[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br][/b][size=100]熱、気体、電気、磁気、いろんなものが[br]空中、空間にただよってます。[br][/size][size=100]これからスカラー場、ベクトル場の線、面、体についての積分について、[br]深めていこう。[br][/size][/size][b][size=150][br]＜スカラー場の線積分＞[/size][/b][br]パラメータｘについての関数ｆ（ｘ）の積分が∫ｆdxでした。[br]ｘ軸の区間をN等分して微小幅⊿ｘを考える。ｘごとに値は変化するが、[br]幅⊿ｘが微小なので値ｆ(x)が一定とみなし、[b]合計＝スカラー×スカラー＝ｆ⊿ｘ[/b]とする。[br]N個の面積の合計がΣｆ⊿ｘだった。[br]Nを∞にすると、⊿ｘがdxになり、面積は連続的に合計される。それが∫ｆdx。[br]これ自体、ｘ軸という線にそって値を対応させているから線積分ともいえる。[br][br]ふつうの線積分は次のように定める。[br][br]平面上の[b]スカラー値関数ｆ（ｘ、ｙ）とパラメータｔの曲線C：(x(t),y (t))[/b]があるとき、[br]Cのパラメータｔをa以上ｂ以下で動かすと、それに対応してｆも動く。[br]ｘを動かす代わりに、[b]パラメータｔを動かす[/b]。[br]そうすると、それに対応してｘ、ｙが動く。[br]そして、それに対応する値ｆが決まる。ｔをaからｂまで等分したスカラー、微小幅⊿ｔに[br]対応するスカラーｆが決まる。ふつうの積分と同様に、[b]合計＝スカラー×スカラー＝ｆ⊿ｔ[/b]を考える。[br]このΣの値が、ｔの等分を∞にして積分にすればいいね。[br]それが、∫ｆdtだ。曲線Cにそった積分とわかるように[br][b][color=#0000ff][size=150]∫[sub]C[/sub]f(x,y) dt[/size][/color][/b]とかく。[br]計算は[b][color=#0000ff]∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup]f(x(t),y(t)) dt[/color][/b]で実行できるね。[br][br]・また、弧長ｓをパラメータにするときは、[br][b][color=#0000ff][size=150]∫[sub]C[/sub]f(x,y) ds[br][/size][/color][/b]になるけれど、ｘ、ｙがｓとつながらない。[br]そこで、微小線分⊿ｓ＝sqrt(（⊿ｘ/⊿t)[sup]2[/sup]+（⊿y/⊿t)[sup]2[/sup]))⊿tとパラメータｔで表現できる。[br]⊿ｓの極限dsはCの接線になるので（接線）線積分がｔを仲介して[br][b][size=150][color=#0000ff]∫[sub]C[/sub]f(x,y)ds=∫[sub]a[/sub][sup]b　[/sup]f(x(t),y(t)) [/color][color=#38761d][u]sqrt(（x')[sup]2[/sup]+(y')[sup]2[/sup]) [/u][/color][color=#0000ff]dt[/color][/size][/b]で計算できるね。[br]合計＝スカラー（ｆ）×スカラー（接線の長さ）の総和を求めている。[br]曲線上の点で[b][color=#38761d][u]引いた接線の長さ[/u][/color][/b]をｆにかけるところが、接線線積分が線積分とちがうところだ。[br]次元が3次元でも同様にできるでしょう。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]曲線C=(t, t[sup]2[/sup]/2,t[sup]3[/sup]/6 )(０≦ｔ≦１) に対してスカラー値関数f(x,y,z)=x[sup]2[/sup]yzの線積分を求める。[br]∫[sub]C [/sub]f dt=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]x(t)[sup]2[/sup]y(t)z(t) dt=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]t[sup]7[/sup]/12 dt =1/12[t[sup]8[/sup]/8][sub]0[/sub][sup]1[/sup]= [math]\frac{1}{96}[/math]　[br]∫[sub]C [/sub]f ds=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]t[sup]7[/sup]/12 sqrt(1[sup]2[/sup]+(t)[sup]2[/sup]+(t[sup]2[/sup]/2)[sup]2[/sup]) dt[br] =1/12∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]t[sup]7[/sup] (2+t[sup]2[/sup])/2 dt =1/24∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup](2t[sup]7[/sup] +t[sup]9[/sup]) dt= 1/24[t[sup]8[/sup]/4+t[sup]10[/sup]/10][sub]0[/sub][sup]1[/sup]=1/24( 7/20)=[math]\frac{7}{480}[/math]

