][b]bemerkenswert[/b][/i]![br]Es entstehen [color=#cc0000][b]3 * 3[/b][/color] [color=#980000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] (durch die [color=#cc0000][b]9[/b][/color] vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color]), die sich auf den [color=#980000][b]3 * 3[/b][/color] [color=#00ffff][i][b]Leitkreis-Punkten[/b][/i][/color] [br]auf den [color=#cc0000][b]3[/b][/color] [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] schneiden: [color=#cc0000][i][b]np = 9[/b][/i][/color]. [br]Vor uns liegt ein [i][b]endliches[/b][/i] [color=#cc0000][b]3 * 3[/b][/color] [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] mit [color=#0000ff][i][b]diagonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]: also ein [color=#9900ff][i][b]6-Eck-4-Netz[/b][/i][/color].[br]Als [color=#0000ff][i][b]Diagonalen[/b][/i][/color] dienen die [color=#00ffff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color], siehe auch das [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]6-Eck-4-Netz[/b][/i][/color][/size] aus [color=#660000][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] rechts unten.[br]Die Frage, ob sich dieses bisher wohl nicht bekannte [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] kontinuierlich fortsetzen läßt, können wir nicht beantworten.[br][color=#cc0000][u][i][b]Eine Anregung[/b][/i][/u][/color]: Läßt sich ein solches [color=#980000][b]3 * 3[/b][/color] [color=#9900ff][i][b]Netz [/b][/i][/color]mit [color=#1155Cc][i][b]Diagonalen[/b][/i][/color] auf einem [color=#20124D][i][b]Torus[/b][/i][/color] realisieren [br]Längskreise, Querkreise und Villearcau-Kreise in zwei Rihtungen bei geeigneten Torus-Abmessungen?[/size]