[size=100]Revello je obec (vesnička) v provincii Cuneo v italském regionu Piemont, který se nachází asi 50 kilometrů (31 mil) jihozápadně od Turína a asi 30 kilometrů (19 mil) severozápadně od Cuneo.[/size]
Výuka geometrie v kontextu „malé“ revize RVP ZV
Výuka geometrie
Table of Contents
- Rovinné útvary
- Zahrádka
- Pražský orloj
- Hledání pokladu
- Dvakrát měř, jednou řeš
- Tečna kružnice
- Délka kružnice a obvod kruhu
- Sluneční soustava
- Prostorové útvary - válec
- Válec a jeho síť
- Objem válce
- Architektův rébus
- Konstrukční úlohy
- Dvě rovnoběžky
- Kružnice a kruh
- Osa úsečky, osa pásu
- Osa úhlu, mezikruží
- Souměrnosti kružnice a kruhu
- Thaletova věta
- Metrické vlastnosti v rovině
- Konstrukce trojúhelníků
- Konstrukce trojúhelníku 2
- Souhrnná cvičení 2
- Kružnice a přímka
- Souhrná cvičení
- Souhrnná cvičení 1
- Řešení konstrukcí souhrnná cvičení 1
- Souhrnná cvičení 2
Zahrádka
[b]Úvodní text 1 k appletu 2:[br][/b]V malé okouzlující vesničce Revello žije Francesca se svou rodinou. Vesnička je ve výšce 350 m.n.m. a je typická půvabem její krajiny. Mnoho evropských umělců sem přijíždí hledat inspiraci. I Francesca se rozhodla zvelebit svou zahrádku a zasázet zde několik rostlin dle plánku, který si vytvořila níže (applet 2).[br]
Obrázek 1 k úvodnímu textu 1
Otázka 1 k obrázku 1
Pokud je 50 km přibližně 31 mil a 30 km přibližně 19 mil, kolik je 1 míle kilometrů? Do odpovědi uveďte postup a počet kilometrů zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
[b]Úvodní text 1 k appletu 1:[br][/b]Protože budeme Francesce se sázením zahrádky pomáhat, je třeba zopakovat pojmy obvod a obsah geometrických objektů. V dalších cvičeních se ti tyto znalosti budou hodit. [br]
Applet 1
[b]Otázka 1 k appletu 1:[br][/b]Jaký je obsah červeného obdélníku?
[b]Otázka 2 k appletu 1:[/b][br]Jaký je obsah zeleného geometrického objektu? Ke zjištění použijte modré čtverečky s číslem 1 uprostřed. Tahem myši je můžete libovolně přesouvat.
[b]Otázka 3 k appletu 1:[/b][br]Jaký je obvod zeleného geometrického objektu? Ke zjištění použijte provaz.
[b]Otázka 4 k appletu 1:[/b][br]Jaký je obvod červeného obdélníku? Do odpovědi uveďte postup.
[b]Otázka 5 k appletu 1:[/b][br]Je možné, aby měly dva geometrické objekty stejný obsah a přitom jiný obvod?
[b]Úkol 1 k appletu 2:[br][/b]Vaším úkolem je pokračovat v sázení trávy (tzn. zelených čtverečků). Cílem je kompletně pokrýt celou plochu ohraničenou černou uzavřenou křivkou a to po jejím obvodu. Do zbylých míst uprostřed plochy zasadíte růže (tzn. růžové čtverečky). [br][br]Pozor! Všechny čtverečky na sebe musí navazovat (roh na roh, strana na stranu). Dodržujte řádky a sloupce stejně jako Francesca, když sázela první část trávníku kolem domu.
Applet 2
[b]Otázka 1 k appletu 2:[br][/b]A máme zasázeno! [br]Kolik m[sup]2[/sup] trávníku jste na překrytí černé křivky potřebovali?
[b]Otázka 2 k appletu 2:[/b][br]Kolik m[sup]2[/sup] růží bylo třeba zasázet k vyplnění zbylého prostoru uvnitř černě ohraničeného objektu uprostřed?