[b][size=150]＜ベクトル場の線積分＞[/size][/b][br]パラメータｔの曲線C=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) に対してベクトル場[b]ｆ[/b]（f,g,h）があるとき、[br]C上の位置ベクトル[b]s[/b]=(x,y,z)に対して、[b]接ベクトルが[/b]d[b]s[/b]=(dx, dy,dz)だから、[br]方向の成分ごとに対応ベクトル場の成分をかけた合計、つまり、[br][color=#0000ff]スカラー合計＝C上のベクトル[b]ｆ[/b]と接ベクトルd[b]s[/b]の内積[/color][br]この総和がベクトル場の線積分になるね。[br][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・d[b]s[/b]=∫[sub]C [/sub](f dx +g dy +h dz)[/color]　これがベクトル場の線積分だ。[br][br]・パラメータｔで計算すると、[br]∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・d[b]s[/b]＝∫[sub]C [/sub](f dx +g dy +h dz)=∫[sub]C [/sub]fdx+∫[sub]C [/sub]gdy+∫[sub]C [/sub]hdz=∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup]f x' dt+∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup]g y' dt+∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup]h z' dt[br]=∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup](f x' +[sup] [/sup]g y' dt+[sup] [/sup]h z' )dt[br]=∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup](f,g,h)・( x' ,y',z' )dt=∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup][b]f[/b]・(d[b]s[/b]/dt) dt[br][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・d[b]s[/b]=∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup][b]f[/b]・(d[b]s[/b]/dt) dt[br][/color][br]・曲線Cの単位接ベクトルを[b]ｔ[/b]は、微小線素ds=|d[b]s[/b]| を使えば[br][b]ｔ[/b]＝d[b]s[/b]/ds だから、d[b]s＝[/b][b]t [/b]ds[br][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・d[b]s[/b]=∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・[b]t [/b]ds[/color]　これがベクトル場の接線線積分だ。[br][br]・ スカラー値関数ｆ（P）＝f(x,y,z)の勾配ベクトル∇ｆの接線線積分は、[br]Cの始点Pから終点Qまで[br][color=#0000ff]∫[sub]C[/sub]∇f・d[b]s[/b]=∫[sub]C[/sub]（∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)・(dx, dy, dz) [br][/color] =∫[sub]C [/sub]df= [f ][sub]P[/sub][sup]Q[/sup]=F(Q) -F(P)[br]始点を終点が一致する閉曲線の場合は∫の中央に〇をつける。[br]∮[sub]C[/sub]∇f・d[b]s[/b]=０[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]曲線C=(x,y,z)=(acos θ, asinθ , bθ )(０≦θ≦π) に対してベクトル場[b]f[/b](f,g,h)=(y, -z,x) の線積分∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・d[b]s[/b][br]∫[sub]C [/sub]fdx =∫[sub]C [/sub]f dx/dθ dθ =∫[sub]C [/sub] y x' dθ=∫[sub]C [/sub] asinθ( acos θ)' dθ=-a[sup]2[/sup]∫[sub][sub]0[/sub][sup]π[/sup] [/sub] sin[sup]2[/sup]θ dθ [br] =-a[sup]2[/sup]∫[sub][sub]0[/sub][sup]π[/sup] [/sub] (1-cos2θ)/2 dθ=-a[sup]2[/sup] ([θ/2][sub]0[/sub][sup]π[/sup]-[1/4 sin2θ][sub]0[/sub][sup]π[/sup])=-a[sup]2[/sup] (π/2- (0-0))=-a[sup]2[/sup] π/2[br]∫[sub]C [/sub]gdy=∫[sub]C [/sub]g dy/dθ dθ=∫[sub]C [/sub] -z y' dθ=-∫[sub]C [/sub] bθ( asin θ)' dθ=-ab∫[sub]0[/sub][sup]π[/sup] θ cosθ dθ =-ab([θsinθ][sub]0[/sub][sup]π[/sup] +[cosθ][sub][sub]0[/sub][sup]π[/sup][/sub])[br] =-ab(0 - 0 -1-1)=2ab[br]∫[sub]C [/sub]hdz=∫[sub]C [/sub]h dz/dθ dθ=∫[sub]C [/sub] x z' dθ=∫[sub]C [/sub] acosθ( b θ)' dθ=-ab∫[sub][sub]0[/sub][sup]π[/sup] [/sub] cosθ dθ =-ab[sinθ][sub]0[/sub][sup]π[/sup] =0[br]∫[sub]C [/sub][b]f[/b]・d[b]s[/b]=∫[sub]C [/sub](fdx +gdy +hdz)=∫[sub]C [/sub]fdx +∫[sub]C[/sub]gdy +∫[sub]C[/sub]hdz=-a[sup]2[/sup] π/2+2ab[br][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]質量ｍの物体を高さｈまで持ち上げる仕事を求める。