Unten siehst du den Funktionsgraph der Funktion f(x) = 0,5x(x-4)[math]^2[/math] und die zum Graphen gehörige Wertetabelle.[br]Die Punkte O=(0/0), A(x/0) und B(x/f(x)) bilden ein Dreieck, dessen Position du mit dem Schieberegler verändern kannst.[br]
Variiere mit dem Schieberegler die Position des Punktes von B, der immer auf dem Graphen der Funktion f liegt und beobachte, wie sich der Flächeninhalt des Dreiecks in Abhänigkeit von B auf dem Intervall [0;4]verändert.[br][br]Halte deine Beobachtungen schriftlich fest: Wie verändert sich der Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von der Position des Punktes B?
- Für B (0/0) existiert kein Flächeninhalt[br]- Wenn B nahe Null liegt, ist der Flächeninhalt des Dreiecks sehr klein.[br]- Mit zunehmder Entfernung von B vom Koordinatenursprung wächst der Flächeninhalt des Dreiecks sehr schnell.[br]- Irgendwo um den Hochpunkt herum - oder genau am Hochpunkt? - oder doch etwas danch? - scheint das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt zu besitzen.[br]- Danach wird der Flächeninhalt des Dreiecks wieder sehr schnell immer kleiner.[br]- Für B (4/0) existiert wieder kein Flächeninhalt
Versuche den Verlauf der Funktion zu skizzieren, die dir den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von OA - also dem Wert des Schiebereglers - angibt.
Die Lösung kannst du dir im folgenden Applett einblenden lassen[br]
Versuche nun, einen Term für die Zielfunktion zu bestimmen und berechne mit Hilfe des Extremwertkalüls ihr Maximum!
Der Ansatz und die Zielfunktion lauten: