[color=#ff0000][b]Merksatz: Für x → ±∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f(x) [/b][b]von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt. [/b][/color][br][br][br]Dieses wird an folgendem Beispiel deutlich:[br]Gegeben ist die Funktion [math]f\left(x\right)=x^3-100x^2-100x-100[/math]. Mit Hilfe des Schiebereglers kann man den x-Wert sehr groß bzw. sehr klein werden lassen.

Das [b]Verhalten für unendlich große x-Werte[/b] (bzw. kleine bei negativem x) wird also von dem [b]Summanden[/b] mit dem [b]größten Exponenten bestimmt[/b]. In dem obigen Beispiel muss demnach nur [math]g\left(x\right)=x^3[/math] betrachtet werden.[br][br]In dem Beispiel sorgt [math]g\left(x\right)=x^3[/math]dafür, dass für [color=#ff0000]große x[/color] die [color=#ff0000]Funktionswerte von f(x) positiv unendlich[/color] werden (eine positive Zahl "hoch 3" ist positiv). Und für [color=#38761d]kleine x[/color] sorgt der Term dafür, dass die [color=#38761d]Funktionswerte von f(x) negativ unendlich[/color] werden (eine negative Zahl "hoch 3" ist negativ).

Betrachten wir abschließend die Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^4+8x^3+3x-2[/math].

Das heißt, dass der Graph von f [color=#38761d]auf der linken [/color][math]\left(x\rightarrow-\infty\right)[/math] und [color=#ff0000]auf der rechten Seite [/color][math]\left(x\rightarrow+\infty\right)[/math] jeweils nach [math]-\infty[/math], d.h. nach unten geht. Dies zeigt auch die folgende Abbildung der Funktion.