[br]持ち上げる経路の１つをCとする。経路の開始から終了までtの時間がかかったとしよう。[br]ベクトル場[b]F[/b](f,g,h)=(y, -z,x) の線積分E=∫[sub]C [/sub][b]F[/b]・d[b]s[/b]を求める。[br]力はｚ方向の重力だけだから、fx=fy=0, fz= mg により、[br]E=∫[sub]C [/sub][b]F[/b]・d[b]s[/b]=∫[sub]C [/sub][b]F[/b]・[b]v[/b]dt=d[b]s[/b]=∫[sub]C [/sub]( fx vx +fy vy +fz vz )dt =∫[sub][sub]0[/sub][sup]t[/sup] [/sub] mg v[sub]z[/sub] dt = mg ∫[sub][sub]0[/sub][sup]t[/sup] [/sub] v[sub]z[/sub] dt =mgh[br]位置エネルギーに一致するね。

[b][size=150]＜ヤコビアンは面積比を変換する＞[br][/size][/b]変数変換する前後のベクトルどうしの関係式[br]dx=∂x/∂u * du+ ∂x/∂v * dv[br]dy=∂y/∂u * du+ ∂y/∂v * dv[br]これを列ベクトルに行列をかけた変換X＝[b]J[/b]Uの形にしよう。[br][b]J[/b]=[math]\left(\begin{matrix}∂x/∂u,∂x/∂v\\∂y/∂u,∂y/∂v\end{matrix}\right)[/math][br]{{dx},{dy}}=[b]J[/b]{{du},{dv}}[br]となるね。[br]Xの基底が{e1=(1,0),e2=(0,1)}でJによる変換後のUの基底が{E1,E2}としよう。[br]Xの基底が張る面積は|e1×e2|=1、[br]Uの基底が張る面積は|E1×E2|のはずだ。[br][br]一方で、[br]KはJの主対角成分の入れ替えと副対角成分の符号反転により、[br]K＝[math]\left(\begin{matrix}∂y/∂v,-∂x/∂v\\-∂y/∂u,∂x/∂u\end{matrix}\right)[/math]とすると、Jの逆行列は1/|J| Kとかける[br][br]U＝J[sup]-1[/sup]X＝1/|J| K X　だから、基底も逆変換式でかけるでしょう。[br]E1=1/|J| K e1＝1/|A|{{∂y/∂v },{-∂y/∂u}}　1/|J|かけるKの1列目ベクトル[br]E2=1/|J| K e2＝1/|A|{{-∂x/∂v},{∂x/∂u}}　1/|J|かけるKの２列目ベクトル[br][br]いよいよ面積が出せそうだ。[br]|E1×E2|=1/|J| *1/|J| *|K|　 1/|J|かける1/|J|かけるKの行列式[br]=1/|J| * 1/|J| * |J| 　　　　　　　　|J|=|K|による[br]=1/|J|[br][br]|e1×e2|：|E1×E2|=1:1/|J|＝|J|：１=dxdy：dudv となるね。[br]これから、[b]dxdy=|J|dudv[br][/b]列ベクトルを[b]p[/b]=(x,y), ∂[b]p[/b]/∂u＝(∂x/∂u,∂y/∂u), ∂[b]p[/b]/∂v＝(∂x/∂v,∂y/∂v)とすると、[br]J= ∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v[br]とかけるね。[br]ベクトルｐが空間ベクトルになってもこの式は使えるでしょう。[br][br][b][size=150]＜スカラー場の面積分＞[br][/size][/b]2パラメータuvで決まる位置ベクトル[b]p[/b](x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))を動いて曲面Sができる。[br]曲面Sはスカラー場f（x、y、z）で曲面上の点ごとに値をもつ。[br]そこで、曲面Sを線分のように細分して、微小面⊿Sごとに平均してスカラー値ｆをもつとしたら、[br][b]合計＝スカラーｆ×スカラー（⊿Sの面積）の総和Σ[/b]によって、[br]曲面S全体についてのｆの合計が出せるね。[br]総和の極限Σｆ⊿S→[b][color=#0000ff]∫[/color][/b][b][color=#0000ff][sub]S[/sub] f dS[/color][/b]が面積分。[br][br]・パラメータu,vのそれぞれの微小変化による点の位置[b]p[/b]の変化の方向は別べつだ。[br]だから、[br]∂[b]p[/b]/∂u=(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)、∂[b]p[/b]/∂v=(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)は[br]曲面Sでの異なる２つの接ベクトルになる。[br][br]・この２つの接ベクトルが張る平面が接微小平面dSとなり、[br]その面積dS= |∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v| [br]外積の定義から、[b]n[/b]=∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂vはdSに垂直は法線ベクトルとなる。