[size=150][b]En esta sección estudiaremos algunos conceptos fundamentales de la geometría. Luego, estos conceptos fundamentales se usarán para el desarrollo de teoremas más avanzados. [br][br]Los "building blocks" de la geometría son: [br][br]1. Punto: [/b]El punto es el elemento mas simple de la geometría. [b][br][br]Ejemplo: [/b][/size][br]

[size=150][b]2. Segmento: [/b]Un segmento es la unión entre dos puntos. [br][br][b]Ejemplo: [/b][/size]

[size=150][b]3. Línea: [/b]Una línea es un conjunto infinito de puntos, donde los puntos continúan infinitamente en ambas direcciones. [br][b][br]Ejemplo: [/b][/size]

[size=150][b]4. Rayo: [/b]Un rayo es un conjunto infinito de puntos, donde los puntos continúan infinitamente en una sola dirección. [br][br][b]Ejemplo: [/b][/size]

[size=150][b]5. Ángulo: [/b] Un ángulo es[/size][size=150] la magnitud entre la intersección de dos rectas unidas por un vértice. [br][br][b]¿Cómo construimos un ángulo?[/b] Dibujamos dos rectas que se unen en un punto dado [llamado un vértice], entonces la magnitud entre las dos rectas es el ángulo. [br][br]Un ángulo se puede medir en [b]grados[/b] o en [b]radianes[/b]. [br][/size][br][b][size=150]Ejemplo: [br][/size][/b]

[size=150][b]Propiedades que envuelven líneas y puntos: [/b][br][br][b]1. Teorema:[/b] Sea L una recta, entonces la distancia más corta de P hasta L está dada por AP. [/size]

[size=150][b]Demostración:[/b] (Prueba por contradicción)[br][br]Supongamos A' es un punto más cerca a P. [br]Entonces, por el teorema de Pitágoras [br][br][math]\left(A'P\right)^2=\left(A'A\right)^2+\left(AP\right)^2\ge\left(AP\right)^2[/math][br][br]Lo cual contradice que A' sea el punto más cercano. [/size][br][br]                                              Q.E.D[br][br][br][size=150][b]2.[/b] La [u][b]distancia de un punto a una recta [/b][/u] está dada por la longitud del segmento que va desde el punto a la recta y que es perpendicular a la recta. [br][br][b]Figura: [/b][/size]

[size=150][b]3. Definición: [/b]La [b]mediatriz [/b]de un segmento AB es la recta que es perpendicular a AB y pasa por el punto medio de AB. [br][br][b]Figura: [/b][/size][br]

[size=150][b]4. Teorema: [/b]Cualquier punto sobre la mediatriz del segmento AB equidista de A y de B. [/size][br][br][br]

[size=150][b]Demostración:[/b] Sea D el punto medio del segmento AB y C un punto arbitrario en la mediatriz. Trazaremos dos auxiliares AC y BC para tener dos triángulos [math]\bigtriangleup ADC[/math] y [math]\bigtriangleup BDC[/math]. Notemos que [math]\bigtriangleup ADC[/math] y [math]\bigtriangleup BDC[/math] por LAL. Entonces, por partes correspondientes de triángulos congruentes tenemos que AC=BC.[br]Por lo tanto, cualquier punto en la mediatriz equidista de A y B. [br][/size][br]                                               Q.E.D[br][br][size=150][b]5. El recíproco del teorema anterior también es cierto. [br][/b][br][b]Recíproco del teorema:[/b] Si C equidista de A y B, entonces C está sobre la mediatriz del segmento AB. [br][br][b]Demostración: [br][/b][/size][br]

Comparando [math]\bigtriangleup ADC[/math] y [math]\bigtriangleup BDC[/math][br]Sabemos que ambos triángulos son congruentes por LAL. [br]Entonces, por partes correspondientes de triángulos congruentes AD=DB.[br]Por lo tanto, él recíproco del teorema es cierto. [br][br]                                                Q.E.D

[size=150][b]6. Todos los puntos que están en la bisectriz de un ángulo equidistan a cada lado del ángulo. [br][/b][br][b]Demostración: [br][/b][br]Consideremos la siguiente figura, [/size][br]

Trazando las alturas de BD hacia cada lado del ángulo, obtenemos la figura que se muestra. Ahora, compararemos triángulos ABD y CBD. Entonces, por AAL ambos triángulos son congruentes. Por partes correspondientes de triángulos congruentes, obtenemos que AD=CD.[br]Por lo tanto, la bisectriz equidista de los lados del ángulo. [br][br]                                              Q.E.D

[size=150][b]7. Teorema (de la bisectriz) La bisectriz interna AF del ángulo A del triángulo ABC divide al lado opuesto BC en razón [/b][math]\frac{AB}{AC}[/math][b]. Es decir, [/b][math]\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{FC}[/math][b]. [br][br]Demostración: [br][/b][/size]

Comparando triángulos [math]\bigtriangleup ACE[/math] y [math]\bigtriangleup ADB[/math]. Similarmente, comparando [math]\bigtriangleup BDF[/math] y [math]\bigtriangleup CEF[/math][br][br]Entonces, por AA, [math]\bigtriangleup ACE\sim\bigtriangleup ADB[/math] y [math]\bigtriangleup BDF\sim\bigtriangleup CEF[/math][br][br]Luego, por la semejanza de los triángulos [br][math]\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{EC}[/math] (i)[br][br]Similarmente, [math]\frac{BF}{BD}=\frac{FC}{EC}[/math] (ii)[br][br][br]De (i) [math]\Longrightarrow\left(\frac{EC}{BD}\right)=\frac{AC}{AB}[/math] y de (ii) [math]\frac{EC}{BD}=\frac{FC}{BF}[/math][br][br]Por lo tanto, [br][br][math]\frac{AC}{AB}=\frac{FC}{BF}[/math][br][br]                                              Q.E.D