Vegyük fel az [i]A[/i][i][sub]1[/sub]B[/i][i][sub]1[/sub]C[/i][i][sub]1[/sub]∆[/i] valamint az [i]A[/i][i][sub]2[/sub]B[/i][i][sub]2[/sub]C[/i][i][sub]2[/sub]∆[/i] háromszöget úgy, hogy az egymásnak megfelelő pontokat összekötő (A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]), (B[sub]1[/sub]B[sub]2[/sub]) és (C[sub]1[/sub]C[sub]2[/sub])  egyenesek egy O pontra illeszkedjenek. (Az ilyen háromszögeket [i]centrálisan perspektív [/i]háromszögeknek [i]O[/i]-t a [i]perspektivitás centrumának[/i] nevezzük.) [br]Milyen kapcsolat fedezhető fel az egymásnak megfelelő egyenesek [i], A[sub]t[/sub]=(B[/i][i][sub]1[/sub]C[/i][i][sub]1[/sub])∩[/i][i](B[/i][i][sub]2[/sub]C[/i][i][sub]2[/sub])[/i],  [i]B[sub]t[/sub]=(A[/i][i][sub]1[/sub]C[/i][i][sub]1[/sub])∩[/i][i](A[/i][i][sub]2[/sub]C[/i][i][sub]2[/sub])[/i],[i] és C[sub]t[/sub]=(A[/i][i][sub]1[/sub]B[/i][i][sub]1[/sub])[/i][i]∩(A[/i][i][sub]2[/sub]B[/i][i][sub]2[/sub]) [/i]metszéspontjai között? [br][br]Az önálló felfedezés örömétől nem szeretnénk megfosztani olvasóinkat azzal, hogy elébük tárjuk e feladat lényegében igen egyszerű megoldását. Előbb végezzék el a szerkesztést önállóan, és csak ezt követően tekintsék meg az alábbi appletet. [br][br]A szerkesztés során - egyelőre - az [i]A[sub]1[/sub] ,B[sub]1[/sub][/i] és[i] C[sub]1[/sub][/i] valamint az O pont legyen szabad, tetszőlegesen mozgatható. Az [i]A[sub]2[/sub] , B[sub]2[/sub][/i] és [i]C[sub]2[/sub][/i] félig kötött pontként illeszkedjen rendre az [i](OA[sub]1[/sub])[/i], [i](OB[sub]1[/sub])[/i], ill. [i](OC[sub]1[/sub])[/i],egyenesre.[br][br]Bizonyára eljutottak olvasóink addig az [u]erős sejtésig,[/u] hogy a feladatban szereplő A[sub]t,[/sub] , B[sub]t[/sub] és C[sub]t[/sub] pontok egy egyenesre illeszkednek, (azaz kollineárisak). [br][br][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9rard_Desargues]Gérard Desargues[/url] 1591-1662 (ejtsd: Dézárg) 1648-ban publikálta azt a nevéhez fűződő tételt, amelyet most a GeoGebra eszköztárával mutatunk be több szempontból -pl. térgeometriai szempontból is -megvilágítva. [br][br][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Desargues-t%C3%A9tel]Itt olvashatunk[/url] két rövid definíciót, amelyekkel ugyancsak röviden megfogalmazható maga A Desarques -tétel is. [i]Ha két háromszög centrálisan perspektív, akkor és csak akkor tengelyesen (axiálisan) is perspektív.[/i][br][br]Az alábbi appletben a fenti javaslattól eltérő módon az [i]A[/i][sub]1[/sub][i] , B[/i][sub][i]1[/i][/sub][i], [/i][i]C[/i][sub][i]1[/i] [/sub][i], A[/i][sub]2[/sub][i] , B[sub]2 [/sub][/i]pontok szabadok, [i]O[/i] szerkesztett, csak a c=[i](OC[sub]1[/sub])[/i] egyenesre illeszkedő [i]C[sub]2[/sub][/i] a félig kötött pont. (A legtöbb szerkesztésben két félig kötött pont "kiváltható" egy szabad ponttal.) [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/snsdmvmz]Itt - az anyag végén[/url] - láttuk, hogy két egyenes metszéspontjára és egy további pontra illeszkedő egyenest akkor is megadja a GeoGebra, ha a metszéspont végtelen távoli. Ez lehetőséget arra, hogy a két háromszög közötti perspektív kapcsolat speciális eseteként egyéb - többé-kevésbé ismert - összefüggésekre derülhet fény. Nevezetesen:[br][br][list][*]Az általános eset: a perspektivitás [i]O[/i] centruma és [i]t[/i] tengelye az euklideszi sík pontja ill. egyenese, melyek nem