Data una funzione continua [math]\large\bf y=f(x)[/math] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math] e la si ruota di [b]un angolo giro[/b] attorno all'asse delle ascisse, si ottiene una figura detta [b]solido di rotazione[/b].

Data una funzione continua [math]\large\bf y=f(x)[/math] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math], il volume [math]\large\bf V[/math] del [b]solido di rotazione[/b] intorno all'asse X si ottiene calcolando[br][center][math]\Large\bf V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx[/math][/center]

Si divide l'intervallo [math]\large\bf [a, b][/math] in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf \left[x_i,\ x_{i+1}\right]_{i=1,...,n}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], di ampiezza [math]\large\bf \Delta x=\frac{b-a}{n}[/math]; visto che la funzione è continua in [math]\large\bf [a, b][/math], lo sarà anche negli n sotto-intervalli, quindi in ognuno vale il [b]Teorema di Weierstrass[/b], ovvero esiste il [b]minimo[/b] e [b]massimo assoluto[/b] della funzione per ogni intervallo, ovvero:[br][center][math]\large\bf \exists\; m_i=\min_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\quad \exists\; M_i=\max_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center]Si considerano i rettangoli aventi come base [math]\large\bf \Delta x[/math] e per altezza rispettivamente i minimi [math]\large\bf m_i[/math] per quelli inscritti, i massimi [math]\large\bf M_i[/math] per quelli circoscritti. Ognuno di questi, ruotato intorno all'asse X di un angolo giro, genera un [b]cilindro[/b] di volume rispettivamente:[br][center][math]\large\bf V_m_i=\pi\cdot m_i^2\cdot\Delta x\quad\quad V_M_i=\pi\cdot M_i^2\cdot\Delta x\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center]dove, se ci si riferisce al volume di un cilindro [math]\large\bf V=\pi\cdot R^2\cdot h[/math], il raggio di base è rappresentato rispettivamente da [math]\large\bf m_i[/math] e [math]\large\bf M_i[/math], mentre l'altezza del cilindro da [math]\large\bf \Delta x[/math].[br]Pertanto, sommando i volumi rispettivamente degli n cilindri inscritti e degli n cilindri circoscritti, vale quanto segue:[br][center][math]\large\bf \sum_{i=1}^n\pi\cdot m_i^2\cdot\Delta x\le V\le\sum_{i=1}^n\pi\cdot M_i^2\cdot\Delta x[/math][/center]In analogia alla definizione d'integrale definito, se si calcolano i limiti per [b]n che tende a infinito[/b] si ha quanto segue:[br][center][math] \begin{array}{rccll}\lim_{n\to+\infty}&\pi&\sum_{i=1}^n&M_i^2&\Delta x\\[br]&\downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\ \Large\bf V=&\Large\bf\pi&\Large\bf\int_a^b&\Large\bf \left[f\left(x\right)\right]^2&\Large\bf dx\\ &\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\[br]\lim_{n\to+\infty}&\pi&\sum_{i=1}^n&m_i^2&\Delta x\end{array}[/math][/center]ovvero concettualmente [math]\large\bf M_i[/math] e [math]\large\bf m_i[/math] "convergono" ad [math]\large\bf f(x)[/math] mentre [math]\large\bf \Delta x[/math] diventa infinitesimo [math]\large\bf dx[/math], riconducendo quindi le sommatorie discrete [math]\large\bf\sum_{i=1}^n[/math] nella sommatoria continua [math]\large\bf\int_a^b[/math].

In caso di funzione non continua in un numero finito di punti con discontinuità di [b]prima[/b] e/o [b]terza specie[/b], si può ripartire il problema partizionando l'intervallo e applicando la [b]proprietà 5[/b] degli integrali definiti.