Pochodna funkcji jednej zmiennej
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, Joanna Rzepecka Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Pochodna funkcji w punkcie
- Definicja pochodnej funkcji w punkcie
- Przykład 1.1
- Przykład 1.2
- Przykład 1.3
- Przykład 1.4 (z parametrem)
- Zadanie 1.1
- Zadanie 1.2
- 2. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
- Równanie stycznej, Przykład 2.1
- Przykład 2.2
- Przykład 2.3 (z parametrem)
- Styczne w optyce
- Styczna a własności funkcji
- Zadanie 2.1
- Zadanie 2.3
- 3. Twierdzenia Lagrange'a, Rolle'a, Taylora
- Przykład 3.1
- Twierdzenie Lagrange'a i Rolle'a - ilustracja graficzna
- Wielomian Taylora/Maclaurina
- Przykład 3.2
- Zadanie 3.1
- 4. Monotoniczność i ekstrema lokalne
- Monotoniczność, Przykład 4.1
- Ekstrema lokalne - wprowadzenie
- I warunek wystarczający, Przykład 4.2
- Przykład 4.3
- Przykład 4.4 (z parametrem)
- Przykład 4.5
- II warunek wystarczający, Przykład 4.6
- Zadanie 4.1
- Zadanie 4.2
- Zadanie 4.3 (z parametrem)
- 5. Ekstrema globalne
- Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych, Przykład 5.1
- Przykład 5.2
- Przykład 5.3
- Zadanie 5.1
- Zadanie 5.2
- Zadanie 5.3
- 6. Wypukłość i punkty przegięcia
- Definicja wypukłości - wprowadzenie
- Wypukłość (wklęsłość) na przedziale, Przykład 6.1
- Punkt przegięcia - wprowadzenie
- Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia, Przykład 6.2
- Przykład 6.3
- Zadanie 6.1
- Zadanie 6.2 (z parametrem)
- 7. Zadania optymalizacyjne
Definicja pochodnej funkcji w punkcie
Poniższy aplet stanowi ilustrację graficzną[br][list][/list][list][*]ilorazu różnicowego funkcji [math]f[/math] w pukcie [math]x_0[/math], [br][/*][*]pochodnej funkcji [math]f[/math] w pukcie [math]x_0[/math], [br][/*][*]różniczki funkcji [math]f[/math] w pukcie [math]x_0[/math].[br][/*][/list]
Równanie stycznej, Przykład 2.1
[br]Wyznaczymy równania stycznych do wykresu funkcji [math]f(x)=\sqrt{x-1}[/math] w punktach: [math]A=(2,1)[/math], [math]B=(5,2)[/math] oraz [math]C=(1,0)[/math]. [br][br]Przypomnijmy, że jeśli funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w [math]x_0[/math], to [b]styczna do wykresu[/b] [math]f[/math] [b]w punkcie[/b] [math](x_0,f(x_0))[/math] (lub krótko w punkcie [math]x_0[/math]) opisana jest wzorem:[center][math]y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)[/math]. [math](*)[/math][/center]Jeśli [math]f[/math] ma w [math]x_0[/math] pochodną niewłaściwą, to styczną jest prosta o równaniu [math]x=x_0[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br]Zauważmy najpierw, iż funkcja [math]f[/math] jest określona dla [math]x\ge1[/math], natomiast różniczkowalna jest tylko dla [math]x>1[/math] i jej pochodna jest równa [math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}[/math]. A zatem wzór [math](*)[/math] możemy wykorzystać do wyznaczenia stycznych w puntach [math]A[/math] i [math]B[/math].
Aby rozstrzygnąć, czy istnieje styczna w punkcie [math]C=(1,0)[/math] należy zbadać korzystając z definicji, czy istnieje pochodna (prawostronna) funkcji [math]f[/math] w [math]1[/math]. Ponieważ [math]\lim_{x\to1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=+\infty[/math] oraz funkcja [math]f[/math] jest ciągła w [math]1[/math], więc [math]f[/math] ma w [math]1[/math] pochodną niewłaściwą. A zatem styczna w punkcie [math]C[/math] opisana jest równaniem [math]x=1[/math].
