Kongruente Dreiecke

susch, Nov 4, 2019

Kongruenzsätze

Table of Contents

  1. Einführung: kongruente Dreiecke
    1. Das Kunstprojekt
  2. SSS-Satz
    1. SSS-Satz
  3. SWS-Satz
    1. SWS-Satz
  4. Seite/Seite/Winkel
    1. Seite/Seite/Winkel
    2. SsW-Satz
    3. Dreiecksungleichung
  5. Winkel/Winkel/Seite
    1. Winkel/Winkel/Seite
  6. Winkel/Winkel/Winkel
    1. Winkel/Winkel/Winkel
  7. Übung
    1. Buch S.181/1c (SSS)
    2. Buch S.181/1b (SWS)
    3. Buch S.181/1e (SsW)
    4. Buch S.181/1a (WSW)
    5. Buch S.181/1d (SWW)

1.

Einführung: kongruente Dreiecke

  • 1. Das Kunstprojekt

1.1.

Das Kunstprojekt

Für ein Kunstprojekt sollen alle Schüler der 7. Klasse eine "gleiches" Dreieck aus Pappe ausschneiden. [br]Da Ina krank war, erkundigt sie sich telefonisch bei Ela nach den Maßen des Dreiecks. Ela nennt ihr die Längen der beiden kürzeren Seiten.
Als Ina das Dreieck auf Pappe vorzeichnen will, zögert sie und ruft erneut Ela an.[br]Überlege dir, welches Problem Ina hat und wie die beiden sichergehen können, dass sie das gleiche Dreieck ausschneiden.[br][size=85](Tipp: Du kannst das gezeichnete Dreick am blauen Punkt verändern. Dabei bleiben die Längen der beiden kürzeren Seiten gleich. Wenn du auf die Pfeile rechts im oberen Eck klickst, verschwinden deine Änderungen wieder.)[/size][br]
[size=150][size=200][size=100]Schreibe deine Überlegungen in das Textfeld.[/size][/size][/size]
– susch

2.

SSS-Satz

  • 1. SSS-Satz

2.1.

SSS-Satz

Lässt sich ein Dreieck[b] eindeutig[/b] aus den angegebenen Bestimmungsgrößen konstruieren, so folgt aus der Übereinstimmung dieser Größen die [b]Kongruenz[/b] zweier Dreiecke.
___ ___ ___[br]Konstruiere ein Dreieck mit c = AB = 6cm, b = AC =5cm und a = BC = 3cm.[br]Dazu kannst Du folgendermaßen vorgehen:[br] __[br]1. Man zeichnet die Strecke c = AB = 6cm.[br][br][br][br][math][/math]
2. Man zeichnet den Kreis um k(A; b = 5cm).[br]3. Man zeichnet den Kreis k(B; a = 3cm).
4. C ist der Schnittpunkt der beiden Kreise.
[b]Beachte:[/b][br]Es gibt zwei Schnittpunkte C[sub]1[/sub] und C[sub]2[/sub]. Die beiden Dreiecke ABC[sub]1[/sub] und ABC[sub]2[/sub] sind jedoch kongruent.[br][br]Verbinde die Punkte C[sub]1[/sub] und C[sub]2[/sub] mit den Punkte A und B zu zwei deckungsgleichen Dreiecken.
Die Konstruktion ergibt also nur ein Dreieck, d.h. die Konstruktion eines Dreiecks aus drei gegebenen Seiten (SSS) ist eindeutig.[br][br]Daher gilt folgender Satz:[br][br][size=200][size=150][color=#ff0000][b]SSS-Satz:[/b][/color][br]Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen.[/size][/size][br][br][br]Nimm nun die Arbeitsblätter zur Hand und suche den Punkt [b]"Der SSS-Satz[/b]". Konstruiere hier mit Zirkel und Lineal das gesuchte Dreieck, so wie oben beschrieben. Beachte beim Zeichnen der Kreise, dasss du nicht jeweils die gesamte Kreislinie zeichnen musst, sondern dass kleine Kreisbögen an den vermutlichen Stellen der Schnittpunkte ausreichen. Ergänze die beschriebenen Konstruktionsschritte im Konstruktionsplan und vervollständige den SSS-Satz. [br][br][br]Wenn du dies geschafft hast, gehe zum Kapitel [b]SWS-Satz[/b], [b]Seite/Seite/Winkel [/b]oder [b]Winkel/Winkel/Seite[/b][br]hier im Programm. Falls du alle Kapitel schon bearbeitest hast, kannst du das Kapital [b]Übung[/b] bearbeiten.[br][br]Notiere dir vorher noch die Hausaufgabe zum SSS-Satz: Buch S.181/1c
– susch

3.

SWS-Satz

  • 1. SWS-Satz

3.1.