illeszkednek egymásra;[/*][*]ennek speciális esete az un. kis-Desarques alakzat, amelyben [i]O[/i] illeszkedik [i]t[/i]-re;[/*][*][i]centrális nyújtás[/i]: ha [i]t [/i]végtelen távoli egyenes;[/*][*]ennek speciális esete a [i]centrális tükrözés,[/i] ha [i]O [/i]felezi az egymásnak megfelelő pontokat összekötő szakaszok bármelyikét, (ekkor a többit is felezi);[/*][*]az un. tengelyes affinitás, ha [i]O[/i] végtelen távoli pont, [i]t[/i] véges;[/*][*]ennek speciális esete a tengelyes[i] tükrözés,[/i] ha [i]O [/i]felezi az egymásnak megfelelő pontokat összekötő szakaszok bármelyikét, (ekkor a többinek is szakaszfelező merőlegese);[/*][*]eltolás, ha [i]O[/i] és [i]t [/i]egyaránt végtelen távoli. (Ekkor is mondhatjuk, hogy [i]O[/i] illeszkedik [i]t[/i]-re.)[/*][/list]Ha az alábbi appletben megmozdítjuk valamelyik bázispontot, akkor ezzel természetesen "elrontjuk " a beállított speciális esetet.

Ha úgy rajzoljuk meg a Desarques alakzatot, hogy csak a fenti (részben szabad, részben szerkesztett) tíz pontól és a hozzájuk tartozó tíz egyenesből álló alakzatot alakzatot, hogy nem tüntetjük fel a két centrálisan - így tengelyesen is - perspektív alakzatot, akkor utólag nem mondható meg, hogy melyek voltak a háromszögek, melyik pont a perspektivitás centruma és melyik egyenes a tengelye. [br][br]Ez azt jelenti, hogy az így kapott tíz pontból és tíz egyenesből álló geometriai alakzatot, ahol minden pontra három egyenes és minden egyenesre három pont illeszkedik a matematika a[b] (10[sub]3 [/sub],10[sub]3[/sub])[/b] jelölést használja.[br][br]Bármelyik pontot kijelöljük a perspektivitás centrumaként (a mozgatható pontot rendre a kiszemelt pontra húzva), akkor ezzel egyértelműen meghatároztuk a tengelyt és a két perspektív háromszöget is.[br][br]Így meggyőződhetünk arról, hogy az alakzatnak valóban minden pontja és egyenese "egyenrangú", egynek sincs kitüntetett szerepe.[br]Természetesen az alakzat megszerkesztéséhez itt is megkülönböztethetők a szabad, félig kötött és szerkesztett pontok.

Joggal kérdezhetik olvasóink, hogy miért a térgeometriai témák között szerepel ez a problémakör?[br]A kitűzött feladatban nem szerepelt az a feltétel, hogy a két háromszögnek egy síkban kell lennie.[br][br]Így most vegyünk fel két, centrálisan perspektív háromszöget, amelyek síkja nem esik egybe.

Épp úgy, mint az előző appletben, most is négy szabad és három félig kötött ponttal állítottuk elő a Desarques alakzat térbeli megfelelőjét. Azonnal látszik, hogy lényegében egy háromélű gúlafelület (triéder) két síkmetszetét adtuk meg. A gúla oldallapjainak valamit a két háromszög síkjának egy-egy közös pontja lesz az a [i]t[/i] egyenes, ahol a két háromszög oldalegyenesei metszik egymást. így hát azt mondhatjuk, hogy a térbeli Desarques tétel igazolása azon alapszik, hogy [i]három különböző síknak legfeljebb egy közös pontja lehet, és ez a három sík páronként vett metszésvonalainak a közös pontja. [br][br][/i]Ezzel lényegében a síkbeli Desarques tételt is igazoltuk, hiszen elegendő a síkbeli alakzat O centrumát kimozdítani a síkból, és máris a térbeli alakzathoz jutunk, ez a mozgás viszont mindkét irányban illeszkedéstartó.[br][br]Itt most azzal a nem mindennapi esettel találkoztunk, amikor egy síkgeometria tétel igazolását térgeometria összefüggések felhasználásával oldottuk meg. Ráadásul igen egyszerűen.

A Desarques tétel kapcsán már eddig is találkoztunk néhány új megvilágításba került összefüggéssel. [br]A továbbgondolás ,alkalmazás lehetőségei közül most egyet emelünk ki.[br][br]Bár a Desarques tétel háromszögek kapcsolatáról szól, a háromszögek helyett bármilyen sokszögre is érvényes, hogy ha centrálisan perspektívek, akkor tengelyesen is petrspektívek.[br][br]Például ha egy négyszög alapú gúla vagy hasáb minden alkotóját metszi egy sík, a keletkező metszéspontok egy az alaplappal centrálisan perspektív négyszöget határoznak meg. Így centrálisan perspektív egy csonka gúla, vagy csonkolt gúla vagy hasáb alap- és fedőlapja. ([i]Csonka gúla[/i]: az alap és fedőlap síkja párhuzamos; [i]csonkolt gúla[/i]: az alap- és fedőlap síkja metsző.) Hasáb esetén a centrum végtelen távoli pont.[br][br]Azt is mondhatjuk , hogy minden paralelepipedon (azaz paralelogramma alapú ferde hasáb), speciálisan: téglatest vagy kocka, valamint csonkagúla két-két szemközti lapja centrálisan perspektív. Csak ezek közül két, vagy három centrum végtelen távoli.[br]Vajon van-e olyan ugyancsak hat négyszögből álló (kocka szerkezetű) poliéder, amelynek a szemközti lapjai centrálisan perspektívek úgy, hogy mindhárom irányban véges a centrum.[br][br]Ugyanez így is fogalmazható, hogy van-e olyan hat négyszögből álló poliéder, amely három különböző módon is kiegészíthető gúlává?[br][br]Megmutatjuk, hogy [u]van.[/u] Nevezzük ezt [i]projektív kocká[/i]nak. Az alábbi appletet úgy készítettük el, hogy a kockából kiindulva a dinamikus geometria eszköztárával -vagyis a csúcsok mozgatásával - rendre érjük el az imént említett általános és speciális eseteket.[br][br]Olvasóinkra bízzuk annak a kérdésnek az elemzését, hogy melyek a jól ismert - euklídeszi értelemben vett -kockának azok a tulajdonságai, amelyek a projektív kockára is érvényesek.[br][br]Ezek közül kiemelünk néhányat:[br][list][*]Testátlói egy pontra illeszkednek.Nevezzük ezt a pontot a [i]projektív kocka középpontjá[/i]nak![br][br][/*][*]Nevezzük egy-egy lap középpontjának a lapok átlóinak a metszéspontjait! A szemközti lapok középpontjait összekötő egyenesek is illeszkednek a projektív kocka középpontjára.[br][br][/*][*]Nevezzük a projektív kocka [i]iránypontjainak[/i] az élek egyenesinek a metszéspontjait. Egy projektív kockának három iránypontja van, mindegyikre négy-négy él-egyenes illeszkedik. [br][/*][/list][br]Megjegyezzük még, hogy a kockaélek és testátlók egyenesei (az appletben vetítősugarak), valamint a kocka nyolc csúcsa, három iránypontja és a középpontja egy olyan térbeli pont-egyenes konfigurációt alkot, ahol minden pontra pontosan négy egyenes, és minden egyenesre pontosan három pont illeszkedik. Ezt a Desarques alakzatnál már látott jelöléssel így jellemezhetjük röviden: ez a [b] (12[sub]4[/sub],16[sub]3[/sub]) pont-egyenes konfiguráció. [/b][br]