[b]線形な空間[/b]というとき、[b][color=#0000ff]比例というイメージ[/color][/b]で捉えることができたね。[br][br][color=#0000ff][b][size=150]写像[mapping][/size][/b][/color]というは対応づけ、移し替え、つなげ方、操作、関数のことです。[br][br][b][size=150]＜線形な写像＞[/size][/b][br][b][color=#0000ff]線形な写像[/color][/b]というのは、空間と空間のつなげ方、移し替え方が[br]やはり[color=#0000ff][b]比例のようになるもの[/b][/color]のことだね。[br]また、空間を同じ空間自身に移す線形写像を[b][color=#0000ff]線形な変換[/color][/b]とも言います。[br][br][b][size=150]和の像が像の和になり、定数倍の像が像の定数倍になり、[br]原点の像が原点なら[br]比例と同じだから、線形写像といえるでしょう。[br][br][/size][color=#9900ff]原点が動かない合同変換[/color][/b]は、みな線形写像になるはずだね。[br][b]恒等変換、[br]回転移動、[br][/b]ｘ軸対称移動、[br]ｙ軸対称移動、[br]原点対称移動、[br]原点を通る直線y=mxについて線対称移動（[b]鏡映変換[/b]）[br]また、相似もOKだ。[br]原点が動かなければね。[br]位置ベクトルをｋ倍する[b]相似変換[br][/b][br][b][size=150]＜線形写像の定義＞[br][/size][/b]R[sup]n[/sup]からR[sup]m[/sup]への写像ｆが、a,b∈R[sup]n[/sup],ｋ∈Rにたいして、[br]f(a+b)=f(a)+f(b), f(ka)=kf(a)が成り立つとき、ｆは[b]線形写像（１次変換）[/b]だ。[br]n=mのとき、[b]線形変換[/b]と呼ぶ。[br][color=#0000ff]（例）[br]R[sup]2[/sup]の写像ｆ：(k,l)→(3k-l, -2k+3l)は線形変換か？[br][/color][b]x[/b]=[math]\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)[/math]、A=[math]\left(\begin{matrix}3,-1\\-2,3\end{matrix}\right)[/math]とおくと、[br]f([b]x[/b])=A[b]x[/b]とかけるから、行列の分配法則と定数倍の法則と積の性質より、[br]f([b]a+b[/b])=A([b]a+b[/b])=A[b]a[/b]+A[b]b[/b]=f([b]a[/b])+f([b]b[/b]), f(k[b]a[/b])=Ak[b]a[/b]=kA[b]a[/b]=kf([b]a[/b])。だから、線形変換だ。[br][color=#0000ff]（例）[br]R[sup]2[/sup]の線形変換ｆで、標準基底[b]e1,e2[/b]をf([b]e1[/b])=[math]\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)[/math],f([b]e2[/b])=[math]\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)[/math]とする行列Aは？[br][/color]A[b]e1[/b]==[math]\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)[/math] , A[b]e2[/b]=[math]\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)[/math]とだから、これを１つにまとめると、[br]A([b]e1, e2[/b])=AE=A=[math]\left(\begin{matrix}4,-2\\-3,1\end{matrix}\right)[/math] [br]または、[br][b]x[/b]=[math]\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)[/math]、=k[b]e1[/b]+l[b]e2[/b]とおくと写像の線形性から、[br]f([b]x[/b])=kf([b]e1[/b])+lf([b]e2[/b])=k[math]\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)[/math]+l [math]\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)[/math] ==[math]\left(\begin{matrix}4,-2\\-3,1\end{matrix}\right)[/math] [math]\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)[/math]=A[b]x[br][/b]A=[math]\left(\begin{matrix}4,-2\\-3,1\end{matrix}\right)[/math] [br][color=#0000ff]（例）[br]R[sup]2[/sup]の線形変換ｆで、[math]\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)[/math]→ [math]\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)[/math], [math]\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)[/math]→[math]\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)[/math]とする行列Aは？