[br]単位法線ベクトルは[b]ｎ[/b]e = ∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v / |∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v|[br][br][b][color=#0000ff]∫[/color][/b][b][color=#0000ff][sub]S[/sub] f dS[/color][/b]=[b][color=#0000ff]∫[/color][/b][b][color=#0000ff][sub]S[/sub] f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v|[/color][/b][br]=∬[sub]D[/sub] f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v| du dv （ヤコビアン行列式で変数変換）[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]スカラー場f(x,y,z)=x+y+z のuv平面の領域Dに対する曲面S(x,y,z)=(a sin(u) cos(v), a sin(u) sin(v), a cos(u) )[br] （０≦u≦π/2, 0≦v≦2π)での面積分を求める。[br]x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=a[sup]2 [/sup]sin[sup]2[/sup](u), x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=a[sup]2 [/sup]からｘとｙで半径a sin(u)（0からa[sup]2[/sup])の円、ｚも入れると半球面になる。[br][br]S上の点[b]p[/b](x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))に対して[br]∂[b]p[/b]/∂u=(a cos(u)cos(v), a cos(u)sin(v), -asin(u))[br]∂[b]p[/b]/∂v=(-a sin(u)sin(v), a sin(u)cos(v), 0)[br]∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v=(0+a[sup]2[/sup]sin[sup]2[/sup](u)cos(v), a[sup]2[/sup]sin[sup]2[/sup](u)sin(v)-0, a[sup]2[/sup]sin(u)cos(u)cos[sup]2[/sup](v)+a[sup]2[/sup]sin(u)cos(u)sin[sup]2[/sup](v))[br] =a[sup]2[/sup]( sin[sup]2[/sup](u)cos(v), sin[sup]2[/sup](u)sin(v), sin(u)cos(u))[br]|∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v|＝a[sup]2[/sup] sqrt([sin[sup]2[/sup](u)cos(v)][sup]2[/sup]+ [sin[sup]2[/sup](u)sin(v)][sup]2[/sup]+[sin(u)cos(u)][sup]2[/sup])=a[sup]2[/sup] sin(u)[br]I=∫[sub]S[/sub] f dS=∬[sub]D[/sub] (x+y+z) a[sup]2[/sup] sin(u) dudv[br]=∬[sub]D[/sub] (a sin(u) cos(v)+ a sin(u) sin(v)+ a cos(u))* a[sup]2[/sup] sin(u) dudv[br]=a[sup]3[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] sin[sup]2[/sup] (u)du *∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] cos(v)dv +a[sup]3[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] sin[sup]2[/sup] (u)du *∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] sin(v)dv +a[sup]3[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] cos(u)sin(u) du*∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] 1dv[br][br]ここで、[br]∫[sub][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] [/sub] sin[sup]2[/sup]θ dθ =∫[sub][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] [/sub] (1-cos2θ)/2 dθ=[θ/2][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup]-[1/4 sin2θ][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup]= (π/4- (0-0))=π/4[br]∫[sub][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] [/sub] sinθcosθ dθ =1/2∫[sub][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] [/sub] sin2θ dθ =1/4[-cos2θ][sub][sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] [/sub] =1/4(1+1)=1/2[br]から、[br]I=a[sup]3[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] sin[sup]2[/sup] (u)du *∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] cos(v)dv +a[sup]3[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] sin[sup]2[/sup] (u)du *∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] sin(v)dv +a[sup]3[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]π/2[/sup] cos(u)sin(u) du*∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] 1dv[br]=a[sup]3[/sup](π/4[sinv][sup][sub]0[/sub][sup]2π[/sup] [/sup]-π/4[cosv][sup][sub]0[/sub][sup]2π[/sup] [/sup]+1/2[v][sub]0[/sub][sup]2π[/sup] )=a[sup]3[/sup](0 - 0[sup] [/sup]+1/2[v][sub]0[/sub][sup]2π[/sup] )=πa[sup]3　[br][/sup][color=#0000ff]（例）[/color][br]曲面Sを三角形ABC（平面x/a+y/b+z/c =1 の非負の点）[br]スカラー場ｆ(x,y,z)=xyzで点PをS上を動かす。[br]パラメータu,vのかわりに、パラメータをx,yとする。z=φ(x,y)=c(1-x/a-y/b)[br]三角形ABCの領域をD、そのｘｙ平面への正射影領域をEとする。[br][b]Eのｘは0以上a以下。yは0以上b(1-x/a)以下[/b][br][b]p[/b](x,y,z)=(x(x,y),y(x,y),z(x,y))=(x, y, φ)[br]∂[b]p[/b]/∂x=(1,0, -c/a) [br]∂[b]p[/b]/∂y=(0,1, -c/b)[br]d[b]S[/b]=∂[b]p[/b]/∂x ×∂[b]p[/b]/∂y=(c/a, c/b, 1) から、dS=sqrt((c/a)[sup]2[/sup]+(c/b)[sup]2[/sup]+1[sup]2[/sup])dxdy=[math]\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1}[/math]dxdy[br]単位法線ベクトルをn=1/|dS| (c/a, c/b, 1) とおける。[br]・∫[sub]S[/sub] [b]f [/b]dS= (∫[sub]S[/sub] f dS,∫[sub]S[/sub] g dS,∫[sub]S[/sub] h dS)=[b](1/2, 1/4, 0)[/b] [br] それぞれの計算は以下の通り。[br] ∫[sub]S[/sub] f dS=∫[sub]S[/sub] xyz [math]\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1}[/math]dxdy=∫[sub]S[/sub] xy c(1-x/a-y/b) [math]\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1}[/math]dxdy[br]=c [math]\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1}[/math] ∫[sub]0[/sub][sup]a[/sup]∫[sub]0[/sub][sup]b(1-x/a)[/sup] xy(1-x/a-y/b)dxdy[br]=c [math]\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1}[/math] ∫[sub]0[/sub][sup]a[/sup]x [∫[sub]0[/sub][sup]b(1-x/a)[/sup] (1-x/a)y-1/b y[sup]2[/sup])dy] dx＝c [math]\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1}[/math] a[sup]2[/sup]b[sup]2[/sup] /120[br]=[math]\frac{abc\sqrt{\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2}}{120}[/math] [br][br]積分計算は以下の通り。