Para completar, temos as coordenadas esféricas, também usadas para melhor representar superfícies (de preferência, com natureza esférica). Diferentemente das coordenadas cilíndricas, agora há novos "integrantes", a saber:[br][list][*][math]\rho>0[/math], o raio da esfera;[/*][*][math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math], o ângulo percorrido no plano [math]XY[/math];[/*][*][math]\varphi\in\left[0,\pi\right][/math], o ângulo percorrido no semieixo positivo do eixo[math]-OZ[/math] ao semieixo negativo do eixo[math]-OZ[/math].[/*][/list]Note que, ao varrer completamente os ângulos [math]\theta[/math] e [math]\varphi[/math] (mantendo o raio [math]\rho[/math] constante), obteremos uma esfera de raio [math]\rho[/math]. Talvez essa [i]alusão[/i] tenha sido suficiente para justificar o porquê da variação de [math]\varphi[/math] não ser igual à variação de [math]\theta[/math].[br][br]Dado um ponto [math]P[/math] em coordenadas esféricas, ele será da forma [math]P=P\left(\rho,\theta,\varphi\right)[/math]. Evidentemente, ele ainda existirá na forma cartesiana cotidiana, na forma [math]P=P\left(x,y,z\right)[/math]. Ademais, as relações entre coordenadas são dadas por:[br][math]x=\rho\cos\left(\theta\right)\text{sen}\left(\varphi\right)[/math][br][math]y=\rho\text{sen}\left(\theta\right)\text{sen}\left(\varphi\right)[/math][br][math]z=\rho\cos\left(\varphi\right)[/math][br]A partir delas, conseguimos chegar em outras duas relações, que também podem ser úteis:[table][tr][td][math]x=\rho\cos\left(\theta\right)\text{sen}\left(\varphi\right)\Rightarrow x^2=\rho^2\cos^2\left(\theta\right)\text{sen}^2\left(\varphi\right)[/math][br][/td][td][math]y=\rho\text{sen}\left(\theta\right)\text{sen}\left(\varphi\right)\Rightarrow y^2=\rho^2\text{sen}^2\left(\theta\right)\text{sen}^2\left(\varphi\right)[/math][br][/td][td][math]z=\rho\cos\left(\varphi\right)\Rightarrow z^2=\rho^2\cos^2\left(\varphi\right)[/math][br][/td][/tr][tr][td][math]x=\rho\cos\left(\theta\right)\text{sen}\left(\varphi\right)\Rightarrow\cos\left(\theta\right)=\frac{x}{\rho\text{sen}\left(\varphi\right)}[/math][br][/td][td][math]y=\rho\text{sen}\left(\theta\right)\text{sen}\left(\varphi\right)\Rightarrow\text{sen}\left(\theta\right)=\frac{y}{\rho\text{sen}\left(\varphi\right)}[/math][br][/td][td][math]\text{tg}\left(\theta\right)=\frac{y}{x}\Rightarrow\theta=\text{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)[/math][br][/td][/tr][/table]Na segunda linha, consideramos [math]\varphi\ne0\pm k\pi,k\in\left\{0,1\right\}[/math], pois caso seja verdadeiro, teremos [math]\text{sen}\left(\varphi\right)=0\Rightarrow x=y=0[/math] e o ponto estará localizado sobre o eixo[math]-OZ[/math], isto é, não haverá necessidade de fazer cálculo pela fórmula. [br][br]Finalmente, temos que:[br][math]\rho^2=x^2+y^2+z^2\Rightarrow\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math][br][math]\theta=\text{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)[/math][br][math]\varphi=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/math], pois [math]\cos\varphi=\frac{z}{\rho}[/math][br][br][list][*]Conseguinte, temos uma espécie de [i]conversor[/i] de coordenadas esféricas em cartesianas e vice-versa. Sugerimos que selecione uma caixa de cada vez, para melhor visualização. Haverá uma esfera que contém o ponto desejado para que se tenha uma melhor visão da coordenada esférica. Pode ser que ela se torne mais interessante quando você começar a lidar com parametrização de superfícies (de naturezas esféricas, de preferência) ou integral de superfície. De qualquer forma, é importante saber as transformações.[/*][/list]