[br][/color]A[math]\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)[/math]= [math]\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)[/math], A[math]\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)[/math]=[math]\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)[/math]まとめると、A[math]\left(\begin{matrix}2,-1\\-5,3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1,2\\1,3\end{matrix}\right)[/math][br] [math]A\left(\begin{matrix}2,-1\\-5,3\end{matrix}\right)=AB=\left(\begin{matrix}-1,2\\1,3\end{matrix}\right)=C[/math]のように、行列B,Cを名付ける。[br] AB=Cから、B[sup]-1[/sup]を右からかけて、[br] A=CB[sup]-1[/sup]＝[math]\left(\begin{matrix}-1,2\\1,3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2,-1\\-5,3\end{matrix}\right)^{-1}[/math][sup][/sup]=[math]\left(\begin{matrix}-1,2\\1,3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3,1\\5,2\end{matrix}\right)[/math] =[math]\left(\begin{matrix}7,18\\3,7\end{matrix}\right)[/math][br]（例）[br][color=#0000ff]R[/color][sup]2[/sup][color=#0000ff]の線形変換fの標準基底(列ベクトルe1,e2）の表現行列が[b]A=[math]\left(\begin{matrix}7,-6\\3,-2\end{matrix}\right)[/math][/b]のとき、[br]新基底（列ベクトル[/color][b]u1[/b][color=#0000ff]=[math]\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)[/math],[/color][b]u2[/b][color=#0000ff]=[math]\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)[/math] ）での表現行列Bは？[br][/color]①まず、基底の取り替え行列Pを求めよう。[br](u1,u2)=(e1,e2)Pとすると、([color=#0000ff][math]\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)[/math],[/color][color=#0000ff][math]\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)[/math] )[/color]=EP=Pだから、[b]P=[math]\left(\begin{matrix}1,2\\1,1\end{matrix}\right)[/math][/b] だね。[br]あとで使うから、逆行列を計算しておこう。[b]P[sup]-1[/sup][/b]=1/(1-2){{1,-2},{-1,1}}=[math]\left(\begin{matrix}-1,2\\1,-1\end{matrix}\right)[/math] [br]②　e1,e2に対しては、[b](f(e1),f(e2))=(e1,e2)A[/b]=(e1,e2)[b][math]\left(\begin{matrix}7,-6\\3,-2\end{matrix}\right)[/math][/b] [br] 　u1,u2に対しては、[b](f(u1),f(u2))=(u1,u2)B[/b][br]③　①から、(u1,u2)=(e1,e2)P=(e1,e2)[b][math]\left(\begin{matrix}1,2\\1,1\end{matrix}\right)[/math][/b] =(e1+e2, 2e1+e2)なので、[br]　[b](f(u1),f(u2))[/b]=(f(e1+e2), f(2e1+e2))=(1f(e1)+1f(e2),2f(e1)+1f(e2))=[b](f(e1),f(e2))P[/b][br]④　①から、さらに（u1,u2)=(e1,e2)Pの両辺に右からP-1をかけて、[b](u1,u2)P[sup]-1[/sup]=(e1,e2)[br][/b][br][color=#0000ff]以上の４つの情報から、代入をくり返してみよう。[br]③[b](f(u1),f(u2))=[b](f(e1),f(e2))　P[br]②　　　　　＝[b](e1,e2)　 A P[br][/b][/b][/b]④　　　　　＝[b](u1,u2)P[sup]-1 [/sup] A P　[br]つまり、[b](f(u1),f(u2))＝[b](u1,u2)P[sup]-1 [/sup]APとなるが、②から[b](f(u1),f(u2))=(u1,u2)Bだから、[br][/b][/b][/b]B＝P[sup]-1[/sup]AP[/b][/color]=[math]\left(\begin{matrix}-1,2\\1,-1\end{matrix}\right)[/math] [b][math]\left(\begin{matrix}7,-6\\3,-2\end{matrix}\right)[/math][/b][b] [math]\left(\begin{matrix}1,2\\1,1\end{matrix}\right)[/math][/b] =[math]\left(\begin{matrix}1,0\\0,4\end{matrix}\right)[/math][br]結果論ですが、[br] (u1,u2){{1,0},{0,4}}＝(u1,4u2)だから、u1方向は変えず、u2方向が４倍になっているとわかるね。[br]（この秘密はAを対角化してみるとわかるでしょう。Aの固有値が1,4で対応する不動直線がy=x,y=1/2x）[br][br]（一般化）[br]基底ｘから新基底Xに変換する行列がPで、線形変換ｆのｘでの表現をA,Xでの表現をBとすると、[br]B=P[sup]-1[/sup]APになることのイメージを作る。[br]　　A[br]ｘ⇒⇒⇒ｆ(x)[br]↓　　　　↑[br]↓P 　↑P[sup]-1[/sup][br]↓　　　　↑[br]X⇒⇒⇒f(X)[br]　　B[br][br][color=#0000ff][b][size=150]ベースxでｆしてｆ(x)にするには、最短でAをすればよいね。[br]ところが、遠回りもできる。[br]ベースｘからPしてベースXに移動してからBすることでXにｆをする。[br]まだ、ベースがXだから、ベースをｘにもどすためにPの逆をる。[br]つまり、PしてBしてP[sup]-1[/sup]することが、Aすることといっしょ。[br][size=200]PしてBしてP[sup]-1[/sup]することは、[br]行列ではP[sup]-1[/sup]BPと右から順に作用するから、[br]B=P[sup]-1[/sup]APとなるね。[br][/size][/size][/b][/color]（例）[br][color=#0000ff]線形変換ｆの基底[/color][math]a=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right),b=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff]での表現行列がA＝[/color][math]\left(\begin{matrix}2,7\\1,3\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff] のとき、[br]新基底[/color][math]c=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right),d=\left(\begin{matrix}3\\1\\\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff] での表現行列Bは？[br][br][/color]変換行列は(c, d)=(a,b)Pから、[math]\left(\begin{matrix}4,3\\1,1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1,2\\1,3\end{matrix}\end{matrix}\right)P[/math]　となるので、[br][color=#0000ff]P＝[/color][math]\left(\begin{matrix}1,2\\1,3\end{matrix}\right)^{-1}\left(\begin{matrix}4,3\\1,1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}3,-2\\-1,1\end{matrix}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4,3\\1,1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10,7\\-3,-2\end{matrix}\right),P^{-1}=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}-2,-7\\3,10\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math] [br]B=P[sup]-1[/sup]AP=[math]\left(\begin{matrix}-2,-7\\3,10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2,7\\1,3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10,7\\-3,-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2,-7\\3,10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1,0\\1,1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5,-7\\7,10\end{matrix}\right)[/math]

多項式のベクトル空間でも[br]線形変換の表現行列や固有空間をさぐってみよう。[br][br][b][size=150]＜多項式の表現行列＞[br][/size][/b]２次の多項式全体のベクトル空間R[x][sub]2[/sub]で、基底を{1,x,x[sup]2[/sup]}の３つにするとき、[br]線形変換T：ｆ(x)　→　f'(x)x+f(0)x[sup]2[/sup]+f(1)とする。[br]このTを表現する行列Aを求めるには、どうする？[br][br][color=#0000ff]まず、基本となる３つの基底の変換先を考えてみよう。[br][/color]1=f(x)=1+0xとおくと、f'(x)=0, f(0)=1+0=1, f(1)=1+01=1と係数が決まった。[br]T：1 → 0x+1x[sup]2[/sup]+1=1+x[sup]2[/sup]={1,0,1}[br]x=f(x)とおくと、f'(x)=1,f(0)=0,f(1)=1と係数が決まった。[br]T ：x →1x+0x[sup]2[/sup]+1=x+1=1+x={1,1,0}[br]x[sup]2[/sup]=f(x)とおくと、f'(x)=2x,f(0)=0,f(1)=1と係数が決まった。