Ćwiczenie.
W powyższym aplecie zdefiniuj punkt [math]D=(6,\sqrt{5})[/math] i napisz równanie stycznej do wykresu [math]f[/math] w punkcie [math]D[/math].
[color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][br][br][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][u]Uwaga[/u]. Do sprawdzenia poprawności uzyskanego rozwiązania można wykorzystać [/size][/color][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][color=#666666][color=#666666][i][color=#666666][size=100] narzędzie [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon][/size][/color][/i][/color][/color]oraz polecenie [b]Styczna[/b]((x_0,f(x_0)),f) lub [b]Styczna[/b](x_0,f) pozwalające bezpośrednio wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji [math]f[/math] w punkcie [math](x_0,f(x_0))[/math].[/size][/color][/i][/color][/td][/tr][/table][/color]
Przykład 3.1
[br]Niech [math]f(x)=x^3-x[/math] dla [math]x\in[-2,2][/math]. Wyznaczymy wszystkie punkty, w których styczna do wykresu funkcji [math]f[/math] jest równoległa do siecznej [math]l[/math] przechodzącej przez punkty [math](-2,f(-2))[/math] i [math](2,f(2))[/math]. [br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:[br][size=85]Poruszając zielonym punktem spróbuj wskazać takie punkty, w których styczna jest równoległa do siecznej [math]l[/math]. Ile jest takich punktów?[/size]
[u]Rozwiązanie[/u]:[br]Prosta [math]l[/math] przechodząca przez punkty [math](-2,f(-2))[/math] i [math](2,f(2))[/math] ma współczynnik kierunkowy równy [center][math]n=\frac{f\left(2\right)-f\left(-2\right)}{2-\left(-2_{ }\right)}[/math]. [/center]Niech [math]x_0\in[-2,2][/math]. Styczna do wykresu funkcji [math]f[/math] w punkcie [math]x_0[/math] ma współczynnik kierunkowy równy [math]f'(x_0)[/math]. Proste te są równoległe, gdy [math]n=f'(x_0)[/math].
Ćwiczenie.
Wyznacz wszystkie punkty, w których styczna do wykresu funkcji [math]f[/math] jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty [math](-1,f(-1))[/math] i [math](1,f(1))[/math].
Monotoniczność, Przykład 4.1
[br]Wyznaczymy dziedzinę i przedziały monotoniczności funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2-2x+1}[/math].[/center]Wykorzystamy następujące twierdzenia:[br]1) Jeśli [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in I[/math], to funkcja [math]f[/math] jest [b]rosnąca[/b] na przedziale [math]I[/math].[br]2) Jeśli [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in I[/math], to funkcja [math]f[/math] jest [b]malejąca[/b] na przedziale [math]I[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]: [br][math]D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/math]. Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji [math]f[/math] obliczymy jej pochodną i zbadamy, gdzie przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.
Ponieważ [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in(1,3)[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest malejąca na przedziale [math](1,3)[/math]. [br]Ponieważ [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in (-\infty,0)\cup(0,1)\cup (3,+\infty)[/math], więc [math]f[/math] jest rosnąca na przedziałach [math](-\infty,0)[/math], [math](0,1)[/math] i [math](3,+\infty)[/math]. Ponadto uwzględniając fakt, iż funkcja [math]f[/math] jest ciągła w punkcie [math]0[/math] wnioskujemy, że jest rosnąca na całym przedziale [math](-\infty,1)[/math].[br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:
Ćwiczenie.
[br]Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2+2x+1}[/math].[/center]
Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych, Przykład 5.1
[br]Niech [math]f[/math] będzie funkcją ciągłą na przedziale [math][a,b][/math]. Z [b]twierdzenia Weierstrassa[/b] wynika, że funkcja [math]f[/math] posiada na przedziale [math][a,b][/math] [b]ekstrema globalne[/b] (absolutne), tzn. osiąga na przedziale [math][a,b][/math][b] wartość największą i wartość najmniejszą[/b]. Aby wyznaczyć te wartości należy [br][list][*]znaleźć w przedziale [math](a,b)[/math] punkty stacjonarne funkcji [math]f[/math], tzn. rozwiązać równanie [math]f'(x)=0[/math] [math]-[/math] etap 1,[/*][*]określić w przedziale [math](a,b)[/math] punkty, w których nie istnieje pochodna funkcji [math]f[/math] [math]-[/math] etap 2,[/*][*]określić wartość największą i najmniejszą funkcji [math]f[/math] porównując wartości funkcji w otrzymanych wcześniej punktach oraz na końcach przedziału (czyli w punktach [math]a[/math] i [math]b[/math]) [math]-[/math] etap 3. [/*][/list][br]
Przykład.