[b]Otázka 3 k appletu 2:[/b][br]Jaký je celkový obsah nově zasázené plochy (zasázené růže a trávník dohromady)?[br][br]Do odpovědi uveďte také postup řešení.
[b]Otázka 4 k appletu 2:[/b][br]Jaký je přesný obsah plochy ohraničené černou křivkou, bohužel nejsme schopni zjistit. Můžeme se ale určit přibližnou hodnotu obsahu pomocí obsahů ploch, které již z předchozích otázek známe. [br]Vyberte z nabídky správná tvrzení.
Válec a jeho síť
Válcovité stavby
[i]„Románská rotunda sv. Jiří a sv. Vojtěcha na hoře Říp pochází z roku 1126. Tato románská rotunda má tři části - hlavní loď, apsidu a věž. Hlavní loď má kruhový půdorys s průměrem 6,20 m. Průměr apsidy je 3, 40 m. Věž má tvar válce s průměrem 2,62 m a výškou 15 m. (Matematika pro SŠ - 6. díl, Didaktis, 2014, str. 71).“[/i]
[i]„Napadají vás objekty z vašeho okolí, které mají přibližný tvar válce, třeba i „dutého“ (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 38, cv. 2)“ [/i]Napište alespoň 3.
Představy
[i][b]A)[/b] „Karel:„Já si představuji, že válec vznikne zvedáním horní podstavy. Čím výš ji zvednu, tím větší výšku má válec.“[br][/i][b][i]B)[/i][/b][i] Karla:„ Můj válec vzniká otáčením obdélníku. Při rychlém otáčení je ten válec přímo vidět, “ ukazuje Karla (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 38, cv. 2)“.[/i]
[b][color=#0000ff]Úvodní text k appletu 1:[br][/color][/b]V appletu 1 pohybujte tahem[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] [b][i][color=#b6d7a8]bodem B[/color][/i][/b], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon][color=#d5a6bd][i][b]posuvníkem Výška[/b][/i] [/color]a [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon][b]posuvníkem Rozebrat válec!,[/b] pozorujte, co se děje a odpovězte na otázky níže.
Applet 1
[b][color=#0000ff]Úvodní text k appletu 2:[br][/color][/b]V appletu 1 pohybujte tahem[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] [i][b][color=#ffd966]body A,B[/color][/b] [/i]a[icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon][i][b][color=#ffd966]posuvníkem OTÁČEK KOLEM OSY Y[/color][color=#d5a6bd], [/color][/b][/i] pozorujte, co se děje a odpovězte na otázky níže.
Applet 2
Otázka 1 k appletům 1 a 2
Karlova představa A) vznikla pozorováním appletu:
Otázka 2 k appletům 1 a 2
Karly představa B) vznikla pozorováním appletu:
Otázka 3 k appletům 1 a 2
Karlova představa A) začíná podstavou. Jaký tvar má podstava válce? Jaký tvar má plášť válce?
Otázka 4 k appletům 1 a 2
Pokud bude Karla otáčet čtvercem kolem[i] osy y[/i], v jakém vztahu bude průměr (d) podstavy a výška válce (v)?
Otázka 5 k appletu 2
[i]„Obdélník má rozměry 5 cm a 2 cm. Určete průměr d a výšku v válce, který vznikne otáčením tohoto obdélníku (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 38, cv. 5).“[br][/i][br][b]Nápověda:[/b] v appletu 2 pohybujte [color=#ffd966][b][i]body A[/i][/b][/color] a[color=#ffd966] [b][i]B[/i][/b][/color] a svůj výsledek si ověřte pomocí appletu.
Otázka 1 k appletu 3
[i]„Na Posuvnících [/i][color=#ff0000][b]a[sub]2[/sub], r[/b][/color][i] a [/i][b][color=#ff0000]b1[/color][/b][i] nastavte rozměry pláště a podstavy zobrazovaného válce na obrázku (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 40, cv. 7).“ [/i]Do odpovědi zapište, jaké rozměry jste zvolili.