[br] [∫[sub]0[/sub][sup]b(1-x/a)[/sup] (1-x/a)y-1/b y[sup]2[/sup])dy] [br]= (1-x/a)1/2[y[sup]2[/sup]] [sub]0[/sub][sup]b(1-x/a)[/sup] -1/b 1/3[y[sup]3[/sup]][sub]0[/sub][sup]b(1-x/a)[/sup][br]= (1-x/a)1/2b[sup]2[/sup](1-x/a)[sup]2[/sup] -1/b 1/3b[sup]3[/sup](1-x/a)[sup]3[/sup]= 1/6b[sup]2[/sup](1-x/a)[sup]3[br][/sup]だから、 ∫[sub]0[/sub][sup]a[/sup]x [∫[sub]0[/sub][sup]b(1-x/a)[/sup] (1-x/a)y-1/b y[sup]2[/sup])dy] dx[br]=1/6b[sup]2[/sup]∫[sub]0[/sub][sup]a[/sup]x(1-x/a)[sup]3[/sup]dx[br]=1/6b[sup]2[/sup]∫[sub]0[/sub][sup]a[/sup]x(1-x/a)[sup]3[/sup]dx =1/6b[sup]2[/sup]∫[sub]0[/sub][sup]a [/sup]x-x[sup]2[/sup]/a+x[sup]3[/sup]/a[sup]2[/sup]-x[sup]4[/sup]/a[sup]3[/sup]dx =1/6b[sup]2[/sup](1/2a[sup]2[/sup]-3a[sup]3[/sup]/3a+3a[sup]4[/sup]/4a[sup]2[/sup]-a[sup]5[/sup]/5a[sup]3[/sup])[br]=a[sup]2[/sup]b[sup]2[/sup] 1/6 (1/2-1+3/4-1/5)=a[sup]2[/sup]b[sup]2[/sup] 1/6 (1/2-1/3+1/4-1/5)= a[sup]2[/sup]b[sup]2[/sup] /120

[b][size=150]＜ベクトル場の面積分＞[/size][/b][br][b]2つのパラメータuvの平面の領域D[/b]に対して、点Pが位置ベクトル[b]p[/b](x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))を動く。[br]ベクトル場[b]ｆ[/b]（P)＝（f、g、h）で点Pが動いて曲面Sになる。[br]微小曲面dSの点pでのu,vごとの接ベクトル∂[b]p[/b]/∂u と∂[b]p[/b]/∂vが作る外積[b]n[/b]=∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂vは[br]dSに垂直は法線ベクトルだったね。[br]単位法線ベクトルは[b]ne[/b] = [b]n[/b]/|[b]n[/b]|=∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v / |∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v|[br]∫[sub]S[/sub] [b]f [/b]dS=(∫∫[sub]S[/sub] f dS ,∫∫[sub]S [/sub]g dS ,∫∫[sub]S[/sub]h dS) [br][br]・面素dSに対してがベクトルd[b]S[/b]定義しよう。[br]d[b]S[/b]は面積のベクトルではなく、面素のベクトルだ。[br]面の特徴は大きさではなく、極限としては位置[b]p[/b]と面に対する法線[b]n[/b]だ。[br]面素ベクトルd[b]S[/b]は面Sの法線方向なので、法線単位ベクトル[b]ne[/b]に面素の大きさdSをかけたもの[br]d[b]S[/b]=[b]ne [/b]dSとしよう。[br][br]・スカラーの面積分では[color=#0000ff]∫[/color][sub]S[/sub] f dSでfもdSもスカラーで、[b]スカラー×スカラーの総和[/b]の極限だった。[br]　ベクトル場の面積分では、[b][color=#0000ff]∫[/color][/b][sub]S[/sub][b] [color=#0000ff]f ・dS[/color][/b]では[b]ｆ[/b]もd[b]S[/b]もベクトルで、[br]　ベクトル・ベクトル、つまりベクトルの内積の総和の極限になる。 [br] dSはパラメータ変換ができる。dS=|∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v|dudv[br]∫[sub]S[/sub] [b]f ・[/b]d[b]S[/b]=∫[sub]S[/sub] [b]f ・ne [/b]dS=∫∫[sub]D[/sub] (f dS +g dS + h dS) dudv[br]∫[sub]S[/sub] [b]f ・[/b]d[b]S[/b]=∫∫[sub]D[/sub] [b]f ・[/b](∂[b]p[/b]/∂u ×∂[b]p[/b]/∂v) dudv[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]曲面Sが川の断面、水の密度がρ。[br]川の流れる速度で断面と垂直な成分をv[sub]n[/sub]とすると水は時間tでv[sub]n[/sub]tだけ移動する。[br]時間tで断面Sを通過する水は底面積S、高さv[sub]n[/sub]tの柱体になるね。[br]だから、通過する水の質量はm=密度×体積＝ρv[sub]n[/sub]tS[br]単位時間ではM＝m/t= ρv[sub]n[/sub]S　[br]さらに、v[sub]n[/sub]はばらつきがあるのでSで積分すると正確になる。M=∫[sub]s[/sub]ρv[sub]n[/sub]dS=∫[sub]s[/sub]ρ[b]v[/b]d[b]S[/b][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]曲面Sを三角形ABC（平面2x+2y+z-2=0の非負の点）[br]ベクトル場[b]ｆ[/b]（P)＝（f、g、h）=(x, y[sup]2[/sup],0)で点PをS上を動かす。[br]パラメータu,vのかわりに、パラメータをx,yとする。z=φ(x,y)=2-2x-2y。[br]三角形ABCの領域をD、そのｘｙ平面への正射影領域をEとする。[br]Eのｘは0以上１以下。