SWS-Satz

Lässt sich ein Dreieck[b] eindeutig[/b] aus den angegebenen Bestimmungsgrößen konstruieren, so folgt aus der Übereinstimmung dieser Größen die [b]Kongruenz[/b] zweier Dreiecke.
___ ___[br]Konstruiere ein Dreieck mit b = AC = 5cm, a = AC =3cm und [math]\gamma[/math]=93°.[br]Dazu kannst Du folgendermaßen vorgehen:[br] __[br]1. Man zeichnet die Strecke b = AC = 5cm.
2. Man trägt den Winkel[size=100] [size=200][size=150][math]\gamma[/math][/size][/size][/size]= 93° in C an b an.
3. Man zeichnet den Kreis k(C; a = 3cm).[br]4. B ist der Schnittpunkt von Kreis und freiem Schenkel.
Verbinde die Punkte A, B und C zu einem Dreieck.
Die Konstruktion ergibt nur ein Dreieck, d.h. die Konstruktion eines Dreiecks aus zwei gegebenen Seiten und dem Zwischenwinkel dieser Seiten (SWS) ist also eindeutig.[br][br]Daher gilt folgender Satz:[br][br][size=200][size=150][color=#ff0000][b]SWS-Satz:[/b][/color][br]Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und deren Zwischenwinkel übereinstimmen.[/size][/size][br][br][br]Nimm nun die Arbeitsblätter zur Hand und suche den Punkt [b]"Der SWS-Satz[/b]".[br]Konstruiere hier mit Zirkel und Lineal das gesuchte Dreieck, so wie oben beschrieben. Beachte beim Zeichnen des Kreises, dasss du nicht die gesamte Kreislinie zeichnen musst, sondern dass ein kleiner Kreisbogen an der vermutlichen Stellen des Schnittpunktes ausreicht. [br]Ergänze die beschriebenen Konstruktionsschritte im Konstruktionsplan und vervollständige den SWS-Satz. [br][br][br]Wenn du dies geschafft hast, gehe zum Kapitel [b]SSS-Satz[/b], [b]Seite/Seite/Winkel [/b]oder [b]Winkel/Winkel/Seite[/b] hier im Programm. Falls du alle Kapitel schon bearbeitest hast, kannst du mit dem Kapital [b]Übung[/b] weiter machen.[br][br]Notiere dir vorher noch die Hausaufgabe zum SWS-Satz: Buch S.181/1b
– susch

4.

Seite/Seite/Winkel

  • 1. Seite/Seite/Winkel
  • 2. SsW-Satz
  • 3. Dreiecksungleichung

4.1.

Seite/Seite/Winkel

Lässt sich ein Dreieck[b] eindeutig[/b] aus den angegebenen Bestimmungsgrößen konstruieren, so folgt aus der Übereinstimmung dieser Größen die [b]Kongruenz[/b] zweier Dreiecke.
___ ___ [br]Konstruiere ein Dreieck mit a = BC = 3cm, b = AC =5cm und [math]\alpha[/math] = 30°.[br]Dazu kannst Du folgendermaßen vorgehen:[br] __[br]1. Man zeichnet die Strecke b = AC = 5cm.
2. Man trägt den Winkel [math]\alpha[/math] = 30° in A an b an.
3. Man zeichnet den Kreis k(B; a = 3cm).[br]4. C ist der freien Schnittpunkt von Kreis und freiem Schenkel
Der Kreis um C schneidet den freien Schenkel des Winkels [math]\alpha[/math] zweimal. Damit ergibt die Konstruktion aus den vorgegebenen Bestimmungsgrößen die zwei Dreiecke AB[sub]1[/sub]C und AB[sub]2[/sub]C, die nicht deckungsgleich sind.
Die Konstruktion ist also [color=#ff0000][b]nicht[/b][/color] eindeutig.[br]Die Angabe von zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt, ist anscheinend doch nicht dazu geeignet, zu entscheiden, ob zwei Dreiecke kongruent sind.[br][color=#ff0000][b][br]Folgerung:[/b][/color][br]Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und einem Winkel, der nicht der Zwischenwinkel der gegebenen Seiten ist, übereinstimmen, müssen die Dreiecke [color=#ff0000][b]nicht[/b][/color] kongruent sein.
Verschiebe in der folgenden Abbildung den Punkt R. Dadurch veränderst du die Radiuslänge r des Kreises um C. Dieser entspricht der Dreiecksseite a. [br]Finde heraus, für welche Radiuslängen r es nur einen Schnittpunkt mit dem freiem Schenkel des Winkels [math]\alpha[/math] gibt. Vergleiche das Ergebnis mit der Seitenlänge b.[br][size=85]Hinweis: Durch das Anklicken auf das Pfeilsymbol[img]data:image/png;base64,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[/img] rechts oben im Eck der Abbildung, wird die Abbildung wieder in ihren ursprünglichen Zustand zurückgesetzt.[/size]
Schreibe deine Feststellung hier auf.
Nimm nun die Arbeitsblätter zur Hand und suche den Punkt [b]"Seite/Seite/Winkel[/b]".[br]Konstruiere hier mit Zirkel und Lineal das erste gesuchte Dreieck, so wie oben beschrieben. [br]Ergänze die beschriebenen Konstruktionsschritte im Konstruktionsplan und vervollständige die beiden folgenden Lücken. [br][br][br]Wenn du dies geschafft hast, bearbeite die Aktivität "[b]SsW-Satz[/b]" in diesem Kapitel.
– susch

4.2.

