Si consideri [math]f_{a,b}\left(x\right)=\frac{ax^3+b}{x^2}[/math], con [math]a,b\in\mathbb{R}[/math].[br]Determinare i valori dei parametri in modo che la retta [math]t[/math], di equazione [math]7x+y-12=0[/math], sia tangente al grafico di [math]f_{a,b}\left(x\right)[/math] nel suo punto [math]P[/math] di ascissa [math]x=1[/math].

La funzione parametrica dipende da due parametri, quindi abbiamo bisogno di 2 condizioni.[br][br]Il punto [math]P[/math] appartiene sia alla retta [math]t[/math] che alla funzione parametrica.[br]Esplicitiamo l'equazione di [math]t[/math] rispetto alla [math]y[/math]: [math]y=-7x+12[/math].[br]Sostituiamo al posto della [math]x[/math] la [math]x\left(P\right)=1[/math] e risolviamo: [math]y=-7\cdot1+12=5[/math]. Quindi [math]P\equiv\left(1,5\right)[/math].[br][br]Imponiamo il passaggio della funzione parametrica per [math]P[/math] risolvendo [math]f_{a,b}\left(1\right)=5[/math]. Otteniamo la prima condizione [math]a+b=5[/math].[br][br]La funzione parametrica e la retta sono tangenti in [math]x=1[/math]. Quindi in [math]x=1[/math] il coefficiente angolare della retta è uguale al valore della derivata della funzione.[br][br][math]f'_{a,b}\left(x\right)=\frac{3ax^2\cdot x^2-2x\left(ax^3+b\right)}{x^4}=\frac{ax^4-2bx}{x^4}[/math][br][math]f'_{a,b}\left(1\right)=a-2b[/math][br]Il coefficiente angolare della retta [math]t[/math] è [math]-7[/math].[br]Quindi la seconda condizione è [math]a-2b=-7[/math].[br][br]Il sistema costituito dalle due condizioni ha soluzione [math]a=1,b=4[/math]. Sostituendo tali valori nell'equazione parametrica otteniamo l'equazione cercata: [math]f\left(x\right)=\frac{x^3+4}{x^2}[/math].[br][br][br][i]Utilizza gli slider nell'app di seguito e osserva come si modifica il grafico di [math]f_{a,b}\left(x\right)[/math]. Scegli i valori corretti dei parametri e osserva che verificano le condizioni assegnate nel problema.[/i]

Studiare la funzione [math]f\left(x\right)=\frac{x^3+4}{x^2}[/math] e tracciarne il grafico [math]\gamma[/math]. Scrivere l'equazione dell'ulteriore retta tangente alla curva [math]\gamma[/math] passante per [math]P[/math].[br][br]Al variare del parametro reale [math]m[/math], determinare il numero di intersezioni tra la retta di equazione [math]y-5=m\left(x-1\right)[/math] e la curva [math]\gamma[/math].

La funzione [math]f\left(x\right)[/math] è definita e continua in [math]\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}[/math].[br]Ha un asintoto obliquo di equazione [math]y=x[/math] e un asintoto verticale di equazione [math]x=0[/math].[br][math]f'\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x^3}[/math][br]È crescente per [math]\left(-\infty,0\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/math], e decrescente per [math]\left(0,2\right)[/math].[br][math]f''\left(x\right)=\frac{24}{x^4}[/math][br]La derivata seconda è sempre positiva, dunque la funzione rivolge sempre la concavità verso l'alto.

Esplicitiamo il fascio di rette di equazione [math]y-5=m\left(x-1\right)[/math] rispetto alla variabile [math]y[/math]: otteniamo [math]y=mx+5-m[/math], che è un fascio proprio, in quanto il coefficiente angolare dipende dal parametro [math]m[/math].[br][br]Il centro del fascio è il punto [math]P\equiv\left(1,5\right)[/math] determinato in precedenza (per trovare il centro del fascio, mettere in sistema le equazioni che si ottengono sostituendo due valori distinti ad [math]m[/math]).[br][br]Per studiare il numero di intersezioni tra il fascio e [math]\gamma[/math] è necessario considerare la posizione delle rette del fascio tangenti a [math]\gamma[/math], eventuali rette "notevoli" (la retta infinita del fascio, la retta parallela all'asintoto obliquo passante per il centro del fascio) e considerare il senso di "rotazione" del fascio, che è il verso di crescita del parametro, che in questo caso è antiorario.[br][br]La retta infinita del fascio è la retta verticale di equazione [math]x=x\left(P\right)[/math], cioè [math]x=1[/math].[br]La retta parallela all'asintoto obliquo [math]y=x[/math] e passante per [math]P[/math] ha equazione [math]y=x+4[/math], e si ottiene per [math]m=1[/math].[br]Per determinare i valori di [math]m[/math] che generano le tangenti a [math]\gamma[/math] passanti per [math]P[/math] mettiamo in sistema l'equazione del fascio di rette e l'equazione di [math]f\left(x\right)[/math]. [br]Sostituendo, otteniamo l'equazione risolvente [math]\left(m-1\right)x^3+\left(5-m\right)x^2-4=0[/math]. [br]Imporre la condizione di tangenza [math]\Delta=0[/math] a questa equazione non è possibile, in quanto non è di 2° grado, però possiamo scomporla, tenendo conto del fatto che questa equazione ha già la soluzione nota [math]x=x\left(P\right)=1[/math].[br]Dividendo tale equazione per [math]\left(x-1\right)[/math] otteniamo la scomposizione [math]\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+4x+4\right]=0[/math], e applichiamo la condizione di tangenza alla parte di 2° grado. Utilizzando un Delta ridotto in quanto il coefficiente del termine lineare dell'equazione è pari, la condizione di tangenza è [math]\frac{\Delta}{4}=4-4\left(m-1\right)=0[/math] la cui soluzione è [math]m=2[/math].[br][br]Quindi il fascio è tangente alla funzione per [math]m=-7[/math] e [math]m=1[/math].[br][br]Tracciamo in un grafico le rette notevoli del fascio (tangenti, retta infinita, retta parallela all'asintoto), ed etichettiamo ciascuna retta con il corrispondente valore di [math]m[/math]. [br][br]Al variare di [math]m[/math] otteniamo le seguenti intersezioni:[br][math]m\in\left(2,+\infty\right)[/math] 1 intersezione (il punto [math]P[/math])[br][math]m=2[/math] 3 intersezioni (di cui 2 coincidenti in [math]T=\left(-2,-1\right)[/math] e una in [math]P[/math][br][math]m\in\left(1,2\right)[/math] 3 intersezioni distinte[br][math]m=1[/math] 2 intersezioni distinte [br][math]m\in\left(-\infty,1\right)[/math] 3 intersezioni distinte (2 coincidenti + 1 distinta se [math]m=-7[/math] )[br] [br]

[i]Nell'app di seguito, utilizza lo slider per esplorare le intersezioni al variare del parametro [math]m[/math] .[br]Per un controllo più fine dei valori di [math]m[/math], seleziona lo slider e utilizza i tasti freccia del tuo dispositivo. [/i]

Sia [math]S\left(k\right)[/math], con [math]k>\frac{3}{2}[/math], l'area della regione finita di piano compresa tra la curva [math]\gamma[/math], il suo asintoto obliquo, la retta [math]t[/math] e la retta di equazione [math]x=k[/math]. Calcolare il [math]\lim_{k \to +\infty} S(k)[/math], fornendo un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.

Muovi il punto che definisce la posizione della retta [math]x=k[/math] nell'app di seguito per visualizzare le due aree di cui è composta l'area [math]S\left(k\right)[/math] richiesta.[br][br]Tale area è composta da una parte fissa [math]S_1[/math], delimitata da [math]\gamma[/math] e dalla tangente [math]t[/math] per i valori delle [math]x[/math] comprese tra [math]x\left(P\right)=1[/math] e [math]x=\frac{3}{2}[/math], che è l'ascissa del punto di intersezione tra [math]t[/math] e l'asintoto obliquo, e da una parte variabile [math]S_2\left(k\right)[/math], dipendente da [math]k[/math].[br][br]Quindi [math]S\left(k\right)=S_1+S_2\left(k\right)=\int_{1}^{3/2}\left( \frac{x^3+4}{x^2}+7x-12 \right)dx+\int_{3/2}^{k}\left( \frac{x^3+4}{x^2}-x \right)dx=-\frac{4}{k}+3[/math] e [math]\lim_{k \to +\infty} S(k)=3[/math], che geometricamente rappresenta l'area della regione piana limitata dalla funzione, dalla tangente e dall'asintoto obliquo alla destra di [math]x=1[/math].[br][br]In particolare, tenendo conto che l'area della regione [math]S_1[/math] è fissa e vale [math]\frac{1}{3}[/math] indipendentemente dal valore di [math]k[/math], il limite indica che l'area della regione [math]S_2\left(k\right)[/math] (che è illimitata!) tende al valore finito [math]\frac{8}{3}[/math] al crescere del valore di [math]k[/math].