yは0以上1-x以下[br][b]p[/b](x,y,z)=(x(x,y),y(x,y),z(x,y))=(x, y, φ)[br]∂[b]p[/b]/∂x=(1,0, -2), [br]∂[b]p[/b]/∂y=(0,1,-2)[br]d[b]S[/b]=∂[b]p[/b]/∂x ×∂[b]p[/b]/∂y=(2, 2, 1) から、dS=sqrt(2[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup]+1[sup]2[/sup])dxdy=3dxdy[br]単位法線ベクトルをn=1/3(2,2,1)とおける。[br]・∫[sub]S[/sub] [b]f [/b]dS= (∫[sub]S[/sub] f dS,∫[sub]S[/sub] g dS,∫[sub]S[/sub] h dS)=[b](1/2, 1/4, 0)[/b] [br] それぞれの計算は以下の通り。[br] ∫[sub]S[/sub] f dS=∫[sub]S[/sub] x dS=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]x∫[sub]0[/sub][sup]1-x[/sup]3dxdy=3(∫[sub]0[/sub][sup]1 [/sup]x[y][sub]0[/sub][sup]1-x[/sup])dx=3∫[sub]0[/sub][sup]1 [/sup](x-x[sup]2[/sup])dx=3(1/2-1/3)=3*1/6=1/2[br] ∫[sub]S[/sub] g dS=∫[sub]S[/sub] y[sup]2[/sup] dS=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]1∫[sub]0[/sub][sup]1-x[/sup]y[sup]2[/sup]3dxdy=3∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup][sup][/sup][1/3y[sup]3[/sup]][sub]0[/sub][sup]1-x[/sup]) dx= ∫[sub]0[/sub][sup]1 [/sup](1-x)[sup]3[/sup]dx= (1-3/2+3/3-1/4)=1/4[br]・∫[sub]S[/sub] [b]f ・[/b]d[b]S[/b]= ∫∫E (f nx +g ny + h nz) dxdy=∫∫[sub]E[/sub](x*2+y[sup]2[/sup]*2+0*1) dxdy[br] =2∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]x(∫[sub]0[/sub][sup]1-x[/sup]dy)dx+2∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup](∫[sub]0[/sub][sup]1-x[/sup]y[sup]2[/sup]dy)dx=2∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup](x-x[sup]2[/sup])dx+2/3 ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup](1-x)[sup]3[/sup]dx= 2*1/6+2/3 *1/4= 1/3+1/6=[b]1/2[/b][br]・∫[sub]S[/sub] [b]f ×[/b]d[b]S[/b]= ∫[sub]S[/sub] (f,g,h)×d[b]S[br][/b] =∫[sub]S[/sub] (x, y[sup]2[/sup],0)× (2,2,1)= (∫∫[sub]E[/sub] y[sup]2[/sup]dxdy, ∫∫[sub]E[/sub] xdxdy, ∫∫[sub]E[/sub] (2x-2y[sup]2[/sup])dxdy)[br]= (∫∫[sub]E[/sub] y[sup]2[/sup]dxdy, -∫∫[sub]E[/sub] x dxdy, ∫∫[sub]E[/sub] (2x-2y[sup]2[/sup])dxdy)=([b]1/12, -1/6, 1/6[/b]) [br] それぞれの計算は以下の通り。[br] ∫∫[sub]E[/sub] y[sup]2[/sup]dxdy＝∫[sub]S[/sub] y[sup]2[/sup] dS/3=1/4÷3=1/12[br]∫∫[sub]E[/sub] x dxdy ＝∫[sub]S[/sub] x dS/3=1/2÷3=1/6[br]∫∫[sub]E[/sub] (2x-2y[sup]2[/sup])dxdy= 2*1/6- 2*1/12=1/3-1/6=1/6

[b][size=150]＜スカラー場の体積分＞[br][/size][/b]位置ベクトル[b]p[/b](x,y,z)を動いて立体Vができる。[br]立体Vはスカラー場f（x、y、z）で領域内の点ごとに値をもつ。[br]そこで、立体Sを線分のように細分して、微小体⊿Vごとに平均してスカラー値ｆをもつとしたら、[br][b]合計＝スカラーｆ×スカラー（⊿Vの体積）の総和Σ[/b]によって、[br]立体V全体についてのｆの合計が出せるね。[br]総和の極限Σｆ⊿V→[b][color=#0000ff]∫[/color][/b][b][color=#0000ff][sub]v[/sub] f dV[/color][/b]が体積分。[br][br]・スカラー関数f=X(x)Y(y)Z(z)と各変数の関数の積で表すことができるなら、[br][b][color=#0000ff]∫[/color][/b][sub]v[/sub]fdV[b]=[/b][color=#0000ff]∫[/color][color=#0000ff]∫[/color][color=#0000ff]∫f dxdydz[/color]=∫(∫(∫f dx)dy)dz=∫(∫(∫XYZdx)dy)dz[br]=∫Z(∫Y(∫Xdx)dy)dz[br][color=#0000ff]=∫Z(z)dz ∫Y(y)dy ∫X(x)dx[br][/color][br]・球体積分[br] 　パラメータとして、原点からの距離ｒ、ｚ軸からの角θ、ｘ軸からの角φとしよう。