–

4.3.

–

5.

Winkel/Winkel/Seite

  • 1. Winkel/Winkel/Seite

5.1.

Winkel/Winkel/Seite

Es gibt noch weitere Möglichkeiten zum Überprüfen, ob zwei Dreiecke kongruent sind:[br]Man betrachtet zwei Winkel und eine Seite.[br][br]1. Fall: WSW
___[br]Konstruiere ein Dreieck mit c = AB = 6cm, [math]\alpha[/math] = 30° und [math]\beta[/math] = 57°.[br]Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:[br] __[br]1. Man zeichnet die Strecke c = AB = 6cm.
2. Man trägt den Winkel [math]\alpha[/math] = 30° in A an c an.
3. Man trägt den Winkel [math]\beta[/math] = 57° in B an c an.[br]4. C ist der Schnittpunkt der beiden freien Schenkel.
Die Konstruktion ergibt nur ein Dreieck, d.h. die Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Winkeln und der dazwischen liegenden Seite (WSW) ist eindeutig.
2. Fall: SWW
___[br]Konstruiere ein Dreieck mit c = AB = 6cm, [math]\alpha[/math] = 30° und [math]\gamma[/math] = 93°.[br]Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:[br] __[br]1. Man zeichnet die Strecke c = AB = 6cm.[br]2. Man berechnet [math]\beta[/math] = 180° - ( [math]\alpha[/math] + [math]\gamma[/math] ) = 57°.[br][br]Nun kannst Du genauso verfahren wie im Fall WSW.
Die Konstruktion ergibt also in beiden Fällen nur ein Dreieck, d.h. die Konstruktion eines Dreiecks aus zwei gebenen Winkeln und einer Seiten ist eindeutig.[br][br]Daher gilt folgender Satz:[br][br][size=200][size=150][color=#ff0000][b]WSW-/SWW-Satz:[/b][/color][br]Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen.[/size][/size][br][br]Nimm nun die Arbeitsblätter zur Hand und suche den Punkt [b]"Winkel/Winkel/Seite".[/b][br]Konstruiere hier mit Zirkel und Lineal das gesuchte Dreieck, so wie oben beschrieben. [br]Ergänze die beschriebenen Konstruktionsschritte im Konstruktionsplan und vervollständige den WSW-/SWW-Satz.[br][br]Wenn du dies geschafft hast, gehe zum Kapitel [b]SSW-Satz, SWS-Satz[/b] oder [b]Seite/Seite/Winkel[/b][br]hier im Programm. Falls du alle Kapitel schon bearbeitest hast, kannst du das Kapital [b]Übung[/b] bearbeiten.[br][br]Notiere dir vorher noch die Hausaufgabe zum WSW-/SWW-Satz: Buch S.181/1a,d
– susch

6.

Winkel/Winkel/Winkel

  • 1. Winkel/Winkel/Winkel

6.1.

Winkel/Winkel/Winkel

Untersuche, ob man bei der Übereinstimmung von allen drei Winkeln sicher auf die Kongruenz von zwei Dreiecken schließen kann[br] Bewege dazu die Punkte A und B beim Dreieck und beobachte dabei die Winkel des Dreiecks
Halte hier dein Ergebnis fest.
– susch

7.

Übung

  • 1. Buch S.181/1c (SSS)
  • 2. Buch S.181/1b (SWS)
  • 3. Buch S.181/1e (SsW)
  • 4. Buch S.181/1a (WSW)
  • 5. Buch S.181/1d (SWW)

7.1.

Buch S.181/1c (SSS)

Löse die folgende Aufgabe mit Geogebra. Hier kannst du das Arbeiten mit Zirkel und Lineal simulieren.[br][br]Hinweis: [br]Wenn du im GeoGebra-Fenster mit dem Zeiger auf eines der Symbole (sogenannte Werkzeuge) gehst ohne es anzuklicken, dann erscheint eine kurze Beschreibung. Wenn du auf ein Werkzeug klickst, öffnet sich unten mittig im Bild ein kurze Beschreibung des Werkzeugs.[br]Mit Hilfe des Werkzeugs [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] kannst du "freie" Punkte verschieben. [br]Wenn du einen Schnittpunkt erzeugen willst, benutze das Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] und klicke anschließend die beiden Linien an, von denen der Schnittpunkt erzeugt werden soll.
Buch S.181/1[br]Konstruiere ein Dreieck ABC aus den angebenen Seiten und Winkel. [br]c) a = 6,6cm, b = 4,9cm, c = 10,7cm
Willst du deine Lösung überpüfen?
– susch

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

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