Trigonometrie
Trigonometrie
Table of Contents
- Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
- Dreiecke bezeichnen
- Rechtwinklieges Dreieck
- Trigonometrie am Einheitskreis
- Bogenmass
- Sinus, Kosinus und Tangens für grössere Winkel
- Sinus- und Kosinussatz
- Herleitung des Sinussatzes
- Herleitung des Kosinussatzes
- Trigonometrische Funktionen
- Sinusfunktion am Einheitskreis
- Kosinusfunktion am Einheitskreis
- Tangensfunktion und Einheitskreis
- Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus
- Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion
- Sinus in x-Richtung strecken
- Sinus in y-Richtung strecken
- Sinusfunktion bestimmen durch Parameter
- Sinusfunktion bestimmen
- Trigonometrische Funktion zeichnen
- Anwendungen
- Anwendung Sonnenzyklus
Dreiecke bezeichnen
Aufgabe 1
Wählen sie für alle Seiten die korrekten Bezeichnungen in Bezug zu den angeschriebenen Winkeln. Lösen Sie mindestens drei aufeinander folgende Aufgaben korrekt.
Bogenmass
Das Bogenmass ist ein Winkelmass, das sich in der Mathematik international durchgesetzt hat.[br]Die Kreisbogenlänge b im Einheitskreis ist definiert als Bogenmass. [br]Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1.
Aufgabe 1
Überzeugen Sie sich, dass zu jedem Winkel genau eine Bogenlänge b gehört. Welchen Einfluss hat der Kreisradius auf die Länge des Bogens b?
Aufgabe 2
Berechnen Sie den Umfang des Einheitskreises.
Aufgabe 3
Schreiben Sie sich folgende Tabelle ab und vervollständigen Sie diese möglichst ohne die Hilfe des Applets. [br][center][br][math][br]\begin{tabular}{|l|*{10}{c|}}[br]\hline[br]\text{Winkel in Grad:} & $0^{\circ}$ & $90^{\circ}$ & $180^{\circ}$ & $270^{\circ}$ & $360^{\circ}$ & $1^{\circ}$ & $30^{\circ}$ & $45^{\circ}$ & $60^{\circ}$ & \\[br]\hline[br]\text{Winkel im Bogenmass:}&&&&&&&&&& 1 \\[br]\hline[br]\text{Bogenmass als vielfache von $\pi$:}&&&&&&&&&&\\[br]\hline[br]\end{tabular}[br][/math][br][/center]
Bemerkungen
[br][list][*]Mit dem Taschenrechner lässt sich auch im Bogenmass rechnen. Stelle dazu unter MODE den Wert RADIAN anstelle von DEGREE ein.[/*][*]Winkel im Bogenmass besitzen die Einheit Rad (Radian). Sie werden jedoch meist ohne Einheit angegeben.[/*][*]Oft werden Winkel im Bogenmass als vielfache von π angegeben.[/*][/list]
Herleitung des Sinussatzes
Sinus, Kosinus und Tangens wurden als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert. Viele Dreiecke sind jedoch nicht rechtwinklig und so können uns diese Verhältnisse nicht weiterhelfen. [br]In folgendem Arbeitsblatt untersuchen wir ein nicht rechtwinkliges Dreieck ABC, und versuchen mit Hilfe der Winkel und den trigonometrischen Verhältnissen Gesetzmässigkeiten in diesem Dreieck zu finden.
Aufgabe 1
Um was für ein Dreieck handelt es sich? Geben Sie eine möglichst exakte Bezeichnung an.
Aufgabe 2
Verschieben Sie den Schieberegler Höhe und beobachten Sie das Dreieck. Was wird mit dem Schieberegler eingezeichnet und was bedeuten die verschiedenen Positionen (0 bis 3)?
Aufgabe 3
Stellen Sie die Höhe auf den Wert 1 und geben Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe [math]h_a[/math] im grünen Teildreieck (Schieberegler Dreieck 1) an. Benutzen Sie dazu die gegebenen Seiten und Winkel des ursprünglichen Dreiecks ABC.[br]Geben Sie dann analog auch eine Formel für die Höhe [math]h_a[/math] im zweiten Teildreieck (Schieberegler Dreieck 2) an.
Aufgabe 4
Setzen Sie die beiden gefundenen Gleichungen gleich und formen Sie die Formel so um, dass Seite und gegenüberliegender Winkel auf der gleichen Seite auftauchen.
Aufgabe 5
Stellen Sie nun die Höhe auf den Wert 2 und wiederholen die Aufgaben 3 und 4 für die Höhe [math]h_b[/math] und die neu entstehenden Teildreiecke (dabei liegt ein Teildreieck ausserhalb des ursprünglichen Dreieck ABC).[br]Schreiben Sie die Formel am Ende so einfach wie möglich.
Aufgabe 6
Stellen Sie nun die Höhe auf den Wert 3 und wiederholen die Aufgaben 3 und 4 für die Höhe [math]h_c[/math] und die neu entstehenden Teildreiecke (dabei liegt ein Teildreieck ausserhalb des ursprünglichen Dreieck ABC).[br]Schreiben Sie die Formel am Ende so einfach wie möglich.