[br]T ：x →2xx+0x[sup]2[/sup]+1=2x[sup]2[/sup]+1=1+2x[sup]2[/sup]={1,0,2}[br][color=#0000ff](T(1),T(x),T(x[/color][sup]2[/sup][color=#0000ff]))=(1+x[/color][sup]2[/sup][color=#0000ff],1+x,1+2x[/color][sup]2[/sup][color=#0000ff])={1,x,x[/color][sup]2[/sup][color=#0000ff]}{[/color][sup][/sup][math]\left\{\left(\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}\right)\right\}[/math][color=#0000ff]}[br]A=[/color][color=#0000ff]{[/color][sup][/sup][math]\left\{\left(\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}\right)\right\}[/math][color=#0000ff]}[/color][color=#0000ff][br] [math]=\left(\begin{matrix}1,1,1\\0,1,0\\1,0,2\end{matrix}\right)[/math] [br][/color][b][size=150]＜多項式の変換の固有空間＞[br][/size][/b]２次の多項式全体のベクトル空間R[x][sub]2[/sub]で、基底を{1,x,x[sup]2[/sup]}の３つにするとき、[br]線形変換T：ｆ(x)　→　f(1+2x)とする。[br]このTを表現する行列Aを求めて、Tの固有値と固有空間をさぐろう。[br][br]まず、基本となる３つの基底の変換先を考えてみよう。[br]1=f(x)=1+0xとおくと、f(1+2x)=1+0・2x=1だから、T：1 → 1={1,0,0}[br]x=f(x)とおくと、f(1+2x)=1+2xだから、T ：x →1+2x={1,2,0}[br]x[sup]2[/sup]=f(x)とおくと、f(1+2x)=(1+2x)[sup]2[/sup]=1+4x+4x[sup]2[/sup]だから、T ：x →1+4x+4x[sup]2[/sup]={1,4,4}[br](T(1),T(x),T(x[sup]2[/sup]))=(1,1+2x,1+4x+4x[sup]2[/sup])={1,x,x[sup]2[/sup]}{[sup][/sup][math]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\2\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\4\\4\end{matrix}\right)[/math] }[br]A={[sup][/sup][math]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\2\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1\\4\\4\end{matrix}\right)[/math] }[br] =[math]\left(\begin{matrix}1,1,1\\0,2,4\\0,0,4\end{matrix}\right)[/math] [br][br]固有多項式|A-tE|=(1-t)・|{{(2-t),4},{0,(4-t)}}|=(1-t)(2-t)(4-t)=0から、固有値はt=1,2,4。[br]t=1のとき(A-E)x=0から、[br]{{0,1,1},　ｘ＝０ となるのは、基底{1,x,x2}の係数が{1,0,0}のときだけ。W1={k|k∈R}[br] {0,1,4},[br] {0,0,3}}[br]t=2のとき(A-2E)x=0から、[br]{{-1,1,1},　ｘ＝０ となるのは、基底{1,x,x2}の係数が{1,1,0}のときだけ。W2={k(1+x)|k∈R}[br] {0,0,4},[br] {0,0,2}}[br]t=4のとき(A-E)x=0から、[br]{{-3,1,1},　ｘ＝０ となるのは、基底{1,x,x2}の係数が{1,2,1}のときだけ。W4={k(1+2x+x[sup]2[/sup])|k∈R}[br] {0,-2,4},[br] {0,0,0}}[br]

[size=150][b][size=150]＜同型写像＞[br][/size][/b][b]でも、点のあつまり、[br]たとえば、直線や平面がごそっと、みんな原点にうつったらどうしましょう？[br][/b][size=100]原点にうつったものたちの、「原点のもと」を１つにまとめてしまえる。[br]「原点のもと」のことを整数の分類のときの倍数のように見てみる。[br]倍数の集合で割った余りで、整数を分類するのが剰余系だったね。[br]この剰余系のように、空間をもとになる集合で割った余りで系に分割してみよう。[br][br]すると、「原点のもと」以外の集合は、原点でないところにズレて移動する。[br]「原点のもと」を０扱いするように、原点を通る線や面で空間を切る。[br]それと平行に空間を切っていき、その切ったものがどう対応するのか？[br][br]という対応関係を調べていくと、[br]線→点[br]面→点[br]のように次元がちがっても、[/size][/size][size=150][b]対応関係が１：１になる写像、同型写像[/b][/size][size=150][size=100]ができる。[br][br]というお話です。[br][br][br]詳しくは次の[size=150]用語[/size]が３種の神器になりますよ。[br][/size][/size][size=150][b]＜Imf＞[/b][br][/size][size=150][size=100]VはからV’への線形写像ｆで、[br]Iｍfは線形空間Vのｆによる像[Image of function]で、ｆ（V)のこと。[br]ImfはV'の部分になる。[br][size=150][b]＜Kerf＞[/b][/size]VはからV’への線形写像ｆで、[br]Kerｆはf[sup]-1[/sup](0)、つまりVのうちｆの像が０になる部分。核[Kernel to zero]という。[br][size=150][b]＜合成写像＞[br][/b][/size]写像ｆを表現するのが、n次をｍ次にうつすm行ｎ列行列A[br]写像ｇを表現するのが、ｍ次をｌ次にうつすｌ行ｍ列行列B[br]ｇ（ｆ（ｘ））つまり、g○ｆの表現行列はBAである。