Wyznaczymy ekstrema globalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}[/math][/center]na przedziale [math][3,5][/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br][b]Etap 1.[/b]
Funkcja [math]f[/math] ma trzy punkty stacjonarne, ale tylko [math]x_1=2\sqrt{3}[/math] należy do przedziału [math][3,5][/math]. [br][br][b]Etap 2.[/b] Funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w całej dziedzinie, więc nie ma takich punktów, w których nie istnieje jej pochodna.[br][br][b]Etap 3.[/b] Funkcja [math]f[/math] może mieć ekstrema globalne w punktach: [math]2\sqrt{3},\ 3[/math] i [math]5[/math]. Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i wybieramy spośród nich wartość największą i najmniejszą.[br]
[b]Odpowiedź[/b]. Z powyższych obliczeń wynika, że [center][math]\min_{x\in\left[3,5\right]}f(x)=f(2\sqrt{3})=3\sqrt{3}[/math], [math]\max_{x\in\left[3,5\right]}f(x)=f(5)=\frac{125}{21}[/math]. [/center] A zatem najmniejsza wartość jaką funkcja [math]f[/math] osiąga na przedziale [math][3,5][/math] to [math]3\sqrt{3}[/math], zaś największa to [math]\frac{125}{21}[/math].
[color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][u]Uwaga[/u]. W aplecie do wyznaczenia najmniejszej i [color=#666666][color=#666666][i][color=#666666][size=100]największej [/size][/color][/i][/color][/color]wartości wykorzystaliśmy polecenia [b]Min[/b](L) oraz [b]Max[/b](L), gdzie L [/size][/color]oznacza listę liczb.[/i][/color][/td][/tr][/table][br][/color]
Ćwiczenie 1.
Wyznacz ekstrema globalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}[/math][/center]na przedziale [math][-4,\sqrt{3}][/math].
Ćwiczenie 2.
Podaj przykład przedziału, na którym funkcja [math]f[/math] będzie osiągała ekstrema globalne na brzegach tego przedziału.
Definicja wypukłości - wprowadzenie
[br]Funkcja [math]f(x)=x^2[/math] jest przykładem funkcji wypukłej w [math]\mathbb{R}[/math]. Funkcja [math]f(x)=x^3[/math] jest natomiast funkcją wypukłą w [math](0,+\infty)[/math] i nie jest funkcją wypukłą w [math](-\infty,0)[/math].[br][br]1) Spróbuj opisać [b]wypukłość funkcji na przedziale[/b] operując pojęciem siecznej. W tym celu zaznacz "pokaż sieczną [math]l_{AB}[/math]", a następnie zmieniając położenie punktów [math]A[/math] i [math]B[/math] obserwuj wzajemne położenie łuku wykresu funkcji [math]f[/math] łączącego punkty [math]A[/math] i [math]B[/math] oraz odcinka [math]AB[/math]. [br][br]2) Spróbuj opisać [b]wypukłość funkcji w punkcie[/b] operując pojęciem stycznej w tym punkcie. W tym celu zaznacz "pokaż styczną [math]k_{A}[/math]", a następnie zmieniając położenie punktu [math]A[/math] obserwuj w jego otoczeniu wzajemne położenie wykresu funkcji [math]f[/math] i stycznej [math]k_A[/math].
Ćwiczenie 1.
Zaznacz funkcje wypukłe w całej swojej dziedzinie:
Ćwiczenie 2.
Zaznacz funkcje wypukłe w pewnym przedziale zawartym w dziedzinie tej funkcji: