1948-ban a[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/A_K%C3%BCrsch%C3%A1k_J%C3%B3zsef_Matematikai_Tanul%C3%B3versenyek_eredm%C3%A9nyei] Kürschák József matematika verseny[/url] első fordulójának az egyik feladata így hangzott:[br][list][*]„Bizonyítandó, hogy a tetraéderen kívül nincs más olyan konvex poliéder, amelynek bármely két csúcsát él köti össze.”[/*][/list]Ha a feladat megfogalmazásából kimarad -mint ahogy a versenyen résztvevők visszaemlékezése szerint ki is maradt - a [u]konvex[/u] megszorítás, a megoldóknak arra is kellett gondolniuk, hogy - mivel a tórusz felületére lerajzolható a [u]hét csúcsú[/u] teljes gráf (vagyis a tóruszfelület hét pontja összeköthető a felületre rajzolt vonalakkal - élekkel - úgy, hogy ezek ne messék egymást), előfordulhat , hogy a hét pontot páronként összekötő [i]7*6/2=14[/i] szakasz meghatároz egy olyan -tórusz-szerű - poliédert, amelynek ugyancsak nincs átlója. [br][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Cs%C3%A1sz%C3%A1r_%C3%81kos]Császár Ákos[/url] fiatal tanársegédként [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Cs%C3%A1sz%C3%A1r-f%C3%A9le_test]megoldotta ezt a feladat kapcsán felvethető kérdést.[/url][br][br]E sorok írója egyetemi hallgatóként kedves tanára, mentora [url=https://www.math.u-szeged.hu/~csakany/]Csákány Béla[/url] jóvoltából kézbe vehette a [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cs%C3%A1sz%C3%A1r_polyhedron]világhírűvé vált poliéder[/url] modeelljét, aminek később messzemenő következménye lett.[br]
Nevezzünk két poliédert [i]ránézésre azonos[/i]nak, ha kombinatorikus szerkezetük megegyezik, továbbá az egymásnak megfelelő csúcsoknak ill. a lapjaik síkjainak a [i]folytonos mozgatásával[/i] egyik átvihető a másikba, vagy annak egy síkra vonatkozó tükörképébe anélkül, hogy eközben a sokszög bármely lapja, vagy maga a felület önátmetszővé válna. Két poliéder [i]ránézésre különböző[/i], ha az itt leírt transzformáció csak úgy állhat elő, hogy közben önátmetsző lapok, ill. felület keletkezzen. [br][br]1986-ban – meglepő módon –sikerült Császár poliédernek egy ránézésre különböző változatát sikerült megtalálni.[br][br][url=https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099/1067/st17-10-a7-ocr.pdf?sequence=1&isAllowed=y]1991-ben J. Bokowski és A. Eggert megmutatta, [/url]hogy a Császár poliédernek négy, [i]ránézésre különböző[/i] változata van, több nem lehetséges. Az így kapott négy poliéder mindegyikének van tengelyesen[br]szimmetrikus változata.[br][br]Az alábbiakban ezeket a poliédereket mutatjuk be az említett cikkekben leírt adatokkal, azt is megmutatva, hogy ezek milyen szűk keretek között változtathatók.[br][br]
Ezt olvasóink bizonyára szívesen meg is tennék. Ennek elvi akadálya nincs,[url=http://www.jgypk.hu/tanszek/matematika/polieder/toroid/Csaszar/index.html] itt még megtalálhatók[/url] a modellek elkészítéséhez szükséges adatok. [br][br]Kétség kívül igaz, hogy a poliéder mind a négy változata igen "zsúfolt"nak tűnik, az adatok csekély változtatásával könnyen önátmetszővé válhat.[br][br]A fenti applet csúcsainak a mozgatásával könnyen előfordulhat, hogy egy-egy csúcsba befutó lapok metszhetik egymást. Ha ez bekövetkezik, akkor az adott pont színe kékről pirosra változik. Így tapasztalhatják olvasóink, igen nehéz feladat kicsit szellősebbé tenni a konstrukciót, ránézésre különböző változatot találni úgyszintén.