[br][/size][color=#0000ff]（例）[br][/color][b]T[/b]：R3→R2の[b]線形写像が零ベクトル[/b]になる解空間が線形空間になる。[br]列ベクトル[b]u[/b]=[math]\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)[/math]のとき、つまり、同次連立方程式を、[br][b]T（u)[/b]=[math]\left(\begin{matrix}1,-2,3\\2,-3,5\end{matrix}\right)[/math][b]u[/b] = [b]0[/b]=[math]\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)[/math] とするときの解空間を求めてみよう。[br][br]係数行列を簡約化する。[br]１行目を-2倍して２行目にたす。[br]{{1, -2, 3},　→{{1, -2, 3},[br],{2,-3,5}}　 {0, 1,-1}}　[br][br]2行目を2倍して1行目にたす。[br]{{1, -2, 3}, →{{1, 0, 1},[br] {0, 1,-1}} {0, 1,-1}}[br][br]最後の係数にベクトルuをかけて、[br]２行目からy-z=0, x+z=0。これから、(x,y,z)=k(1,-1,-1)　これが解空間で、基底ベクトルは[br](1,-1,-1)とすると、これ１個。退化した次元は１。[br](x-0)/1=(y-0)/-1=(z-0)/-1ともかけるから、解空間は[br]原点を通り、方向ベクトル(1,-1,-1)の直線だから、線形空間だね。[br]この写像Tの像で0に写った部分、核（Kerf)が　(x,y,z)=k(1,-1,-1)　で、dim(kerf)=１．[br][b]＜同型写像と次元＞[/b][color=#0000ff][br]VからV’への写像が同型写像（全単射、上への１対１）になるのは、次元が不変のとき。[br][/color][/size][br]平面が直線Imfにうつるとき、[br]０の逆元、Kerｆと平行な直線の集合VF={K0,k1,k2,k3,....}をV内にとる。[br][color=#0000ff][b][size=150]k0＝kerfとすると、直線k0の各点はすべて、V'の０に移る。[br][br][b][size=150]直線[/size][/b]k1の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点１にうつる。[br][br][b][size=150]直線[/size][/b]k2の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点２にうつる。[br][br][b][size=150]直線[/size][/b]k3の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点３にうつる。[br][br][b][size=150]直線[/size][/b]k4の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点４にうつる。[br][/size][/b][/color]。。。。。[br]VFは[color=#0000ff][b][size=150]VのKerｆによる「商空間」[/size][/b][/color]といい、[color=#0000ff][b][size=150]V/Kerf[/size][/b][/color]とかく。[br]この場合、[br]dimV=2,[br]dim(Kerf)=1[br]dim(Imf)=1[br][color=#0000ff][b][size=150][size=200]dimV-dim(Kerf)=dim(Imf)[br][/size][/size][/b][/color]となっている。[br][b]dim(Imf)=dim(rankA)[/b]でもあるので、[br][b][size=150][size=200][color=#0000ff]dimV＝dim(Kerf)＋dim(rankA)[br][/color][/size][/size][/b]とも書けるね。[br]dimV=2,[br]dim(Kerf)=1[br]dim(Imf)=dim(rankA)=1[br]の場合はfによって、平面(dimV=2)が直線(dim(Imf)=1)にうつるなら、[br]残った次元は2-1=1になる。この次元が核の次元(dim(Kerf)=1)になるということだね。[br][br]だから、もしも、空間が(dimV=3）が直線(dim(Imf)=1)にうつったとする。[br]残った次元は3-1=2になる。この次元が核の次元２になるということだね。[br][br]また、[br][color=#0000ff][b][size=150]dim(V/Kerf)=dim(Imf)だから、[br]V/KerfとImfは同型と言える。[br][/size][/b]（例）[/color][br]R[sup]2[/sup]からR[sup]2[/sup]への線形写像[br]ｆの表現がA=[br]{{-1,2},[br]{3,-6}}[br]のとき、[br][br]１行目の３倍を２行目にたすと、[br]A'=[br]{{-1,2},[br]{0,0}}となるから、rankは１。[br]だから、[color=#0000ff][b]dim(Imf)=dim(rankA)=1（Imfは直線）[/b][/color][br]Ax=0とする。x=(x,y)とおくと、[br]-x+2y=０。3x-6y=0。[br]x=2k,y=kとおくと満たす。[br]kerfはy=1/2xKerfである直線y＝x/2はV'の(0,0)に移る。[br][color=#0000ff][b]dim(kerf)=1（Kerfも直線）[br][/b][/color](X,Y)=(-x+2y, 3x-6y) Y=-3X[br]だから、Imf :y=-3x。[br][color=#0000ff][b]dim(Imf)=1（Imfは直線）[br][/b][/color]V/KerfというVを直線Kerfと同じ傾きの直線の集合に分割する。[br]直線を移動すると、その写像f(V/Kerf)はImf上の点となり、点が移動するね。