Aufgabe 7
Betrachten Sie nun die Formeln, die Sie in den Aufgaben 4, 5 und 6 am Ende notiert haben. Finden Sie eine Formel in der sie alle drei Formeln kombinieren.
Aufgabe 8
Die in Aufgabe 7 gefundene Formel ist der Sinussatz. Er gilt für alle Dreiecke ABC. Formulieren Sie den Sinussatz in einem deutschen Satz.
Sinusfunktion am Einheitskreis
Aufgabe 1
In folgender Geogebra-Anwendung ist ein Einheitskreis gezeichnet. Auf dem Kreis ist ein roter Punkt markiert und von diesem Punkt aus ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet. Zu diesem Dreieck gehört auch der Winkel [math]\alpha[/math] beziehungsweise b. An diesem Dreieck ist eine Seite a blau herausgehoben.[br]Wie lange ist diese Seite a? Geben Sie die Lösung in Abhängigkeit vom Winkel [math]\alpha[/math] an.
Aufgabe 2
Rechts neben dem Einheitskreis ist ein Koordinatensystem gezeichnet. Beachten Sie die Koordinatenachsen. Was wird auf ihnen abgetragen?
Aufgabe 3
Schalten Sie die Checkbox ein ("a über b abtragen") und beobachten Sie was passiert wenn Sie den roten Punkt verschieben.[br]Erklären Sie, wie der Graph entsteht.
Aufgabe 4
Für welche(n) Winkel ist [math]\sin\left(b\right)=\sin\left(\alpha\right)=1?[/math]
Aufgabe 5
Für welche(n) Winkel ist [math]\sin\left(b\right)=\sin\left(\alpha\right)=0?[/math]
Aufgabe 6
Für welche(n) Winkel ist [math]\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(b\right)=-1[/math]?
Aufgabe 7
Welche(r) ungefähre(n) Winkel hat/haben den gleichen Sinuswert wie der Winkel [math]\alpha=80^{\circ}[/math]?
Aufgabe 8
Für welche(n) Winkel gilt [math]\sin\left(\alpha\right)=0.5[/math]?
Aufgabe 9
Zeichnen Sie komplett ohne die Hilfe dieses Applets den Graph der Sinusfunktion [math]f\left(x\right)=\sin\left(x\right)[/math].[br]x-Achse: 2cm entspricht einem Winkel von [math]\frac{\pi}{2}[/math][br]y-Achse: 2cm entspricht einem Wert von 1
Aufgabe 10
Was bedeuten die Ausdrücke [math]\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)[/math] oder [math]\sin\left(-40^{\circ}\right)[/math]?
Aufgabe 11
Wie müsste man den Funktionsgraphen erweitern damit man den Sinus von beliebigen Winkeln ([math]b\in\mathrm{R}[/math]) ablesen kann?
Anwendung Sonnenzyklus
Die Länge eines Tages ändert sich im Verlauf eines Jahres. Wir wollen ein mathematisches Modell finden, das uns die Berechnung der Tageslänge zu jedem Datum erlaubt.
Aufgabe 1
Welches ist der längste und welches ist der kürzeste Tag im Jahr? [br]An welchen Tagen sind Tag und Nacht gleich lang (Tag- und Nachtgleiche)?
Aufgabe 2
Der längste Tag dauert bei uns ca. 16 Stunden, der kürzeste ca. 8 Stunden. Wie lang ist ein Tag bei Tag- und Nachtgleiche?
Aufgabe 3
Zeichnen Sie das oben gezeichnete Koordinatensystem ab.[br]Markieren Sie darin Punkte für den längsten Tag, den kürzesten Tag sowie die Tag- und Nachtgleichen.[br]Verbinden Sie dann die Punkte Sinusförmig. [br]Hinweis: Auf der x−Achse ist bei der Null (x=0) Silvester, bei der 1 ist der Januar vorbei, also haben wir da den 31.1. Der 21. Juni wäre also z. B. kurz vor der Zahl 6.
Aufgabe 4
Erstellen Sie eine Liste folgender Merkmale und lesen Sie diese an Ihrer Funktionsskizze ab.[br][list][*]Periode[/*][*]Mittellage (Wert, um den die Tageslänge Pendelt)[/*][*]Amplitude[/*][*]horizontale Verschiebung[/*][/list]
Aufgabe 5
Stellen Sie gemäss Ihren Erkenntnissen aus der letzten Aufgabe die Funktionsgleichung für die Tageszeit auf. [br]Schreiben Sie Ihre Funktion ins Eingabefeld und vergleichen Sie den Graph mit Ihrer Handzeichnung.
Aufgabe 6
Berechnen Sie dann mit der Funktionsgleichung die Tageslänge vom heutigen Tag und Überprüfen Sie diese mit den Werten von der Internetseite [url=http://www.sonnenaufgang-sonnenuntergang.de/]www.sonnenaufgang-sonnenuntergang.de[/url].
Aufgabe 7
Wie gut finden Sie das gefundene Modell zur Berechnung der Taglänge? Was könnte man daran verbessern?