[br]原点からの微小増である厚さはdr,[br]ｚ軸からの半径rが微小角dθ動くと弧（たて）はrdθ, [br]ｚ軸からθにある半径rのｘｙ平面への射影がrsinθで、それが微小角dφ回転した弧（よこ）はrsinθdφ[br]だから、[br][color=#0000ff][b]dV=dr ×r dθ×r sinθdφ＝ r[/b][sup]2[/sup][b] sinθ dr [color=#0000ff]dθ [/color][color=#0000ff]dφ[/color][br][/b][/color]f=1とするなら、球の大きさ、球の体積がでるはずだ。[br]０≦φ≦2πで円周を作り、０≦θ≦πで円円周を北極から南極まで移動し、０≦r≦aで中をつめる。[br][b][color=#0000ff]∫[/color][/b][sub]v[/sub]fdV[b]=[/b][color=#0000ff]∫[/color][color=#0000ff]∫[/color][color=#0000ff]∫1 dr ×rdθ×rsinθdφ[/color]=∫(∫(∫ r[sup]2[/sup] sinθ dφ)dθ)dr　=∫(∫r[sup]2[/sup] 2πsinθ dθ)dr[br]=∫-r[sup]2[/sup] 2π[cosθ][sub]0[/sub][sup]π[/sup]dr=∫-r[sup]2[/sup] 2π(-2)dr=4π∫r[sup]2[/sup] dr=4/3π[r[sup]3[/sup]][sub]0[/sub][sup]a[/sup]=4/3πa[sup]3[br][/sup][br]・パラメータu,v,wでp(x,y,z)も場ｆも規定されるとき、[br]微小体dVの点pでのu,v,wごとの方向ベクトル∂[b]p[/b]/∂u ,∂[b]p[/b]/∂v,∂[b]p[/b]/∂wが作る[br]スカラー3重積（∂[b]p[/b]/∂u ,∂[b]p[/b]/∂v,∂[b]p[/b]/∂w）＝∂[b]p[/b]/∂u ・(∂[b]p[/b]/∂v ×∂[b]p[/b]/∂w)は３つの方向ベクトルが作る[br]平行６変形の体積を表すから、dVの大きさだ。[br][color=#0000ff][b]∫[/b][sub]v[/sub]fdV=[b]∫[/b][sub]v[/sub]f(x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w))∂p/∂u ・(∂p/∂v ×∂p/∂w) [br][/color][br]・スカラー3重積と球体積分[br]球体の位置ベクトルｐ=(x,y,z)をパラメータとして、原点からの距離ｒ、ｚ軸からの角θ、ｘ軸からの角φ[br]によって規定するとき、[br]x=r sinθ cos φ　、y= r sinθ sin φ、z＝r cos θとするとｐの位置ベクトルの成分になる。[br]スカラー3重積（∂[b]p[/b]/∂r ,　∂[b]p[/b]/∂θ,　∂[b]p[/b]/∂φ）[br]＝∂[b]p[/b]/∂r ・(∂[b]p[/b]/∂θ ×∂[b]p[/b]/∂φ)　[br]∂[b]p[/b]/∂r=( sinθcos φ, sinθsin φ, cos θ) dr[br]∂[b]p[/b]/∂θ=(r cosθcos φ, r cosθsin φ, -r sinθ) dθ[br]∂[b]p[/b]/∂φ=(-r sinθ sinφ, r sinθcosφ, 0) dφ[br][br]=( sinθcos φ, sinθsin φ, cos θ) ・[(r cosθcos φ, r cosθsin φ, -r sinθ)×(-r sinθ sinφ, r sinθcosφ, 0)] dr dθ dφ[br]=( sinθcos φ, sinθsin φ, cos θ) ・(r[sup]2[/sup] sin[sup]2[/sup]θcosφ , r[sup]2[/sup] sin[sup]2[/sup]θsinφ , r[sup]2[/sup] sinθcosθ )dr dθ dφ[br]=( r[sup]2[/sup] sin[sup]3[/sup]θcos[sup]2[/sup]φ ＋ r[sup]2[/sup] sin[sup]3[/sup]θsin[sup]2[/sup]φ ＋ r[sup]2[/sup] sinθcos[sup]2[/sup]θ )dr dθ dφ [br]=( r[sup]2[/sup] sin[sup]3[/sup]θ ＋ r[sup]2[/sup] sinθcos[sup]2[/sup]θ )dr dθ dφ [br][b][color=#0000ff]dV= r[sup]2[/sup] sinθ dr dθ dφ 　[/color][/b]スカラー3重積を使うことで、体積分を球体積分としての微小体積を数式で求めることができた。[br][br][b][size=150]＜ベクトル場の体積分＞[br][/size][/b]ベクトル場ｆでもスカラー場ｆと同様な式で体積分できる。[br][size=150][b]スカラー場[br][/b][color=#0000ff]∫[sub]v[/sub] f dV=∫[sub]v[/sub] f(x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) ∂[b]p[/b]/∂u ・(∂[b]p[/b]/∂v ×∂[b]p[/b]/∂w) [br][/color][b]ベクトル場[br][/b][/size]∫[sub]v[/sub] [b]ｆ[/b] d[b]V[/b]=∫[sub]v[/sub] [b]ｆ[/b] ∂[b]p[/b]/∂u ・(∂[b]p[/b]/∂v ×∂[b]p[/b]/∂w) [br]