Applet 3
Otázka 2 k appletu 3
Délka strany [b][i][color=#ff0000]a[/color][/i][/b] obdélníku, který tvoří plášť je rovna.....
Otázka 3 k appletu 3
Délka strany [color=#ff0000][b][i]b[/i][/b][/color] obdélníku, který tvoří plášť je rovna.....
Otázka 4 k appletu 3
Délka[b][i][color=#ff0000] r [/color][/i][/b] je rovna.....
Otázka 5 k appletu 3
Obvod kruhu, který tvoří podstavu válce, vypočítáme jako
Otázka 1 k appletu 4
[i]„Jízda smrti [br][br]Na pouti jezdí motocyklista - kaskadér po vnitřní straně „pláště“ velikého svislého válce. Po rozjetí krouží ve vodorovné rovině. Vnitřní průměr válce (průměr černé kružnice) je 8 m. Urči kolik metrů ujede, když objede válec dvacetkrát. Výsledek uveď v metrech a zaokrouhli na jednotky (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 41, kap. 2.1, cv. 13).“[/i]
Applet 4
Otázka 1 k appletu 5
[i]„Nátěr sudů [br]Učeň Karel natírá 10 uzavřených sudů. Každý sud má průměr 30 cm a výšku 45 cm. Karel koupil dvě plechovky barvy, každá plechovka stačí na 2 m [sup]2 [/sup]nátěru. Bude mít dost barvy na jeden nátěr všech 10 sudů, pokud dno nenatírá? (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 41, kap. 2.2, cv. A)“ [/i]Do odpovědi uveďte postup řešení a v appletu nastavte správné rozměry sudu a[i] Posuvnících[/i] dle zadání.
Applet 5
Otázka 2 k appletu 5
Povrch válce vypočítáme jako
Dvě rovnoběžky
[b][color=#ff0000]Úkol 1 k appletu 1:[br][/color][/b]V této aktivitě se budeme věnovat množině bodů, která má od přímky konstantní vzdálenost. Abychom mohli vzdálenost bodu od přímky zkoumat, budeme potřebovat hned několik GeoGebra nástrojů. [br]1) Vyber nástroj [i]Úhel[/i][icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon], klikni po řadě na body D, E, A. Zobrazí se úhel konkrétní velikosti. Takto zopakuj pro všechny zbývající body (CDA, BCA, ABC).
Otázka 1 k appletu 1
Abychom mohli změřit vzdálenost bodu od přímky, musíme sestrojit .......... procházející bodem, jehož vzdálenost od přímky chceme změřit.
Applet 1
Otázka 2 k appletu 1
[i]„Rozhoduj a měř![br] Vyber správnou odpověď: Vzdálenost [/i]bodu A [i]od[color=#ff7700][b] přímky p [/b][/color]je: (Odvárko, Kadleček, str. 54, cv. A).“[/i]
Applet 2
[b][color=#ff0000]Úkol 1 k appletu 2:[br][/color][/b]1) Vyber nástroj [i]Bod[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/i] a sestroj tři body tak, aby jejich vzdálenost od[color=#ff0000] [i]přímky p[/i] [/color]byla větší než[b] 2 cm[/b].[br]2) Sestroj tři body tak, aby jejich vzdálenost od [color=#ff0000][i]přímky p[/i] [/color]byla menší než[b] 2 cm[/b].[br]3)Sestroj tři body tak, aby jejich vzdálenost od [color=#ff0000][i]přímky p [/i][/color]byla právě[b] 2 cm[/b].
Otázka 1 k appletu 2
Vypiš body (jejich název), které mají od [i][color=#ff0000]přímky p[/color][/i] vzdálenost větší než [b]2 cm[/b]. (Název bodu zobrazíš pravým kliknutím na bod a výběrem[i] Zobrazit popis [/i]z vyskakovací nabídky).
Otázka 2 k appletu 2
Vypiš body (jejich název), které mají od [i][color=#ff0000]přímky p[/color][/i] vzdálenost menší než [b]2 cm[/b]. (Název bodu zobrazíš pravým kliknutím na bod a výběrem[i] Zobrazit popis [/i]z vyskakovací nabídky).
Otázka 3 k appletu 2
Vypiš body (jejich název), které mají od [i][color=#ff0000]přímky p[/color][/i] vzdálenost právě [b]2 cm[/b]. (Název bodu zobrazíš pravým kliknutím na bod a výběrem[i] Zobrazit popis [/i]z vyskakovací nabídky).
Otázka 4 k appletu 2
Množina všech bodů mající vzdálenost od přímky menší nebo rovnou 2 cm jsou......
Otázka 5 k appletu 2
Všechny body mající vzdálenost od přímky větší než 2 cm jsou......
Otázka 4 k appletu 2
Množina všech bodů mající vzdálenost od přímky právě 2 cm jsou......
Konstrukce trojúhelníků
Otázka 1 k appletu 1
[i][b][color=#93c47d]Trojúhelník ze tří stran[br][/color][/b][/i]„Chceme sestrojit trojúhelník ABC, který má délky stran [i]a = 5 cm, b = 4 cm[/i] a c[i] = 6 cm. [/i]Nejprve v appletu 1 ověř, zda trojúhelník s danými délkami stran existuje (využij trojúhelníkovou nerovnost) a body [b][i][color=#ff0000]C [/color][/i][/b]a [b][i][color=#0000ff]D[/color][/i][/b] tahem umísti tak, aby vznikl zadaný trojúhelník. Do odpovědi zapiš ověření existence trojúhelníku výpočtem (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 58, cv. A).“
Applet 1
Otázka 1 k appletu 2
V appletu 2 klikni na ikonu spustit v levém dolním rohu a pozoruj postup konstrukce. Je náš postup správný?
Otázka 2 k appletu 2
Kolik řešení má úloha z otázky 1 k appletu 2?
Applet 2
Úkol 1 k appletu 3
Podle postupu konstrukce sestroj trojúhelník KLM. [br][br][b][i]1. KL; /KL/ = 7 cm [br]2. k; k(K, 5 cm)[br]3. l; l(L, 6 cm)[br]4. M; M [/i][/b][math]\in[/math][b][i] k [/i][/b][math]\cap[/math][b][i] l (čteme bod M je prvkem průniku kružnic k a l)[br]5. [/i][/b][math]\triangle[/math][i] KLM[br][/i][i][br][/i]Ke konstrukci použij nástroje z nabídky [i]Panelu nástrojů [/i]v horní liště appletu 3. K dispozici jsou [i]Úsečka s pevnou délkou[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segmentfixed.png[/icon], [i]Kružnice daná středem a poloměrem[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlepointradius.png[/icon] , [i]Průsečík[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] a [i]Mnohoúhelník[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon].
Applet 3
[b][i][color=#93c47d]Trojúhelník z jedné strany a dvou úhlů k ní přilehlých[br][/color][/i][/b]Nejprve klikni v pravém dolním rohu appletu 4 na ikonu [i]Spustit [/i]a prohlédni si konstrukci trojúhelníku ABC, jehož strana[i] [b][color=#ff7700]c[/color][/b] [/i]měří [i]7 cm, úhel [math]\alpha[/math] = 45[math]^\circ[/math], [math]\beta[/math] = 65[math]^\circ[/math] [/i](Odvárko, Kadleček, 2013, str. 59, cv. B).[br][b][color=#ff0000]Úkol 1 k appletu 4[br][/color][/b]Pomocí nástrojů [i]Úhel dané velikosti [icon]/images/ggb/toolbar/mode_anglefixed.png[/icon], Přímka [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon][/i] a[i] Průsečík [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] [/i]sestroj trojúhelník DEF, jehož strana[b][color=#ff00ff]f = 5 cm[/color][/b],úhel(při vrcholu[b][color=#ff00ff]D[/color][/b])[i] [math]\delta[/math] = 60[math]^\circ[/math] a úhel [math]\gamma[/math] = 70[math]^\circ[/math][/i](při vrcholu[b][color=#ff00ff]E[/color][/b]). [br][br]Nápověda: Při konstrukci úhlu [math]\alpha[/math] nejprve klikneme po řadě na body B, A, následně do vyskakovací tabulky vepíšeme velikost úhlu tzn. 45[math]^\circ[/math] a z nabídky vybereme [i]Proti směru hodin[/i].
Applet 4
Otázka 1 k appletu 4
Zapiš postup konstrukce [math]\bigtriangleup[/math] [b][i][color=#ff00ff]DEF[/color].[/i][/b]
Souhrnná cvičení 1
[b][color=#ff0000]Úkol 1a)[br][/color][/b]„Rozdělte úsečku [i]AB[/i] bez měření na čtyři stejné části. Napovíme: K dispozici máte nástroj [i]Kružnice daná středem a bodem[/i].“ (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 73, cv. 1)
Applet a)
Otázka 1a)
Do odpovědi zapište postup konstrukce úkolu 1a).
[b][color=#ff0000]Úkol 1b)[br][/color][/b]„Konstruujte úhel [math]\alpha[/math] = 60[math]\circ[/math] a kružnici [i]k[/i], která se dotýká obou jeho ramen a má poloměr 2 cm.“ (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 73, cv. 2)
Applet b)
Otázka 1b)
Do odpovědi zapište postup konstrukce úkolu 1b).
[b][color=#ff0000]Úkol 1c)[/color][/b][br]„Anička nakreslila kružnici [i]c[/i], ale zapomněla vyznačit její střed. A teď by ho potřebovala.“ (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 73, cv. 3) Konstruujte střed kružnice [i]c [/i]pomocí GeoGebra nástrojů z nabídky.[br]Napovíme: Vzpomeňte si na tětivy.
Applet c)
Otázka 1c)
Do odpovědi zapište postup konstrukce úkolu 1c).
[b][color=#ff0000]Úkol 1d)[br][/color][/b]„Tečny kružnice [i][color=#ff7700]n [/color][/i]([i][color=#ff7700]S[/color][/i], 28mm), které procházejí bodem[i] M[/i], se dotýkají kružnice [i][color=#ff7700]n[/color][/i] v bodech [i]T[/i] a [i]R[/i]. Vzdálenost bodů [i]M[/i] a[i] S[/i] je 52 mm. Konstruujte bod [i]M[/i] a obě tečny z bodu [i]M[/i] k dané kružnici [i][color=#ff7700]n[/color][/i].“ (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 73, cv. 4)
Applet d)
Otázka 1d)
Do odpovědi zapište postup konstrukce úkolu 1d).
[b][color=#ff0000]Úkol 1e)[br][/color][/b]„Uprostřed obdélníkové zahrady o rozměrech 12 m a 16 m je kruhový bazén s poloměrem 2 m. Konstruujte plánek zahrady s bazénem v měřítku 1:100 a doplňte do plánku přímé cesty široké 0,5m, které procházejí napříč zahradou, dotýkají se kraje bazénu a jsou rovnoběžné s úhlopříčkou [i]BD[/i].“ (Odvárko, Kadleček, 2013, str. 73, cv. 5)
Applet e)
[b][color=#ff0000]Úkol 1f)[br][/color][/b]Konstruujte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které mají vnější dotyk s kružnicí [i]h[/i] i s kružnicí[i] d[/i]. Přitom velikost úsečky [i]KH[/i] je 6 cm. Kružnice [i][color=#93c47d][b]h[/b][/color][/i] má poloměr 2 cm a kružnice [b][i][color=#9900ff]d[/color][/i][/b] má poloměr 3 cm. [br][math]||[/math]
Applet f)
Otázka 1f)
Kolik takových kružnic jste našli?